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人教版初二数学上知识点总结第十一章 全等三角形11.1全等三角形知识点一 全等形1、 全等形：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。2、 全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。知识点二 全等变换全等变换是指只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。三组变换方式：（1） 平移 （2）翻折 （3）旋转知识点三 对应顶点，对应边，对应角1、 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。2、 全等三角形的表示：全等用符号“”表示,读作”全等于”,其中”表示形状相同,”=”表示大小相等,合起来就是形状相同大小相等.知识点四 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.11.2三角形全等的判定知识点一 三角形全等的判定方法一-边边边三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成”边边边”或”SSS”)知识点二 三角形全等的判定方法二-边角边两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）知识点三 三角形全等的判定方法三-角边角两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）知识点四 三角形全等的判定方法四-角角边两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）知识点五 三角形全等的判定方法五-斜边、直角边斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）11.3 角的平分线的性质知识点一 角平分线1、 定义：角平分线是把一个角分成两个相等的角的射线。2、 角平分线的尺规作图知识点二 角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质作用：由于角平分线性质的结论是两条段相等，因此角平分线的性质常用来证明两条线段相等。知识点三 角平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.角平分线判定的作用:由于角平分线判定的结论是”某射线是角平分线”,所以利用此结论可以用来证明两个角相等.知识点四 三角形角平分线的性质(1) 三角形三条角平分线交于一点,这点到三边的距离相等.(2) 三角形两个外角的平分线的交点到三边所在的直线的距离相等.(3) 三角形外角的平分线交点共有3个,到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个. 第十二章 轴对称12.1 轴对称知识点一 轴对称图形与对称轴轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴,也称这个图形关于这条直线(成轴)对称.知识点二 轴对称把两个图形沿着某一条直线折叠,如果其中一个图形能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应的点,叫做对称点.轴对称与轴对称图形的区别与联系:区别: (1)轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形而言. (2)轴对称描述的是两个图形的位置关系,而轴对称图形是一个图形具有的特 殊形状. (3)轴对称图形反映的是这个图形自身的对称性,它至少有一条对称轴.联系: (1)都有沿某条直线折叠后重合这一条件,这条直线为对称轴; (2)一个轴对称图形被对称轴分成轴对称的两个图形;反之,如果将成轴对称的两个图形看作一个整体时,就成为一个轴对称图形.知识点三 轴对称的性质1、 关于某条直线对称的两个图形是全等形。2、 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连的线段。3、 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。作用：（1）如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么对称点的连线的垂直平分线就是这两个图形的对称轴。 （2） 画已知图形的轴对称图形时，应画出已知图形中特殊点的对称点，顺次连接对称点，即可得到它的轴对称图形。 （3）由于对应线段、对应角相等，我们可以利用这一性质说明两条线段相等或两个角相等。知识点四 线段垂直平分线的性质1、 线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。2、 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。12.2 作轴对称图形知识点一 轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.轴对称变换的实质就是图形的翻折,由翻折得到的图形是全等图形.知识点二 用坐标表示轴对称点(x，y)关于x轴对称的点坐标是（x，- y），即横坐标不变，纵坐标互为相反数；点（x，y）关于y轴对称的点坐标是（- x，y），即纵坐标不变，横坐标互为相反数。知识点三 画关于直线x=a或y=b（a、b为常数）对称的图形点（x，y）关于x=a对称的点的坐标为（2a-x，y），即纵坐标不变，横坐标的和为2a（或横坐标的平均数为a）；点（x，y）关于y=b对称的点的坐标为（x，2b-y），即横坐标不变，纵坐标的和为2b。（或纵坐标的平均数为b）12.3 等腰三角形知识点一 等腰三角形的定义有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两边所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。知识点二 等腰三角形的性质1-“等边对等角”等腰三角形的两个底角相等(简写成”等边对等角”)知识点三 等腰三角形的性质2-“三线合一”等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。知识点四 等腰三角形的判定1、 利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。2、 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）知识点五 等边三角形及其性质1、 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。2、 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60知识点六 等边三角形的判定有三种方法：1、 三条边都相等的三角形是等边三角形。2、 三个角都相等的三角形是等边三角形。3、 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。知识点七 含30角的直角三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。第十三章 实数13.1 平方根知识点一 算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 =a ,那么这个正数x叫做a的算术平方根。即a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0，即=0详解：1、只有正数和0（即非负数）才有算数平方根，因此包含双重非负性：一是被开方数a0，二是为非负数。2 如果一个负数的平方等于a，那么a的算术平方根就是这个数的相反数。知识点二 平方根的概念一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那么x就是a的平方根（或二次方根）。在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零（因为任何数的平方都不可能是负数），即a0知识点三 平方根的性质一个正数a有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。13.2 立方根知识点一 立方根一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，记作，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。知识点二 立方根的性质1、 正数的立方根是一个正数;负数的立方根是一个负数；0的立方根是0.2、 = -立方根与平方根的比较 立方根 平方根 定义 如果一个数x的立方等于a，即x3=a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根。如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根。表示 性质正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0. 正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。区别正数的立方根有一个，负数的立方根有一个，都是唯一的。正数的平方根有两个，且互为相反数，是不唯一的。联系中，a取任何实数，0的立方根是0.中，a0,0的平方根是0.13.3 实数知识点一 无理数无限不循环小数叫做无理数。无理数可分为正无理数与负有理数。无理数应满足三个条件：（1）是小数 （2）是无限小数 （3）不循环知识点二 实数有理数和无理数统称为实数。实数可以按如下方式分类： 正有理数 有理数 零 有限小数或无限循环小数 负有理数实数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数实数 零 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 知识点三 实数与数轴上点的对应关系一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数。所以，把数从有理数扩充到实数以后，实数和数轴上的点一一对应，它包含两个方面的含义：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；数轴上每一个点都表示唯一的一个实数。知识点四 实数的相反数、倒数、绝对值及运算在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样。 相反数如果a表示一个实数，那么a的相反数是-a，0的相反数仍然是0. 倒数与有理数的倒数定义一样，如果a是非零实数，那么a的倒数是1/a它们的积为1，零没有倒数。 绝对值数轴上表示一个实数的点到原点的距离称为这个实数的绝对值。因为，一个正实数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负实数的绝对值是这个负实数的相反数。用字母可表示为 a (a0) a= 0 （a0），（a表示实数） -a （a0） 实数运算 在实数范围内，可以进行加、减、乘、除（除数不能为零）、乘方运算，运算的结果仍然是实数，但开方运算要分为开偶次方和开奇次方。正实数和0总能进行所有的开方运算，负实数只能开奇次方，不能开偶次方。 计算结果如果包含开方开不尽的数，则保留根号。知识点五 实数的大小比较两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数，在实数范围内有： 正数大于零，负数小于零，正数大于负数 两个正数，绝对值大的数较大 两个负数，绝对值大的数反而小第十四章 一次函数14.1变量与函数知识点一 变量和常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。详解：如在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s的长短是随时间t的变化而变化的，那么，在这一过程中，v是常量，而s和t是变量，当路程s是个定值时，行走的时间t是随速度v的变化而变化的，那么在这一过程中，s是常量，而v与t是变量。知识点二 函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。注意：在某一个变化过程中必须有两个变量x和y。 对于自变量x的取值，必须使代数式有意义 函数的实质揭示了两个变量之间的对应关系：x每取一个值，y都有一个且只有一个值与之对应，否则y就不是x的函数。 判断两个函数是不是同一个函数，应该从自变量的取值范围、函数y的取值范围、函数解析式是否一致来判断。 含有一个变量的代数式可以看作是这个变量的函数。知识点三 自变量的取值范围函数关系式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义1、 当函数解析式是整数时，自变量的取值范围可取全体实数。2、 当函数解析式是分式（分母中含有字母）时，自变量的取值范围要使分母不为零。3、 当函数解析式是偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数。4、 对于实际问题中的函数，除使解析式有意义外，还要使实际问题有意义。5、 自变量的取值范围可以是有限的或无限的，也可以是几个数或单独的一个数。6、 在一个函数关系式中，当自变量x同时含在分式和二次根式中时，函数自变量的取值范围是使它们分别有意义的取值的公共部分。知识点四 函数值对于一个函数，当自变量x=a时，我们可以求出与它对应的y值，我们就说这个值是x=a的函数值。知识点五 函数的表示方法 函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法、图象法，其中解析式法应用较多。有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示。知识点六 图象的概念 一般地，对于一个函数，如果把自变量和函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点所组成的图形，就是这个函数的图象。知识点七 由函数解析式画图象的一般步骤1、 列表：列出自变量与函数的一些对应关值2、 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点。3、 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。14.2 一次函数知识点一 正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。详解：（1）在正比例函数中自变量x的指数是“1”次且比例系数k0，当k=0时，y=0,函数的图象是x轴，它不具备正比例函数的一般性质。（2） 正比例函数中自变量的关系式是一个一次单项式。知识点二 正比例函数的图象及性质1、 正比例函数y=kx（k0）的图象是一条经过原点的直线。2、 当k0时，直线y=kx经过第一、三象限，图象从左向右上升，即y随x的增大而增大。3、 当k0时，直线y=kx经过第二、四象限，图象从左向右下降，即y随x的增大而减小。函数 图象 性质Y=kx(k0) K0 过原点和第一、三象限 y随x的增大而增大K0 过原点和第二、四象限 y随x的增大而减小知识点三 求正比例函数的解析式详解：（1）用待定系数法求正比例函数的解析式，其步骤：设出含有待定系数的函数解析式y=kx.把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程。解方程，求出待定系数k.将求得的待定系数的值代入所设的解析式。（3） 由于正比例函数只有一个待定系数k，所以只需已知图象上面的一个点的坐标就可以求正比例函数的解析式。知识点四 一次函数的概念一般地，形如y=kx+b(K,b是常数，k0)的函数，叫做一次函数。特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx,显然，正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，即正比例函数是一次函数的一种特殊情况。详解：一次函数解析式y=kx+b(k0)的条件k0千万不能忽略，如果k=0,直线y=b就不是一次函数；正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。如从图上来看，一次函数是一条不一定过原点的直线，而正比例函数是一条一定过原点的直线。知识点五 一次函数的性质一次函数y=kx+b(k0)中，当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小。详解：（1）一次函数y=kx+b(k0)和正比例函数y=kx(k0)的增减性一致，一次函数y=kx+b(k0)不经过第一象限时，不应是“k0，b0”而是“k0，b0”，因为原点不属于任何象限。 （2）一次函数y=kx+b的图象与性质y=kx+b(k0) 图象 性质K0b0y随x的增大而增大（与b无关）b0K0b0y随x的增大而减小（与b无关）b0，对于直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2,若k1=k2且b1=b2， 则两直线平行，反之，若两直线平行，则k1=k2 ， b1 b2。 （3）k、b对一次函数图象的影响：当k0时，y随x的增大而增大，当k0时，y随x的增大而减小；k决定着一次函数图象的倾斜程度，k越大，其图象与x轴的夹角就越大；b决定着直线与y轴的交点，当b大于0时，交点在y轴正半轴，当b小于0时，交点在y轴负半轴；直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移b个长度单位得到（当b0时，向上平移，当b0时，向下平移）；直线y=k1x+b1、y=k2 x+b2的几种位置关系：平行：k1 =k2，b1 b2；重合：k1=k2 ,b1=b2；关于y轴对称：k1+k2 =0,b1=b2；关于x轴对称：k1+k2=0,b1+b2=0；垂直：k1k2 =-1。知识点六 一次函数表达式的确定一次函数表达式的确定通常有以下几种情况：（1）利用待定系数，根据直线上两点坐标列出方程组确定k、b的值，进而求出一次函数的表达式；（2）根据图表求出一次函数的表达式；（3）从已知条件出发，逐层求解得出一次函数表达式。14.3 用函数观点看方程（组）与不等式知识点一 一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程的关系：一元一次方程都可以转化成ax+b=0( a、b为常数，a0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴交点的横坐标。详解：（1）求直线y=kx+b(k0)与x轴的交点时，可令y=0得到一元一次方程kx+b=0(k0)，解方程得x= -b/k,则-b/k就是直线y=kx+b(k0)与x轴交点的横坐标； （2）对于一次函数y=kx+b(k0)，在已知x值求y值或已知y值求x值时，也都是把问题转化为关于y或关于x的一元一次方程来求解。注意：求一元一次方程kx+b=0的解与求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标是同一个问题。（3）一次函数的最值问题：考虑一次函数y=kx+b在mxn内的最大值和最小值问题的时候，要注意k的符号：k0时，则在x=m处取最小值，在x=n处取最大值；k0时，结论正好相反。知识点二 一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0（a、b为常数，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，也可以把一次函数y=ax+b在x轴上方的点所对应的x的取值范围看作不等式ax+b0的解集。知识点三 一次函数与二元一次方程（组）详解：（1）二元一次方程与一次函数的关系：以二元一次方程y-kx=b(k，b是常数，k0)的解为坐标的点组成的图象就是一次函数y=kx+b的图象，是一条直线。 y=kx+b， （2）二元一次方程组与一次函数的关系：二元一次方程组 (k，b，m，n是常数，k0，m0) y=mx+b 的解是一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象的交点坐标；反之，一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象的交点的坐标；反之，一次函数y=kx+b(k、b是常数，k0)与y=mx+n(m，n是常数，m0)的图象的交点坐标即为二元一次方程组 y=kx+b 的解。 y=mx+n 14.4 课题学习 选择方案做一件事情，有时有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划是非常必要的，用数学方法来选择方案一般可分为三步：一是构建函数模型，找出函数关系式；二是确定自变量的取值范围或是针对自变量的取值进行讨论；三是由函数的性质（或是经过比较后）直接得出最佳方案。第十五章 整式的乘除与因式分解知识点一 同底数幂相乘，底数不变，指数相加用字母可表示为：aman =am + n (m、n都是正整数)知识点二 幂的乘方文字描述：幂的乘方，底数不变，指数相乘；公式表达：（am）n = a m n (m，n都是正整数)知识点三 积的平方文字描述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；公式表达：（ab）n =an bn (n为正整数)知识点四 单项式的乘法法则运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。知识点五 单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。用字母可表示为：m(a+b+c)=ma+mb+mc,这里a，b，c和m都表示单项式。知识点六 多形式与多项式的乘法法则多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。15.2 乘法公式知识点一 平方差公式平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差”，用字母表示为：（a+b）(a-b)=a2 + b2 详解：（1）其结果特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项互为相反数，右边是乘式中两项的平方差。（2）公式（a + b）(a - b)=a2 b2 有八种变化形式 位置变化：（a + b）(-b + a)=a2 + b2符号变化：(-a - b)(a - b)=b2 a2 系数变化：（1/2a + 3b）（0.5a 3b）=(1/2a)2 (3b)2 指数变化：（a2 + b2）（a2 b2）=(a2 )2 -(b2 )2 增项变化：（a b - c）（a b + c ）= (a - b)2- c2 ,(a + b - c)(a b + c)=a2 (b - c)2增因式变化：（a + b）（a - b）（- a - b）（- a + b）=(a2 b2)(a2 b2)连用公式变化：（a - b）（a + b）（a2 + b2）（a4 + b4）=a8 b8逆用公式变化：（a b + c - d）2 - （a + b c + d）2 =2a(- 2b + 2c 2d)知识点二 完全平方公式完全平方公式有两个：（a + b）2=a2 + 2ab + b2, (a - b)2=a2 - 2ab + b2即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式，它们可以合写在一起，为(a b)2=a2 2ab + b2。知识点三 添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变符号。即a + b + c =a +(b + c),a b c =a (b + c)15.3 整式的除法知识点一 同底数幂的除法文字描述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；公式表达：am an =am - n (a0，m,n都是正整数且mn)知识点二 零指数文字描述：任何不等于0的数的0次幂等于1.公式表示：a0 = 1(a0)知识点三 单项式除法单项式除法法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。知识点四 多项式除以单项式多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，用字母可表示为：（a + b + c）m=am + bm + cm.15.4 因式分解知识点一 因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式。知识点二 提公因式法因式分解1、 公因式：在多项式中，如果每一项都含有相同的因式，就把这个因式称为公因式。2、 提公因式法：根据乘法分配律，m(a + b + c )=ma + mb + mc.反过来，便得到多项式多项式ma + mb + mc 的因式分解的形式为m(a + b + c)这就是说，多项式ma + mb + mc 各项都含有公因式m ，可以把m 提到括号外面，将多项式写成因式m 与(a + b + c)的积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。知识点三 逆用平方差公式分解因式a2 b2 =(a + b)(a - b)知识点四 逆用完全平方公式分解因式a2 2ab + b2 =(a b)2