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习题7.11. 设总体X服从指数分布fx;=e-x, x0,0;0, x0. 试求的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时):16,19,50,68,100,130,140,270,280,340,410,450,520,620,190,210,800,1100.求的估计值.解:似然函数为L=i=1ne-xi=ne-i=1nxilnL=nln-i=1nxi令d lnLd=n-i=1nxi=0得=ni=1nxi=1x=1118(16+19+,1100)=13182. 设总体X的概率密度为fx=x-1, 0x0试求(1) 的矩估计1; 2的极大似然估计2.解:(1) EX=-+xfxdx=01xx-1dx=01xdx=+1EX=x=+1的矩估计1=x1-x(2)似然函数为L=i=1nxi-1=n(x1,x2,xn)-1lnL=nln+-1lnx1+lnx2,lnxn=nln+-1i=1nlnxi令d lnLd=n+i=1nxi=0解得2=-ni=1nxi3. 设总体X服从参数为0的泊松分布,试求的矩估计1和极大似然估计2.(可参考例7-8)解: 由X服从参数为的泊松分布 E(X)=由矩法,应有x=1=x似然函数为L=i=1nixie-=xix1!x2!xn!e-nlnL=xiln-n-ln(x1!x2!xn!)d lnLd=xi-n=0解得的极大似然估计为2=1ni=1nxi=X习题7.21. 证明样本均值x是总体均值的相合估计.证: Ex=,Dx=2n0(n)由定理7-1知x是的相合估计.2. 证明样本的k阶矩Ak=1ni=1nxik是总体k阶矩Exk的相合估计量.证: EAk=E1ni=1nxik=Exk, DAk=D1ni=1nxik=1n2i=1nD(xik)0(n0)Ak=1ni=1nxik是Exk的相合估计.3. 设总体XN,1,-0是未知参数,又x1,x2,xn为取自该总体的样品,x为样品均值.(1) 证明=23x是参数的无偏估计和相合估计;(2) 求的极大似然估计.(1) 证: E=E23x=23Ex=23*32=23x是参数的无偏估计又D=D23x=49Dx=49*212n=227n0(n)=23x是参数的相合估计.(2) Xu,2故其分布密度为fx=1, 0x2 (0)0, 其他 似然函数L=1n, 0xi2 (i=1,2,n)0, 其他 因对所有xi有0xi2 i=1,2,n0maxx1,x2,xn2习题7.31. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度XN,0.22.现从中抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的x=8.54,求的置信度0.9的置信区间.解:=1-0.9=0.1,u0.05=1.64置信度为0.9的置信区间是x-u2n,x+u2n=8.54-1.64*0.26,8.54+1.64*0.268.41,8.672. 设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的寿命(单位:万千米)如下:4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.7试求平均寿命的0.95的置信区间.(例7-21, 未知时的置信区间)解: x=4.7092,S2=0.0615.=1-0.95=0.05,查t分布表知t0.02511=2.2010平均寿命的0.95的置信区间为:x-t2(n-1)sn,x+t2(n-1)sn=4.7092-2.2010*0.061512,4.7092+2.2010*0.061512=4.5516 , 4.86683. 两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径X,Y分别服从N1,12,N2,22,其中i2,i未知i=1,2.现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得s12=6.38,s22=5.15.求两总体方差比12/22的置信度0.90的置信区间.解:此处n1=25, n2=15, s12=6.38, s22=5.15, =1-0.90=0.1,2=0.0512/22的置信度0.90的置信区间为:s12s221F2n1-1,n2-1,s12s221F1-2n1-1,n2-1=6.385.151F0.0524,14,6.385.151F0.95(24,14)=1.24*12.35,1.24*4. 某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:毫米)如下:14.614.715.114.914.815.015.115.214.8设滚珠直径服从正态分布,若(1) 已知滚珠直径的标准差=0.15毫米;(2) 未知标准差.求直径均值的置信度0.95的置信区间.解: (1) x=14.91,=1-0.95=0.05,u0.025=1.96直径均值的置信度0.95的置信区间为:x-u2n,x+u2n=14.91-1.96*0.159,14.91+1.96*0.15914.812,15.008(2)x=14.91,S2=0.041,=1-0.95=0.05,t0.0258=2.306置信度0.95的置信区间为:x-t2(n-1)sn,x+t2(n-1)sn=14.91-2.306*0.0419,14.91+2.306*0.0419=14.754 , 15.0665. 设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命X服从正态分布N,2,其中,2未知. 令随机地抽取16个灯泡进行寿命试验,测得寿命数据如下(单位:小时): 1502148014851511151415271603148015321508149014701520150514851540求该批灯泡平均寿命的置信度0.95的置信区间.解: x=1509.5,S2=1038.5,=1-0.95=0.05,t0.02515=2.1315置信度0.95的置信区间为:x-t2(n-1)sn,x+t2(n-1)sn=1509.5-2.1315*1038.516,1509.5+2.1315*1038.516=1492.328 , 1526.6726. 求上题灯泡寿命方差2的置信度0.95的置信区间.解: S2=1038.5,=1-0.95=0.05,查表知0.025215=27.488,0.975215=6.262置信度0.95的置信区间为:n-1s222n-1,n-1s21-22n-1=15*1038.527.488,15*1038.56.262=566.702,2487.6247. 某厂生产一批金属材料,其抗弯强度服从正态分布.现从这批金属材料中随机抽取11个试件,测得它们的抗弯强度为(单位:公斤):42.542.743.042.343.444.544.043.844.143.943.7注意这里是求的置信区间,结果要开方.求(1)平均抗弯强度的置信度0.95的置信区间.(2)抗弯强度标准差的置信度0.90的置信区间.解: (1) x=43.4,S2=0.5207,=1-0.95=0.05,查表知t0.02510=2.2281置信度0.95的置信区间为:x-t2(n-1)sn,x+t2(n-1)sn=43.4-2.2281*0.520711,43.4+2.2281*0.520711=42.915,43.885(2) S2=0.5207,=1-0.90=0.1,查表知0.05210=18.307,0.95210=3.9402置信度0.90的置信区间为:n-1s222n-1,n-1s21-22n-1=10*0.520718.307,10*0.52073.940=0.284,1.322故的置信度0.90的置信区间为0.53,1.158. 设两个正态总体N1,2,N2,2中分别取容量为10和12的样本,两样本互相独立.经算得x=20, y=24,又两样本的样本标准差s1=5,s2=6.求1-2的置信度0.95的置信区间.解:Sw=n1-1s12+n2-1s22n1+n2-2=9*25+11*3610+12-2=5.572=1-0.95=0.05,查表知t0.02520=2.086故1-2的置信度0.95的置信区间为:x-y-t2n1+n2-21n1+1n1Sw,x-y+t2n1+n2-21n1+1n1Sw=20-24-2.086*110+112*5.572, 20-24+2.086*110+112*5.572=-8.975,0.9759. 为了估计磷肥对农作物增产的作用,现选20块条件大致相同的土地.10块不施磷肥,另外10块施磷肥,得亩产量(单位:公斤)如下:不施磷肥的560590560570580570600550570550施磷肥的620570650600630580570600600580设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均亩产之差作区间估计(=0.05).解: x=570,y=600,Sx2=64009, Sy2=24009=0.05,查表知t0.02518=2.1009Sw=n1-1s12+n2-1s22n1+n2-2=44009=22.11x-y-t2n1+n2-21n1+1n1Sw,x-y+t2n1+n2-21n1+1n1Sw=600-570-2.1009*110+110*22.11,600-570+2.1009*110+110*22.11=9.23,50.7710. 有两位化验员A,B独立地对某种聚合的含氮量用同样的方法分别进行10次和11次测定,测定的方差分别为s12=0.5419,s22=0.6065.设A,B两位化验员测定值服从正态分布,其总体方差分别为12,22.求方差比12/22的置信度0.9的置信区间.解:=1-0.9=0.1,查表知F0.059,10=3.02, F0.959,10=1F0.0510,9=13.14=0.318故12/22的置信度0.9的置信区间为:s12s22F2n1-1,n2-1,s12s22F1-2n1-1,n2-1=0.54190.60653.02,0.54190.60650.318=0.295,2.81自测题7一、 填空题设总体XN,2x1,x2,x3是来自X的样本,则当常数a=12时,=13x1+ax2+ 16x3是未知参数的无偏估计.解: =13x1+ax2+ 16x3是未知参数的无偏估计则E=13Ex1+aEx2+ 16Ex3=13+a+ 16a=12二、 一台自动车床加工零件长度X(单位:厘米)服从正态分布N,2.从该车床加工的零件中随机抽取4个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.试求: (1)样本方差S2;(2)总体方差2的置信度为95%的置信区间.(附:u0.025=1.96, u0.05=1.645,0.02523=9.348,0.97523=0.216,0.02524=11.143,0.97524=0.484)解: (1) x=12.6+13.4+12.8+13.24=13S2=1n-1i=1nxi-x2=0.43(2)2置信度0.90的置信区间为:n-1s222n-1,n-1s21-22n-1=3*0.439.348,3*0.430.216=0.04,1.85三、 设总体XN,2,抽取样本x1,x2xn,x=1ni=1nxi为样本均值.(1) 已知=4,x=12,n=144,求的置信度为0.95的置信区间;(2) 已知=10,问:要使的置信度为0.95的置信区间长度不超过5,样本容量n至少应取多大?(附u0.025=1.96, u0.05=1.645)解: (1) 的置信度为0.95的置信区间为:x-u2n,x+u2n=12-1.96*4144,12+1.96*4144=11.347,12.653(2) 的置信度为0.95的置信区间为x-u2n,x+u2n,故区间长度为2u2n2u2n5, 解得n61.562四、 某大学从来自A,B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的x=175.9,y=172.0;S12=11.3,S22=9.1.假设两市新生身高分别服从正态分布: XN1,2,YN2,2,其中2未知.试求1-2的置信度为0.95的置信区间.(附: t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010)解:Sw=n1-1s12+n2-1s22n1+n2-2=90.79=3.17x-y-t2n1+n2-21n1+1n1Sw,x-y+t2n1+n2-21n1+1n1Sw=175.9-172-2.2622*0.61*3.17,175.9-172+2.2622*0.605*3.17=-0.474,8.274
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