向量法在解析几何中的应用及答案.doc

1 向量在解析几何中的应用 1 设 A B 是抛物线 上两点 为坐标原点 且 点的42 xyO2OBAP P 坐标为 则直线 AB 的斜率为 1 0 A B 1 C 2 D 3 2 设 1 0 1 则满足条件 0 1 0 1OM N P MOP N 的动点 P 的变动范围 图中阴影部分 含边界 是 3 设 F1 F 2 为椭 的左 右焦点 过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P Q 两点 1342 yx 当四边形 PF1QF2 面积最大时 的值等于 2PF A 0 B 1 C 2 D 4 4 O 为空间中一定点 动点 P 在 A B C 三点确定的平面内且满足 OA 0 则点 P 的轨迹一定过 ABC 的 CB A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 5 ABC 中 A B 两点的坐标分别为 4 2 3 1 O 为坐标原点 已知 C 且直线 的方向向量为 1 2 求顶点 C 的坐标 CD i 6 已知 0 为坐标原点 动点 M 满足 3 0 21 OF12 0 F 1 求点 M 的轨迹 C 2 若点 P Q 是曲线 C 上的任意两点 且 求 的值 0 OQP2P o y x 2 1 B o y x1 1 2 A o y x 1 1 2 C o y x 2 1 1 D 2 7 已知 过点 A 0 1 且方向向量为 的直线 l 与 C x 2 2 y 3 2 1 相交于 1 ka M N 两点 1 求实数 k 的取值范围 2 求证 定值 3 若 O 为坐标原点 ANM 且 12 求 k 的值 O 8 已知动点 P 与双曲线 的两个焦点 的距离之和为 6 132 yx1F2 1 求动点 P 的轨迹 C 的方程 2 若 求 的面积 21 F21 3 若已知点 D 0 3 M N 在 C 上且 求实数 的取值范围 DN 9 已知点 H 3 0 点 P 在 y 轴上 点 Q 在 x 轴正半轴上 点 M 在直线 PQ 上 且 0 1 当 P 在 y 轴上移动时 求点 M 的轨迹方程 PM2 2 过点 T 1 0 作直线 l 交轨迹 C 与 A B 两点 若在 x 轴上垂直一点 E 使 0 x 且 与 的夹角为 600 求 的值 AE BAx 3 10 如图所示 已知 A B C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点 点 A 是长轴的一个端点 BC 过椭圆中心 O 且 BC 2 AC 0 I 建立适当的坐标系 求椭圆方程 II 如果椭圆上有两点 P Q 使 PCQ 的平分线垂直于 AO 证明 存在实数 使 PQAB 11 已知常数 a 0 向量 经过定点 A 0 a 以 为方向向 0 1 namnm 量的直线与经过定点 B 0 a 以 为方向向量的直线相交于点 P 其中 2 R 求点 P 的轨迹 C 的方程 若 过 E 0 1 的直线 l 交曲线 C 于 M N 两点 求 的取值范围 2 EN 12 已知焦点在 轴上的椭圆 是它的两个焦点 x 212 0 4xybF 若椭圆上存在一点 P 使得 试求 的取值范围 12F 若椭圆的离心率为 经过右焦点 的直线 与椭圆相交于 A B 两点 且2l 求直线 的方程 20FAB l 4 13 已知 F1 F 2 分别是椭圆 的左 右焦点 P 是此椭圆上的一动 0 12 bayx 点 并且 的取值范围是P 34 求此椭圆的方程 点 A 是椭圆的右顶点 直线 y x 与椭圆交于 B C 两点 C 在第一象限内 又 P Q 是此椭圆上两点 并且满足 求证 向量 与 共线 0 21 FQCPPQAB 14 如图 已知 的面积为 m 且 OFPOFP 1 I 若 求向量 与 的夹角的取值范围 123 m II 设 且 若 以 O 为 中 心 F 为 焦 点 的 椭 圆 经 过 点 P 当 取 得 4 2 O 最 小 值 时 求 此 椭 圆 的 方 程 5 4 已知 O 为坐标原点 点 F T M P 1 满足 1 0 MTFtOTF 11pFTM O 1 1 当 t 变化时 求点 P1 的轨迹 C 2 若 P2 是轨迹 C 上同于 P1 的另一点 且存在非零实数 使得 21P 求证 21 5 设平面内两向量 满足 点 M x y 的坐标满足 ba 1 2 ba 互相垂直 xyax 与 4 2 求证 平面内存在两个定点 A B 使对满足条件的任意一点 M 均有 等于定 BA 值 6 6 已知 O 为坐标原点 的夹角为 60 A O B 顺时 13 AOBA与且 1 针排列 点 E F 满足 点 G 满足 BFA EF2 1 当 变化时 求点 G 的轨迹方程 2 求 的最小值 7 如图 点 F a 0 a 0 点 P 在 y 轴上运动 点 M 在 x 轴上运动 点 N 为动点 且 0 0 PMNFP 1 求点 N 的轨迹 C 2 过点 F a 0 的直线 l 不与 x 轴垂直 与曲线 C 交于 A B 两点 设 K a 0 的夹角为 求证 KBA与 20 7 8 已知 baybxa3 1 0 1 求点 P x y 的轨迹方程 2 若直线 l y kx m km 0 与曲线 C 交于 A B 两点 D 0 1 且 求 m BDA 的取值范围 9 已知点 H 3 0 点 P 在 y 轴上 点 Q 在 x 轴的正半轴上 点 M 在直线 PQ 上 且 MP2 1 当 P 在 y 辆上移动时 求点 M 的轨迹 C 2 过点 T 1 0 作直线 l 交轨迹 C 于 A B 两点 若在 x 轴上存在一点 E x 0 0 使 且 的夹角为 60 求 x0 的值 ABE 与 8 参考答案 1 B 2 A 设点 P x y 则 0 x y 1 1 0 x y 0 1 1 即 0 x y 1 0 y 122 因此动点 P 的变化范围是 A 中的阴影部分 3 C 4 D 5 解 如图 C B0 CA A D B 三点共线 D 在线段 AB 上 A 且 0 CD 是 ABC 中 C 的角平分线 A D B 三点共线 O C D 三点共线 即直线 CD 过原点 又 直线 CD 的方向向量为 1 2 直线 CD 的斜率为 2i 直线 CD 的方程为 y 2x 注意 至此 以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件 下面用解析几何的方法解 决该题 易得 点 A 4 2 关于直线 y 2x 的对称点是 A 4 2 怎样求对称点 A 4 2 在直线 BC 上 直线 BC 的方程为 3x y 10 0 由 得 C 2 4 013yx 6 解 1 由 10 知 MF 动点 M 到两定点 F1 和 F2 的距离之和为 10 根据椭圆的第一定义 动点 M 的轨迹为椭圆 1625 yx 2 点 P O 是 上任意两点1625 yx 设 P Q sin4 co5 sin4 co 注意 这是点在椭圆上的一种常规设法 也是椭圆的参数方程的一个应用 0 得 0 Q i 而 都可以用 的三角函数表示 利用 可以解得 2P2 2O401 x C B A y O D x Q P y O 9 7 解 直线 l 过点 A 0 1 且方向向量为 1 k a 直线 l 的方程为 y kx 1 注意 这里已知方向向量即已知直线的斜率 将其代入 C 得 3 2 2 yx 07 4 2 xkx 由题意 得 074 kk 33 注意 这里用了直线和方程组成方程组 方程有两根 本题还可以用圆与直线有两个交点 d0 即所求的轨迹方程为 x 0 抛物线去掉顶点 2 2 设直线 l y k x 1 k 0 代入 得 xy42 设 A B 则 2 k1 2 y 线段 AB 的中点坐标为 142x k 线段 AB 的垂直平分线方程为 x ky12 2 在 中 令 y 0 得 与 x 轴的交点 20 kx 且 与 的夹角为 600 ABE 为等边三角形 AE BA 点 E 到直线 AB 的距离为 AB 3 而 AB 2214kk 12 2 4kk 解得 代入 从而3 310 x 10 解 I 以 O 为原点 OA 为 X 轴建立直角坐标系 设 A 2 0 则椭圆方程为214xyb O 为椭圆中心 由对称性知 OC OB 又 AC BCC 又 BC 2 AC OC AC AOC 为等腰直角三角形 点 C 的坐标为 1 1 点 B 的坐标为 1 1 将 C 的坐标 1 1 代入椭圆方程得 则求得椭圆方程为243b 2314xy II 由于 PCQ 的平分线垂直于 OA 即垂直于 x 轴 不妨设 PC 的斜率为 k 则 QC 的斜 率为 k 因此 PC QC 的直线方程分别为 y k x 1 1 y k x 1 1 11 由 得 1 3k 2 2 1 34ykx x2 6k k 1 x 3k 2 6k 1 0 点 C 1 1 在椭圆上 x 1 是方程 的一个根 x P 1 即 xP 2361k 2361k 同理 xQ 2361k 直线 PQ 的斜率为 定值 22 31 3PQPQkykxx 又 ACB 的平分线也垂直于 OA 直线 PQ 与 AB 的斜率相等 k AB 向量 即总存在实数 使 成立 PQAB PAB 11 解 设 P 点的坐标为 x y 则 ayxPayx 又 21 0 1 mnman 故 由题知向量 与向量 故平 行 又向量 与向量B2 xayn 故平 行 两方程联立消去参数 得点 P x y 的轨迹方程是 6 分 2 2ay 即 故点 P 的轨迹方程为 12x 此时点 E 0 1 为双曲线的焦点 若直线 l 的斜率不存在 其方程为 x 0 l 与双曲线交于 2 0 M 2 N 此时 8 分 21 2 1 NM 若直线 l 的斜率存在 设其方程为 化简得代 入 kxy12 xy 直线 l 与双曲线交于两点 04 1 22 kxk 1 82 解 得且 设两交点为 则 10 分 1y 1 2 21 kxkx 此时 2xENM AO B C 12 12 1 2 1 2121 kkxkx 当 0 2 ENM故时 当 1 2 kkk故时或 综上所述 的取值范围是EN 2 1 12 解法一 依题意得 1 分0b 设 0 Pxy12 Fcc 由 得 即 2 分 12 0 xy 2204xyb 又 4 分04b 28164b 0 x 2 综上可得 6 分 解法二 设 0 Py12 0 0 Fcc 1 分12 Faexaex 由 得 2 分2 2004 可得 4 分 42068b 下同解法一 注 若设上顶点为 B 根据 得 即129F 22 ac 224 ab 因为 所以 此种解法给满分2a b 解法一 cea 2 3cb 椭圆方程为 7 分 2143xy 依题意可设直线 的方程为l 1 kx 由 得 2 1 ykx 22 840 设 则 8 分2 ABy21212 334kkxx 9 分20F 1 0y 10 分12x2834k229k 219k 13 2143kx 22 94 94133kk 11 分5 所以直线 的方程为 12 分l5 1 2yx 解法二 cea 2 3cb 椭圆方程为 7 分 243x 设 8 分12 AyB20FAB 1212 0 xy 又 21y 可解得 即 11 分2735 48x 735 48 所以 k 所以直线 的方程为l5 1 2yx 13 解 设 则220 0 bacFcP 其 中 1 ycF 0 00yxcyxP 从而 2 分 222002xx 由于 所以20ayb 12cb 即 4 分 1 又已知 34342 PF 所以 22bab 从而椭圆的方程是 6 分 143 yx 因为 的平分线平行 所以PCQFCQP 与而 0 2 PCQ 的平分线垂直于 x 轴 7 分 14 由 1 14 32Cyxxy 解 得 不妨设 PC 的斜率为 k 则 QC 的斜率为 k 因此 PC 和 QC 的方程分别为 143 0 1 2yxkxk 由其 中 消去 y 并整理得 9 分 06 1 632k C 1 1 在椭圆上 x 1 是方程 的一个根 从而 3 1622xkQP 同 理 从而直线 PQ 的斜率为 QPPxky 11 分 3112 k 又知 A 2 0 B 1 1 所以 20ABPQABk 向量 共线 PQ与 14 解 的面积为 m 设向量 与 的夹角为 OFOF 2 sin 1 cosP1 由 得 ta2 233 m tn 4 即向量 与 的夹角 的取值范围为 6 分OF P 43 II 如图 以 O 为原点 所在直线为 x 轴建立直角坐标系F 15 设 P 点坐标为 x 0 y 0 OFc m43 1200 ym 032 Fc Pxcy OFP 1 x001 Oyc2294 设 当 时 任取fc 1 c21 有 fccc 21211212 当 时 c 0121221c 在 2 上是增函数 ff 20f 当 时 为最小 从而 为最小 此时 P c O 532 设椭圆的方程为 则xayb 210 ab22459 106 故椭圆的方程为 xy 21