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习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2红,2白)=03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.【解】如图 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常数A；（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；（3） P0X1，0Y2.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定义，有 (3) 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1） 确定常数k；（2） 求PX1，Y3；（3） 求PX1.5；（4） 求PX+Y4.【解】（1） 由性质有故 （2） (3) (4) 题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） PYX.题6图【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为而所以 (2) 7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求（X，Y）的联合分布密度.【解】8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】 题8图 题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】 题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1） 试确定常数c；（2） 求边缘概率密度.【解】（1） 得.(2) 11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求条件概率密度fYX（yx），fXY（xy）. 题11图【解】 所以 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1） 求X与Y的联合概率分布；（2） X与Y是否相互独立？【解】（1） X与Y的联合分布律如下表YX345120300(2) 因故X与Y不独立13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2） X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）=（1）求X和Y的联合概率密度；（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1） 因 故 题14图(2) 方程有实根的条件是故 X2Y，从而方程有实根的概率为： 15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数(1) 当z0时，（2） 当0z0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0p1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.【解】(1) .(2) 24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 由于X和Y独立，可见 由此，得U的概率密度为 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,Y1.解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有 因为X，Y相互独立，所以推得 .26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为XY -1 0 1 -101a 0 0.20.1 b 0.20 0.1 c其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)= -0.2,PY0|X0=0.5，记Z=X+Y.求：（1） a,b,c的值；（2） Z的概率分布；（3） PX=Z. 解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由，可得.再由 ,得 .解以上关于a，b，c的三个方程得.(2) Z的可能取值为-2，-1，0，1，2，即Z的概率分布为Z-2 -1 0 1 2P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) .27. 设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),求Z=maxX,Y的分布函数.解：因为X,Y独立同分布，所以FX（z）=FY(z),则FZ（z）=PZz=PXz，Yz=PxzPYz=F（z）2.28.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为Y的概率密度为记Z=X+Y.（1）求（2）求Z的概率密度分析 题（1）可用条件概率的公式求解.题（2）可先求Z的分布函数，再求导得密度函数.解(1) （2） 29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,求在Y=y的条件下,X的条件概率密度fXY(xy).解：由第四章第三节所证可知，二维正态分布的不相关与独立性等价，所以f(x,y)= fX (x) FY(y)，由本章所讨论知，.30.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为（1）求（2）求Z=X+Y的概率密度.分析 已知(X,Y)的联合密度函数，可用联合密度函数的性质 解（1）； Z=X+Y的概率密度函数可用先求Z的分布函数再求导的方法或直接套公式求解.解 （1） （2）其中 当时，当时，当时，即Z的概率密度为18
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