资源描述
一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列，试求：（1） （2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数是多少个？（3）求数列的前 k项和并证明：答案：（1）由题意得：（2） 在第k站出发时，前面放上的邮袋共：个 而从第二站起，每站放下的邮袋共：123（k1）个 故 即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数个（3）来源：09年广东中山市月考二题型：解答题，难度：中档已知数列前n项和为，则S15 + S22 - S31的值是A.12 B.-76 C.46 D.76答案：B来源：07年江苏数学竞赛预赛题型：选择题，难度：较难已知数列中，且（1）求证：；（2）设，是数列的前项和，求的解析式；（3）求证：不等式对于恒成立。答案：（1），又因为，则，即，又， （2），因为，所以当时，当时，-： .综上所述， （3）， 又，易验证当时不等式成立 假设，不等式成立，即，两边乘以3得又因为所以即时不等式成立.故不等式恒成立来源：09年山东师大附中月考一题型：解答题，难度：较难数列（1）是否存在非零常数，使数列成等比数列，并证明；（2）求数列的通项；（3）求证：.答案：（1）解得5分（2）5分. (3) 由于 5分来源：09年浙江金华月考一题型：解答题，难度：较难已知数列中，且 （）求，并证明数列是等比数列；（II）求的值答案：（I），且， ， 当2时，有且， 所以数列是一个以为首项，3为公比的等比数列 （II）， . = . 来源：09年北京海淀月考一题型：解答题，难度：中档设数列的前项和为，且满足.（）证明数列是等比数列并求通项；（）求数列的前项和.答案：（）， . 即. ，. 又，. . 是以2为首项，3为公比的等比数列. . （），. . 来源：09年北京海淀月考一题型：解答题，难度：中档由正数组成的数列，若是关于x的方程 的两 根，（1）求证：为等差数列；（2）已知 分别求数列的通项公式（3)在(2)的条件下求数列的前n项和答案：(1)证明:由已知得 即 故 从而 为等差数列 (2) 由 得 又 得 =3 = 。14分来源：09年浙江宁波市月考一题型：解答题，难度：中档已知数列，其中, 数列的前项的和.(1)求数列的通项公式; (2) 求数列的通项公式; (3)求数列的前n项和.答案：（1）, 累加得, , 则.(或者用累乘得 a n = =.) .4分;（2） , ;而, 当时, , 时也适合,所以数列的通项公式为 . .9分;(3) 当, 即时, ,当，即n 3时， ,综上所述 . .来源：09年浙江金华市月考一题型：解答题，难度：较难已知数列（I）求；（II）求数列；（III）设数列答案：（I） （II）得所以 （III）由（II）得：，所以是单调递增数列，故要证：若所以因此：所以来源：09年四川成都市月考一题型：解答题，难度：较难观察下列三角形数表 1 -第一行 2 2 -第二行 3 4 3 -第三行 4 7 7 4 -第四行 5 11 14 11 5 假设第行的第二个数为，（）依次写出第六行的所有个数字；（）归纳出的关系式并求出的通项公式；（）设求证：答案：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6； （2）依题意， ，所以； （3）因为所以 -15分来源：09年江苏高邮月考一题型：解答题，难度：中档已知数列an中，a1，点(n，2an1an)(nN*)在直线yx上，（1）计算a2，a3，a4的值；（2）令bnan1an1，求证：数列bn是等比数列；（3）设Sn、Tn分别为数列an、bn的前n项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由答案：(1)由题意，2an1ann，又a1，所以2a2a11，解得a2，同理a3，a4(2)因为2an1ann，所以bn1an2an11an11，bnan1an1an1(2an1n)1nan112bn1，即又b1a2a11，所以数列bn是以为首项，为公比的等比数列(3)由(2)得，bn()3()，Tn3()又an1n1bnn13()，所以ann23()n，所以Sn2n33由题意，记cn要使数列cn为等差数列，只要cn1cn为常数cn(3)，cn1(3)，则cncn1(3)()故当2时，cncn1为常数，即数列为等差数列来源：09年江苏高邮月考一题型：解答题，难度：较难设数列、满足：(nN*)（）若，求数列的通项公式；（）若是等差数列，求证也是等差数列答案：设的前项和为（）由题意：，即，当时，有，由两式相减可得：，当时，也可用表示，所以对任意的都有：（）若是等差数列，设首项为，公差为，由可得，于是，当时，有，由两式相减可得：，当时，也可用表示，所以对任意的都有：，而（），由等差数列的定义知：也是等差数列来源：09年广东东莞市月考一题型：解答题，难度：中档设数列的首项, 且记（）求，；（）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论（）因为，所以所以，猜想，是公比为的等比数列答案：（），；（）因为所以是首项为，公比为的等比数列来源：09年广东东莞市月考一题型：解答题，难度：中档数列的前n项和记为Sn，已知证明：（）数列是等比数列；（）答案：（）， 整理得 ，所以 . 故是以2为公比的等比数列；（）由（）知，于是，又 ，故，因此对于任意正整数 ，都有来源：09年广东东莞市月考一题型：解答题，难度：中档已知函数的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称（）求函数的解析式；（）若数列(nN*)满足：，求数列的通项公式； （）若数列的前n项的和为,判断与2的大小关系，并证明你的结论答案：() 因为函数 的图象过原点，即，所以c =0，即.又函数的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以，()由题意，开方取正得：，即 = +1，所以 =1.数列是以1为首项，1为公差的等差数列 =1+(n1)=n，即 = ，an= ()当n2时，an= 0且）设是首项为4，公差为2的等差数列. (1)求证：数列是等比数列；(2)若，且数列的前n项和，当时，求；(3)若，问是否存在m，使得中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由. 答案：（）由题意 即 m0且，m2为非零常数，数列an是以m4为首项，m2为公比的等比数列 （）由题意，当 式两端同乘以2，得 并整理，得 = （）由题意 要使对一切成立，即 对一切 成立，当m1时， 成立； 当0m1时，对一切 成立，只需，解得 ， 考虑到0m1， 0m 综上，当0m1时，数列cn中每一项恒小于它后面的项. 来源：09年广东中山市月考二题型：解答题，难度：较难已知数列中，且（且）.（1）求，的值；（2）是否存在实数，使得数列为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案：（1），.4分（2）方法1：假设存在实数，使得数列为等差数列， 设，由为等差数列，则有. .解得，.事实上，. 综上可知，存在实数，使得数列为首项是、公差是1的等差数列.-14分 方法2：假设存在实数，使得为等差数列， 设，由为等差数列，则有（）. . 综上可知，存在实数，使得数列为首项是、公差是1的等差数列来源：09年浙江绍兴月考一题型：解答题，难度：较难(文)已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前项和为，问的最小正整数是多少? . 答案：（1）, , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；（2） ；由得，满足的最小正整数为112.来源：09年高考广东卷题型：解答题，难度：中档(文）设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求数列的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.答案：（）由题意，得，解，得. . 成立的所有n中的最小整数为7，即.（）由题意，得，对于正整数，由，得.根据的定义可知当时，；当时，. .（）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即对任意的正整数m都成立.当（或）时，得（或），这与上述结论矛盾！当，即时，得，解得. 存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，. . 来源：09年高考北京卷题型：解答题，难度：较难已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.（）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证明：当时，成等比数列.答案：（）由于与均不属于数集，该数集不具有性质P.由于都属于数集， 该数集具有性质P.（）具有性质P，与中至少有一个属于A，由于，故. . 从而，.， ，故. 由A具有性质P可知.又，从而，. . （）由（）知，当时，有，即，由A具有性质P可知. ，得，且，即是首项为1，公比为成等比数列.k.s.5.来源：09年高考北京卷题型：解答题，难度：较难(文）已知数列an 的前n项和Sn=znx+zn，数列bn的前n项和Tn=2-bx（）求数列an与bn的通项公式；（）设cn=an2bn，证明：当且仅当n3时，cn+1m时，an2?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。(3)当n10时，证明an.答案：（1）a8=, a9=, a10=.(2)an-2=,当an-22时，an2, 又a9=-82,故当n8时an2。由an=得an-1=, an-1-2=.当an2时，an-12。又a8=122，当n8时，an2。综上所述，满足条件的m存在，且m=8.(3)an-1+an+1-2an = ( -an)+()=.a10=-（-3，2）。下面证明，当n10时，-3an2，其中当n10时，an2已证，只需证当n10时， an-3。an+3=+3= 当an-1（-3，2）时，0，即an-3.当n10时，-3an2。因此，当n10时，an-1+an+1-2an 0，即an.来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难求满足的所有质数.答案：显然.不妨设.因为为质数.所以与不能全为奇数.故.(1)当为不小于5的质数时.有=由于不是3.也不是3的倍数.而.是三个连续的自然数.则其中必有一个数是3的倍数.又不是3的倍数.得必为3的倍数.所以是3的倍数.这与是质数矛盾!(2)当时.只有.这时.综上所述.有.来源：1题型：解答题，难度：较难已知数列的各项均为正数，它的前n项和Sn满足，并且成等比数列.（I）求数列的通项公式；（II）设为数列的前n项和，求.答案：（I）对任意，有 当n2时，有 当并整理得而an的各项均为正数，所以 当n=1时，有，解得a1=1或2当a1=1时，成立；当a1=2时，不成立；舍去. 所以 （II） 来源：09年江苏月考一题型：解答题，难度：中档已知数列中，且点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若函数求函数的最小值；（3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。答案：(1)点P(an,an+1)在直线x-y-1=0上,即an+1- an=1,且a1=1数列 an 是以1为首项，1为公差的等差数列an=1+(n-1)1=n(n2),a1=1也适合, an=n来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难直线与x轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为.（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）（1）求和的值；（2）求及的表达式； （3）对个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总 数为An，对个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An与Bn的大小答案：（1）时，直线上有个点，直线上有 ，直线上有，直线上有 2分 2分（2）时， 时，当时， 3分 2分当 时也满足， 1分（3） ， 1分； 1分来源：07年上海市月考四题型：解答题，难度：较难一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，试求：（1）列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数是多少个？（2）第几站的邮袋数最多？最多是多少？答案：设列车从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列 （1）由题意得：2分 在第k站出发时，前面放上的邮袋共：个4分 而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+（k1）个6分 故 即列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数个8分（2） 当n为偶数时，时，最大值为当n为奇数时，时，最大值为.所以，当n为偶数时，第站的邮袋数最多，最多是个； 当n为奇数时，第站的邮袋数最多，最多是个12分来源：题型：解答题，难度：中档已知正项数列满足，且又， 求证：（1）；（2）答案：证：（1）由条件可知：再变形，得由 叠加可知 而，则（6分）（2）可知从而 得证. （12分）来源：06武汉调考题型：解答题，难度：中档已知数列an满足递推关系：an+1= (nN+)，又a1=1。在a=1时，求数列an通项an；问a在什么范围内取值时，能使数列an满足不等式an+1an恒成立？在3abn.答案：（1）在已知式中，当n=1时， a10 a1=11分 当n2时， 得，3分 an0 =2a1+2a2+2an1+an， 即=2Snan a1=1适合上式 =2Snan(nN+)5分 （2）由（1）知=2Snan(N+) 当n2时， =2Sn1an1 得=2(SnSn1)an+an1=2anan+ an1= an+ an1an+an10 anan1=18分数列an是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n9分（3） 11分当n=2k1，k=1，2，3，时，式即为 依题意，式对k=1，2，3都成立，bn来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难已知的首项为1，公比为2的等比数列，数列满足：表示数列的前n项和. （）当k=2时，求S30； （）当S30取得最小值时，求k的值.答案：.解；（）当k=2时，2分则4分6分（结果不要求最简）。 （）8分10分当且仅当时，等号成立。当S30取得最小值时，k=15。12分来源：07年石家庄市模拟题题型：解答题，难度：较难数列，(1)是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。(2)设，证明：当时，.答案：设 ，即 (2分)故 (4分) (5分)又 (6分)故存在是等比数列 (7分)(2)证明：由得 ，故 (8分) (9分) （11分）现证.当，故时不等式成立 （12分）当得，且由， （14分）来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难设无穷数列an具有以下性质：a1=1；当 (1)请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）； (2)若，其中，且记数列bn的前n项和Bn，证明：答案：(1)令，则无穷数列an可由a1 = 1，给出.显然，该数列满足，且 6分 (2) 8分又来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难在数列中，.(1)设.证明：数列是等差数列；(2)求数列的前项和.答案：（1）， ， ，则为等差数列， ，（2）两式相减，得来源：08年高考全国卷一题型：解答题，难度：中档已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn（nN*），Snb1b2bn，是否存在最大的整数t，使得任意的n均有Sn总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由答案：(1)由题意得（a1d）（a113d）=（a14d）2， 2 分整理得2a1dd2a11，解得（d0舍），d2 4 分an2n1（nN*） 6 分(2)bn（），Snb1b2bn（1）（）（）（1） 10 分假设存在整数t满足Sn总成立.又Sn+1Sn0，数列Sn是单调递增的 12 分S1为Sn的最小值，故，即t9又tN*，适合条件的t的最大值为8 14 分来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难已知数列an中，a1=2，a2=4，是函数f(x)=an-1x23an+an+1 (n2)的一个零点.（1）证明是等比数列，并求 an 的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Sn；（3）是否存在指数函数g(x)，使得对任意的正整数n，有成立？若存在，求出满足条件一个g(x)；若不存在，说明理由.答案：(1) 由累差法易得an =； (2) 由错位相减法易得Sn =(n-1)+2； (3)存在,例如g(x)= ,用裂项法求和易得证。 或用放缩法证明：设,a0且a1 ， 当时，显然有 ，故存在这样的指数函数来源：09年浙江杭州市月考一题型：解答题，难度：较难已知函数, 且的图象经过点, 数列为等差数列.(1) 求数列的通项公式(2) 当n为奇数时, 设问: 是否存在自然数m和M, 使得不等式恒成立? 若存在, 求出的最小值; 若不存在, 请说明理由.答案：(1)由题意得即. 令, 则令,则令, 则(3分)设等差数列的公差为d, 则(5分).(6分)(2)由(1)知: . n为奇数时, (7分)(9分)由得: (10分)设, 随n的增加而减小.又随n的增大而减小, 为n的增函数. (12分)当时,而(13分)由此易知: 使恒成立的m的最大值为0, M的最小值为2, Mm的最小值为2. (14分)来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难数列的通项公式为，记，求所有的正整数，使得能被8整除答案：记注意到，可得因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定，故由(*)式可以算出各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，它是一个以6为周期的数列，从而故当且仅当来源：05上海竞赛题型：解答题，难度：较难已知数列满足：，(1)求数列的通项公式；(2)求使不等式成立的所有正整数、的值答案：(1)由2 an+1 = 3anan1（n2），得 2（an+1an）= anan1，因此数列 anan1 是以a2a1 = 1为首项，为公比的等比数列， ，4分于是 an =（anan1）+（an1an2）+ +（a2a1）+ a1 = 6分(2)由不等式，得 ，即 ，8分所以 2（4m） 2n 8 2n为正偶数，4m为整数，（4m） 2n = 4，或 （4m） 2n = 6， 或 或 或 解得 或 或 或 经检验使不等式成立的所有正整数m、n的值为（m，n）=（1，1）或（2，1）或（3，2）12分说明 问题（1）的归纳做法是：由已知可得， ，于是 来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难设数列的首项.（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数.答案：（1）由整理得.又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故.那么， 又由（1）知且，故，因此为正整数.方法二：由（1）可知，因为，所以.由可得，即两边开平方得.即为正整数.来源：07年高考全国卷二题型：解答题，难度：中档
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