电阻电路的一般分析总结.doc

第 三 章 电 阻 电 路 的 一 般 分 析 重点 1 支路法 2 节点法 3 网孔法和回路法 难点 1 熟练掌握支路法 网孔法和割集分析法的计算思路 会用这几种方法列 写电路方程 2 熟练地运用节点法和回路法分析计算电路 3 1 电 网 络 中 的 基 本 概 念 网络图论与矩阵论 计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础 其中网络图论主 要讨论电路分析中的拓扑规律性 从而便于电路方程的列写 1 支路 Branch 流过同一个电流的电路部分为一条支路 2 节点 node 三条或者三条以上支路的汇集称为节点 4 网络的图 graph 节点和支路的集合 称为图 每一条支路的两端都连接到相应的节点上 6 回路 loop 电路中的任意闭合路径 称为回路 8 网孔 mesh 一般是指内网孔 平面图中自然的 孔 它所限定的区域不再有支路 例如 在下图中 支路数 6 节点数 4 网孔数 3 回路数 7 1 a c2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 9 树 一个连通图 G 的树 T 是指 G 的一个连通子图 它包含 G 的全部节点 但不含任何回 路 树中的支路称为 树支 tree branch 图 G 中不属于 T 的其他支路称为 连支 link 其集合称为 树余 一个连通图的树可能存在多种选择方法 10 基本回路 只含一条连支的回路称为单连支回路 它们的总和为一组独立回路 称为 基本回路 树一经选定 基本回路唯一地确定下来 1 a c2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 对于平面电路而言 其全部网孔是一组独立回路 3 2 2B 法 与 1B 法 3 2 1 支路法 2B 法 介绍 1 方法概述 以支路电压和支路电流作为变量 对节点列写电流 KCL 方程 对回路列写电压 KVL 方程 再对各个支路写出其电压电流关系方程 简称支路方程 从而得到含 2b 个变量的 2b 个独立方程 又称为 2b 法 2 思路 由上述方法可见 2b 法 实际上清晰地体现了求解电路的两个不可或缺的方面 即 电路的解一是要满足网络的拓扑约束 二是要满足电路中各个元件的伏安关系约束 3 方程结构 b 个支路方程 1 n个电流 KCL 方程 1 nb个电压 KVL 方程 共 2b 个独立方程 变量是 b 个支路电流和 b 个支路电压 共 2b 个变量 3 2 2 支路电流法简介 实际上 支路电压法可以类似地推出 1 方法概述 以支路电流作为变量 对独立节点列写电流 KCL 方程 对独立回路列写电压 KVL 方程 再由各个支路的支路方程将支路电压用支路电流表示出来 从而得到含 b 个变量的 b 个独立方程 又称为 1b 法 2 方程结构 1 n 个电流 KCL 方程 1 nb个电压 KVL 方程 共 b 个独立方程 变 量是 b 个支路电流 3 2 3 解题步骤 1 选定各个支路电流的参考方向 2 按 KCL 对 1 n个独立节点列写电流方程 3 选取 b个独立回路 指定回路的绕行方向 应用 KVL 列写电压方程 4 联立上述方程式 求解 3 2 4 说明 1 当电路存在纯电流源支路时 可以设电流源的端电压为变量 同时补充相应的方 程 2 实际解题时 适用于支路数少的电路出计算分析中 3 2 5 例题 已知 电路如图所示 I4 R4 I1 R1 1 R3 I3 R5 I5 A B C US1 R2 US2I S U 2 3 I2 求 用 2b 法及 1b 法的支路电流法及支路电压法列写求解电路各个支路电流的全部独 立方程 解 一 2b 法 05342114IIS 025132131UUSSS 55443322RII 二 支路电流法 05342114IIS 0225112131RIUIRISSS 三 支路电压法 00251321314UUSSS 053423114RUI 3 3 网 孔 法 与 回 路 法 网孔法实际上是回路法中的特殊情况 所谓回路分析法是用数目少于支路电流数的 回路电流 代替支路电流作为电路方程中的变量 而通过回路电流可以推算出全部的支 路电流的方法 对于平面电路 可以按网孔取独立回路 至于原因 有关的图论中有详尽的证明 而 对于非平面电路或者某些连接方式具有一定特点的平面电路 则采用回路分析法 即不一 定选取网孔电流为独立变量 3 3 1 网孔法 一 方法概述 选择电路的网孔电流作为独立变量 对各个网孔列写电压 KVL 方程 由于平面电 路的全部网孔为一组独立回路 因此可以得到一组完备的独立电流方程 从而求解电路中 的待求量 我们仍然以支路法中提到的例题为例 R4 R1 1 R3 I3 R5 A B C US1 R 2 US2IS 2 3 实际上 设定了网孔电流 选择了网孔绕行方向后 就可以根据网孔的 KVL 方程计 算出各网孔电流 从而据此推出其他所有待求量 比如 32IIR 各节点电压可以直接 根据列写各独立节点的 KCL 方程来求取 可见这里的所谓 网孔电流 正是一组可以求 解电路方程的完备的独立电量 列写 KVL 方程 网孔 1 0 121314 RIIURIS 网孔 2 221 U 网孔 3 211335 S 写成矩阵形式 211321532311 343 SSUIRRR 补充方程 SI 2 即可解出待求量 仔细观察可以看出 应用网孔法列写出来的方程组也十分有规律 方程左边的系数矩 阵的对角线上的元称为 自阻 为网孔中各个电阻的和 系数矩阵的其他位置上的元称为 互阻 符号为负 大小为两网孔间公共的电阻的和 方程右边的列向量的各元为沿网孔 绕行方向产生的电位升的电压源值的大小 由于使用网孔法列写方程极具规律性 因此在实际使用网孔法解题时 只需根据电路 的拓扑结构直接列写就可以了 当然 其中的实际电流源要变换为实际电压源 以便计算 二 说明 1 当电路存在纯电流源支路时 可以设电流源的端电压为变量 同时补充相应的方 程 2 当电路中存在受控源时 可以将受控源按独立源一样处理 其后将受控源的控制 量用网孔电流表示出来 然后移项 3 适用于支路多 网孔少的电路分析计算 4 只能运用于平面电路 三 网孔法的矩阵形式 mUIR 其中 Rm 网孔电阻矩阵 其对角线上的元称为 自阻 其值为某一网孔中联接的支 路上的电阻之和 符号为正 其他各元称为 互阻 其值为某两个网孔共有 支路上的电阻之和 符号为负 Im 网孔电流向量 其元为各个网孔的电流 为列向量 Um 节点电压源向量 其元为沿网孔参考方向产生的电压源电位升的和 为列向 量 例题 见 P75 3 12 3 3 2 回路法 一 方法 以连支电流为变量 对用连支确定的基本回路列写 KVL 方程 从而分析计算电路的 方法 在选择树时 应尽量将电流源或受控流源所在的支路选为连支 这样可以不再对由纯 流源连支所确定的基本回路列写方程 从而进一步减少方程的数量 解题方法与解题步骤基本与网孔法相同 所有可以运用网孔法求的电路均可使用回路 法 不同之处在于回路法应用面更广 它可以应用于非平面电路 而且在某些电路结构下 可以简化计算 二 回路法的矩阵形式 lllUIR 其中 Rl 回路电阻矩阵 其对角线上的元称为 自阻 其值为某一基本回路中联接的 支路上的电阻之和 符号为正 其他各元称为 互阻 其值为某两个基本回 路共有支路上的电阻之和 符号为负 Il 连支电流向量 其元为各个连支的电流 为列向量 Ul 回路电压源向量 其元为沿基本回路参考方向产生的电压源电位升的和 为 列向量 三 例题 1 已知 电路如图所示 我们可以注意到 这个电路虽然也是平面电路 各网孔也是 独立回路 但是如果用网孔法解时会出现困难 请思考并查阅相应资料 此时 有两种方 法可以解决 一是选择回路电流时将纯电流源支路选为回路独占的支路 即不把它作为两 个回路的公共支路 然后以该电流源电流作为回路电流 另一个是将原电路中的电流源与 跟它并联的电阻交换位置 使得电流源自然称为网孔独占的支路 并取电流源电流为网孔 电流 通过以上方法均可使得未知电流变量变为两个 I1 I2 2 25k 12V 1k 2k I3 3k I1 I2 I 5 I3 I4 2mA方 法 一 I2 I 3 I5 I4 I1 电 路 对 应 的 图 及 一 组 基 本 回 路 I1 I2 2 25k 12V I5 I4 I3 2mA 1k 2k I1 I2 I3 3k 方 法 二 求 各支路电流 解 方法一 如图所示选择回路及回路电流 在此情况下 回路 1 回路 2 的回路电流即为支路电 流 11 和 12 回路 3 的回路电流等于电流源的电流 2mA 因此只需建立两个回路方程就可 以了 自阻 互阻及每一回路中的电压源电位升的代数和为 kR25 1432 321021 SUV 因此 回路 1 2 的回路方程为 015 10432331 III 而 330 I 可以解出 mA 4 所以mA5 1 2 mA23 II6 324 II9 215 方法二 如图所示 将电流源与跟它并联的电阻调换位置 然后选择网孔电流为回路电流 在 此情况下 网孔 1 2 3 的网孔电流即为支路电流 11 1 2 和电流源的电流 13 2mA 因此 也只需建立两个回路方程就可以了 自阻 互阻及每一回路中的电压源电位升的代数和为 kR5 2 1432 321021 SUV 可见这与方法一中的完全相同 因此 可以列写相同的回路方程 后面的过程略去 2 已知 电路如图 I1 I4 I2 1 I2 2 I 6 1 15A U X X9 I 3 1 I1 I3 1 I 5 I4 I2 I6 I 1 15A XU9 I5 I3 求 各个支路电流 解 分析 该电路既含有独立电流源 又含有受控电流源 为了便于建立回路方程 且方 便计算 可以将这二者分别划归回路 1 和回路 3 从而使得这两个回路电流分别等于已知 的独立电流源电流 15A 和受控源电流 9 XU 于是就只需对回路 2 建立回路方程即 可 再利用受控源与所涉及的回路电流之间的关系 就可以求解出待求量 AIIUIIX15 390 2 231 由此可以解出 I42 23 所以 A15 I42 AI23 II24 AI17315 I66 1 已知 如图所示 5 19V 2 4 I 1 4A30V 25V 1 5I 1 I1 1 5I 1 4A 求 解 选树如图所示 则只需要对连支 I1 所决定的基本回路列写方程即可 192530 4 2 425 11 II 解得 AI1 3 4 节 点 法 3 4 1 节点法方法介绍 一 方法概述 任意选择电路中某一节点为参考节点 其他节点与此参考节点间的电压称为 节点电 压 节点法是以节点电压作为独立变量 对各个独立节点列写电流 KCL 方程 得到含 1 n 个变量的 1 n个独立电流方程 从而求解电路中的待求量 二 方程结构 个电流 KCL 方程 变量是 1 n个节点电压 我们仍然以支路法中提到的例题为例 实际上 选择了参考节点后 只要计算出各独 立节点的电位 就可以据此推出其他所有待求量 比如 CARU 4 各节点电压可以 直接根据列写各独立节点的 KCL 方程来求取 可见这里的所谓 节点电压 正是一组可 以求解电路方程的完备的独立电量 I4 R4 I1 R1 R3 A B U1 R3 C R 2 R5IS U I 2 U2 R5 列写 KCL 方程 节点 A 041 RUICABAS 节点 B 33 121RUBS 节点 C 5 24313 RCSCAC 5254314 3133211 4141 RURURISCBA SBA 写成矩阵形式 52315431421 IGGSSCBA 仔细观察可以看出 应用节点法列写出来的方程组十分有规律 方程左边的系数矩阵 的对角线上的元称为 自导 符号为正 为节点上连接的电导的和 系数矩阵的其他位置 上的元称为 互导 符号为负 大小为两节点间连接的电导的和 方程右边的列向量的各 元为流入该节点的电流源的大小 由于使用节点法列写方程极具规律性 因此在实际使用节点法解题时 只需根据电路 的拓扑结构直接列写就可以了 当然 其中的实际电压源要变换为实际电流源 以便计算 三 节点法的矩阵形式 nnJUG 其中 Gn 节点电导矩阵 其对角线上的元称为 自导 其值为某一节点上联接的支 路上的电导之和 符号为正 其他各元称为 互导 其值为某两个节点之间 的支路上的电导之和 符号为负 Un 节点电压向量 其元为各个节点到参考节点的电压 为列向量 Jn 节点电流源向量 其元为注入某一节点的电流源电流之和 为列向量 3 4 2 解题步骤 1 选定参考节点 2 直接写出节点电压方程 实质上是电流方程 注意自导总为正值 互导总为负值 3 联立上述方程式 求解 3 4 3 说明 1 当电路存在纯电压源支路时 可以设电压源的电流为变量 同时补充相应的方程 也可以使用 改进的节点法 将纯电压源设为一个 广义节点 然后按前面的方法列写 节点方程 2 当电路中存在受控源时 可以将受控源按独立源一样处理 其后将受控源的控制 量用节点电压表示出来 然后移项 3 适用于支路多 节点数少的电路分析计算 实际生活中在三相电路的计算中常用 4 可以运用于非平面电路 3 4 4 例题 2 存在纯电压源支路的情况 已知 电路如图所示 6 2 3 5V 3 2 0 5A 求 6 电阻上的电流 解 方法一 将纯电压源的电流作为变量添加在方程中 实际上 是选 用了混合变量作为一组完备的独立变量 6 2 3 5V 3 2 0 5A I 设出纯电压源支路的电流为 I 方向如图所示 根据节点法直接列写方程组如下 5 0 613 61261 613 32UUI 在以上直接列写的方程组中添加方程 V1 这样三个方程 三个变量 即可求 解出电路的各个待求量 其中 VU3 2 所以待求的电流为 A45 0632 方法二 使用所谓的 改进节点法 即将纯电压源支路作为 广义节点 按节点法 规则直接列写方程 6 2 3 5V 3 2 0 5A 广 义 节 点 在本题中 如果将纯电压源支路作为一个广义节点 则原来点节点 1 与原来选定的参 考节点一起称为新的 参考节点 于是可以只针对节点 2 3 列写方程 注意此时的参考 节点包含有节点 1 5 0 316 561 2 23U 可以计算出与方法一相同的结论 3 存在受控源的情况 已知 电路如图所示 1 2 U23 0 5 2A 2U23 1V 1 3 4U43 0 5 1 U43 4 求 各节点电压 解 在建立节点节点方程时 受控源可以按独立源对待 但需利用受控源与其所涉及 到的节点电压变量之间的关系 在该题的求解中 可以将红色框内的电压源 即节点 3 和原参考节点 作为广义参考 节点 兰色框内的受控源 即 1 4 节点 作为广义节点 1 这样列写节点电压方程时 直 接列写的方程数就只有两个 广义节点 1 233241 5 0 UU 节点 2 2 15 0 13 UU 再加上受控源与其涉及到的节点电压变量之间的关系 233 4144 此时联立上面方程最终可以得出待求量 VUVU31 1 97 37 4321 小节 2b 法 1b 法 节点 分析法 割集 分析法 网孔 分析法 回路 分析法 变 量 支路电 压和支 路电流 支路电 压或支 路电流 节点电压 树支电压 网孔电流 连支电流 方程 性质 KCL 方 程和 KVL 方程 KCL 方 程或 KVL 方 程 KCL 方程 KCL 方程 KVL 方程 KVL 方程 独立 方程 数目 两倍支 路数 支路数 独立节点数 小于树支数 网孔数目 小于连支数 方程 矩阵 形式 0Aib Bu 支路 VCR ib 独立回路 电压方程 nnJUG 节点电导阵n 节点电压向 量 nJ 流入节点的 电流源向量 TTJ 割集电导阵T 树支电压向 量 TJ 割集电流源 向量 相同为负 mUIR 网孔电阻矩 阵 mI 网孔电流向 量 U 网孔电压源 向量 电位升为正 LI L 回路电阻矩 阵LI 回路电流向量 回路电压源 向量 电位升为正 适用 范围 最基本 最灵活 方程数 减少 易于编程 节点电压易 确定 方程数目少 只适用于平 面电路 网 孔不易确定 方程数目少