第八届(2016)全国大学生数学竞赛预赛试题试题

第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案 非数学类 2016 年 10 月 绝密 启用前 考试形式 闭卷 考试时间 150 分钟 满分 100 分 题 号 一 二 三 四 五 六 总 分 满 分 30 14 14 14 14 14 100 得 分 注意 1 所有答题都须写在试卷密封线右边 写在其他纸上一律无效 2 密封线左边请勿答题 密封线外不得有姓名及相关标记 3 如答题空白不够 可写在当页背面 并标明题号 省市 学校 准考证 号 姓名 考场号 座位号 密封线 答题时不要超过此线 一 填空题 本题满分30分 共5小题 每小题6分 1 若 f x 在点 x a 可导 且 f a 0 则 limn 1 f a 1n f a n 2 若 f 1 0 f 1 存在 则极限 I limx 0 f sin 2 x cosx tan3x ex2 1 sinx 3 设 f x 有连续导数 且 f 1 2 记 z f exy2 若 z x z 则当 x 0 f x 第 1页 共 6 页 4 设 f x ex sin 2x 则 f 4 0 5 曲面 z x 2 2 y 2 平行于平面 2x 2y z 0 的切平面方程为 二 本题满分14分 设 f x 在 0 1 可导 f 0 0 且当 x 2 0 1 0 f x a 0 f3 x dx 第 2页 共 6 页 三 本题满分14分 某物体所在的空间区域为 x2 y2 2z2 x y 2z 密度函数为 x2 y2 z2 求质量 M x2 y2 z2 dx dy dz 省市 学校 准考证 号 姓名 考场号 座位号 密封线 答题时不要超过此线 第 3页 共 6 页 四 本题满分14分 设函数 f x 在闭区间 0 1 上具有连续导数 f 0 0 f 1 1 证明 limn 1n 1 0 f x dx 1n n k 1 f k n 12 五 本题满分14分 设函数 f x 在区间 0 1 上连续 且 I 1 0 f x dx 0 证明 在 0 1 内存在不同的两点 x1 x2 使得 1 f x1 1 f x2 2 I 六 本题满分 14 分 设 f x 在 1 1 可导 且 f x f x 2 f x p3 用 Fourier 级数理论证明 f x 为常数