2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)

2018 年 全国 高中 数学 联 合竞 赛一 试 A 卷 参 考答 案及 评分 标准 说 明 1 评阅 试卷 时 请 依据 本评 分标准 填 空题只 设 8 分和 0 分 两档 其 他各 题的 评 阅 请严格 按照 本评分 标准 的评分 档次 给分 不得 增加其 他中 间档次 2 如果 考生 的解答 方法 和本 解答不 同 只要思 路合 理 步骤正 确 在 评卷 时可 参 考本 评分标 准适 当划分 档次 评分 解 答题 中第 9 小题 4 分为 一个 档次 第 10 11 小题 5 分为 一个 档次 不得 增加其 他中 间档次 一 填空题 本大题共 8 小题 每小题 8 分 满分 64 分 1 设集合 1 2 3 9 9 2 2 A B x xAC x xA 则 BC 的元 素个数为 答案 24 解 由 条件知 1 3 99 2 4 6 198 1 2 2 4 6 48 22 2 BC 故 BC 的元素个数为 24 2 设 点 P 到平面 的距离 为 3 点 Q 在平面 上 使得直线 PQ 与 所成 角不小于30 且不大于 60 则 这样的点 Q 所构成的区域的面积为 答案 8 解 设点 P 在平面 上的射影为 O 由条件知 3 tan 3 3 OP OQP OQ 即 1 3 OQ 故所求的区域面积为 22 3 18 3 将1 2 3 4 5 6 随机排成一行 记为 abcde f 则 abc def 是 偶 数的 概率为 答案 9 10 解 先考虑 abc def 为奇数的情况 此 时 abc def 一奇一偶 若 abc 为奇数 则 abc 为1 3 5 的排列 进而 def 为 2 4 6 的排列 这样有 3 3 36 种情况 由对称性可知 使 abc def 为奇数的情况数为 36 2 72 种 从而 abc def 为偶 数的概率为 72 72 9 11 6 720 10 4 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 22 22 1 0 xy C ab ab 的左 右焦点 分别是 1 F 2 F 椭 圆 C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴 且相交于点 P 已 知线段 PU PS PV PT 的长分别为1 2 3 6 则 12 PF F 的面积为 答案 15 解 由对称性 不妨设 PP Px y 在第一象限 则由条件知 11 2 1 22 PP x PT PS y PV PU 1 即 2 1 P 进而由 1 2 P x PU PS 得 2 2 4 1 US 代入椭圆C 的方程知 2 2 22 1 1 11 4 4 16 1 a b ab 解得 22 20 5 ab 从而 12 22 12 1 15 2 PF F P P S FF y a b y 5 设 fx 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数 在区间 0 1 上严格递减 且满足 1 2 2 ff 则不等式组 1 2 1 2 x fx 的解集为 答案 2 8 2 解 由 fx 为偶函数及在 0 1 上严格递减知 fx 在 1 0 上严格递增 再结合 fx 以 2 为周期可知 1 2 是 fx 的严格递增区间 注意到 2 1 8 2 2 2 2 f ff f f 所以 1 2 2 8 2 fx f fx f 而1 282 2 故原不等式组成立当且仅当 2 8 2 x 6 设复数 z 满足 1 z 使得关于 x 的方程 2 2 20 zx zx 有实根 则这样 的复数 z 的和为 答案 3 2 解 设 22 i 1 R z a b ab a b 将原方程改为 2 i 2 i 2 0 a bx a bx 分离实部与虚部后等价于 2 2 20 ax ax 2 20 bx bx 若 0 b 则 2 1 a 但 当 1 a 时 无实数解 从 而 1 a 此时存在实 数 13 x 满足 故 1 z 满足条件 若 0 b 则由 知 0 2 x 但显然 0 x 不满足 故只 能是 2 x 代 入 解得 1 4 a 进而 15 4 b 相应有 1 15 i 4 z 综上 满足条件的所有复数 z 之和为 1 15 i 1 15 i 3 1 4 42 7 设O 为 ABC 的外心 若 2 AO AB AC 则sin BAC 的值为 答案 10 4 解 不失一般性 设 ABC 的外接圆半径 2 R 由条件知 2AC AO AB BO 故 1 1 2 AC BO 2 取 AC 的 中点 M 则OM AC 结合 知 OM BO 且 B 与 A 位于直线 OM 的同侧 于是 1 cos cos 90 sin 4 MC BOC MOC MOC OC 在 BOC 中 由余弦定理得 22 2 cos 10 BC OB OC OB OC BOC 进而在 ABC 中 由正弦定理得 10 sin 24 BC BAC R 8 设整数数列 1 2 10 aa a 满足 10 1 2 8 5 3 2 a aa a a 且 1 1 2 1 2 9 i ii a a ai 则这样的数列的个数为 答案 80 解 设 1 1 2 1 2 9 ii i ba a i 则有 1 10 1 1 2 9 2a a a bb b 234 52 85 567 bbb aa aa bbb 用t 表示 234 bbb 中值为 2 的项数 由 知 t 也是 567 bbb 中值为 2 的项数 其中 0 1 2 3 t 因此 23 7 bb b 的取法数为 02 12 22 32 3333 C C C C 20 取定 23 7 bb b 后 任意指定 89 bb 的值 有 2 24 种方式 最后由 知 应取 1 1 2 b 使得 12 9 bb b 为偶数 这样的 1 b 的取法 是 唯一的 并且确定了整数 1 a 的值 进而数列 12 9 bb b 唯一对应一个满足条件的 数列 1 2 10 aa a 综上可知 满足条件的数列的个数为 20 4 80 二 解答题 本大题共 3 小题 满分 56 分 解答应写出文字说明 证明过 程或演算步骤 9 本题 满分 16 分 已知定义在 R 上的函数 fx 为 3 log 1 0 9 4 9 xx fx xx 设 abc 是三个互不相同的实数 满足 fa fb fc 求 abc 的取值范围 解 不妨假设 abc 由于 fx 在 0 3 上严格递减 在 3 9 上严格递增 在 9 上严格递减 且 3 0 9 1 ff 故结合图像可知 0 3 a 3 9 b 9 c 并且 0 1 fa fb fc 4 分 由 fa fb 得 33 1 log log 1 ab 即 33 log log 2 ab 因此 2 39 ab 于是 9 abc c 8 分 又 3 0 4 1 fc c 12 分 故 9 16 c 进而 9 81 144 abc c 所以 abc 的取值范围是 81 144 16 分 注 对任意的 81 144 r 取 0 9 r c 则 0 9 16 c 从 而 0 0 1 fc 过 点 00 c fc 作平行于 x 轴的直线 l 则 l 与 fx 的图像另有两个交点 afa bfb 其中 0 3 3 9 ab 满足 fa fb fc 并且 9 ab 从 而 abc r 10 本题 满分 20 分 已知实数列 123 aaa 满足 对任意正整数 n 有 2 1 nn n aSa 其中 n S 表示数列的前 n 项和 证明 1 对任意正整数 n 有 2 n an 2 对任意正整数 n 有 1 1 nn aa 证明 1 约定 0 0 S 由条件知 对任意正整数 n 有 22 11 1 1 2 nn n n n n n n n aSa S S S S S S 从而 22 0 n Sn Sn 即 n Sn 当 0 n 时亦成立 5 分 显然 1 12 n nn a SS n n n 10 分 2 仅需考虑 1 nn aa 同号的情况 不失一般性 可设 1 nn aa 均为正 否则 将数列各项同时变为相反数 仍满足条件 则 11 n nn S SS n 故必有 1 1 nn S nS n 此时 1 1 1 nn a nna n n 从而 1 1 1 1 1 1 nn a an n nn nn nn 20 分 11 本题 满分 20 分 在平面直角坐标系 xOy 中 设 AB 是抛物线 2 4 yx 的 过点 1 0 F 的弦 AOB 的外接圆交抛物线于点 P 不同于点 O AB 若 PF 平 分 APB 求 PF 的所有可能值 解 设 22 2 123 123 444 yyy Ay By Py 由条件知 123 yyy 两两不等且非零 设直线 AB 的方程为 1 x ty 与抛物线方程联立可得 2 4 40 y ty 故 12 4 yy 注意到 AOB 的外接圆过点O 可设该圆的方程为 22 0 x y dx ey 与 2 4 y x 联立得 4 2 10 16 4 yd y ey 该四次方程有 123 0 y yyy 这四个不 4 同的实根 故由韦达定理得 123 00 yyy 从而 3 12 y yy 5 分 因 PF 平分 APB 由角平分线定 理知 1 2 PA FA y PB FB y 结 合 有 2 22 2 31 2 2 22 2 31 2 12 1 12 1 22 2 2 2 2 22 2 2 2 3 2 12 2 21 32 16 2 44 16 2 44 yy yy yy y yy PA y y PB y y yy y yy yy 2 2 22 4 2 2 12 2 1 2 2 22 4 2 1 21 1 2 8 16 4 16 64 192 8 16 4 16 64 192 y yy y y y yy y y 10 分 即 6 22 2 6 22 2 11 2 1 22 1 2 64 192 64 192 y yy y y yy y 故 22 42 24 12 11 22 192 0 yy yy yy 当 22 12 yy 时 21 yy 故 3 0 y 此时 P 与 O 重合 与条件不符 当 42 24 11 22 192 0 yy yy 时 注意到 有 2 22 2 1 2 12 192 208 y y yy 15 分 因 22 1 2 12 4 13 8 2 y y yy 故 满足 以及 22 12 4 13 yy 的实数 12 yy 存 在 对应可得满足条件的点 AB 此时 结合 知 2 2 22 3 12 1 2 4 4 208 4 1 13 1 4 4 44 y yy y y PF 20 分 5