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求使不等式ax2+4x-1-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。答案:由不等式得(a+2)x2+4x+a-10. 对任意xR成立。)当a=-2时,化为4x3,当x时不成立。)当a-2时,=44-(a+2)(a-1)0,即a2+a+24,得a2,或a-3,综上所述,a2。来源:08年数学竞赛专题二题型:解答题,难度:中档a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数,不等式a1x2+b1x+c10和a2x2+b2x+c20的解集分别为集合M和N,那么“”是“M=N”的( )A充分非必要条件.B必要非充分条件.C充要条件D既非充分又非必要条件.答案:D来源:03年上海题型:选择题,难度:中档已知不等式组 的整数解恰好有两个,求a的取值范围。答案:因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,若a0,则x1x2.的解集为ax1-2a.因为1-2a1-a,所以a0,所以不等式组无解。若a0,)当0a时,x1x2,的解集为ax1-a.因为0ax1-a时,a1-a,由得x1-2a,所以不等式组的解集为1-ax1且a-(1-a)3,所以1a2,并且当1a2时,不等式组恰有两个整数解0,1。综上,a的取值范围是1a2.来源:08年数学竞赛专题二题型:解答题,难度:较难已知f(x)=ax2+bx+c在0,1上满足|f(x)|1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。答案:因为,所以,所以|a|+|b|+|c|=|2f(1)+2f(0)-4f|+|4f-f(1)-3f(0)|+|f(0)| 3+|f(1)|+8|f|+6|f(0)|17.另一方面,对于二次函数f(x)=8x2-8x+1,当x0,1时,|f(x)|1,且|a|+|b|+|c|=17,所以|a|+|b|+|c|的最大值为17。来源:08年数学竞赛专题二题型:解答题,难度:较难对任意x0,1,有 成立,求k的取值范围。答案:当x0,1时,有x2-2kx+k-40成立。记f(x)=x2-2kx+k-4,当且仅当时-3k0,由g(1)0可得k2.)当0k0当且仅当,即-6k2,亦即0k2;)当k0当且仅当g(1)0,即k2。综上所述,对任意x0,1,不等式组成立。当且仅当-3k100,试问满足|f(x)|50的整数x最多有几个?答案:f(x)=a(x-x0)2+f(x0)。)若|f(x0)|50,因为满足|n-x0|50,若f(x0)50,则|f(x)|50无解;若f(x0)-50,设|f(n)|50,|f(n+k)|50,若k1,则|f(n+k)-f(n)|=|ak(2n+k-2x0)|100.则k|2n+k-2x0|1,若nx0,则k无解,所以满足nx0且|f(x)|50的整数x至多有1个。同理可得若nn+kx0,则若k1,|k(2n+k-2k0)|k|1,所以满足的k也不存在。所以满足|f(x)|50的整数最多有2个。例如,f(x)=101,当x=0,1时有|f(x)|0(mR)答案:(1)m=0时 -3x+90 x3(2)m3时 当m0时10 0m1时,x3或来源:题型:解答题,难度:中档已知函数是定义在上的奇函数,当时,(为常数)。(1)求函数的解析式;(2)当时,求在上的最小值,及取得最小值时的,并猜想在上的单调递增区间(不必证明);(3)当时,证明:函数的图象上至少有一个点落在直线上。答案:(1)时, 则 函数是定义在上的奇函数,即,即 ,又可知 函数的解析式为 ,(2), ,即 时, 。猜想在上的单调递增区间为。(3)时,任取,在上单调递增,即,即,当时,函数的图象上至少有一个点落在直线上。来源:08年高考探索性专题题型:解答题,难度:较难设,求满足下列条件的实数的值:至少有一个正数,使的定义域和值域相同答案:若a0,则对每个正数b,的定义域和值域都是,故a0满足条件若a0,则对每个正数b,的定义域D,但的值域A故DA,即a0不合条件若a0,则对每个正数b,的定义域D,由于此时,故的值域为所以,综合所述,a的值为0或4来源:题型:解答题,难度:中档已知a, b, cR, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|1时,|f(x)|1,(1)求证:|c|1;(2)求证:当|x|1时,|g(x)|2;(3)当a0且|x|1时,g(x)最大值为2,求f(x).答案:(1)令x=0,则|f(0)|0,于是|c|1。(2)因为,解得a=f(1)+f(-1)-2f(0), b=f(1)-f(-1),所以当|x|1时,|g(x)|=|ax+b|=|f(1)+f(-1)-2f(0)x+f(1)-f(-1)|=|(x+1)f(1)+(x-1)f(-1)-2xf(0)|x+1|f(1)|+|x-1|f(-1)+|2x|f(0)|(|x+1|+|x-1|+2)= (x+1)+(1-x)+2=2.(3)因为当a0时g(x)=ax+b在-1,1上递增,所以当x=1时,g(x)=2,即g(1)=a+b=2=f(1)-f(0).而-1f(1)1,-1-f(0)1,所以f(1)=1,-f(0)=1,所以c=-1。又当|x|1时,f(x)-1=f(0),所以在-1,1上,f(0)为f(x)的最小值,所以0=-,所以b=0,a=2。所以f(x)=2x2-1.来源:08年数学竞赛专题二题型:解答题,难度:中档设A=x| 1x0成立。(1)判断函数f(x)在1,1上是增函数还是减函数,并证明你的结论;(2)解不等式f(x + )f( );(3)若f(x)m22am + 1对所有x 1,1,a 1,1恒成立,求实数m的取值范围。答案:解:(1)任取x1、x2 1,1且x10,x1x20,得f(x1)f(x2)0,即f(x1) f(x2),故f(x)在1,1上是增函数。 4分(2)据函数f(x)是定义在1,1上的增函数,不等式f(x + )0时g(a)为1,1上的减函数,此时g(1)最小。由 解得m2;当m = 0时,g(a) = 0,对a 1,1的g(a)0也成立;当m0当|a|1时恒成立的x的取值范围是_.答案:x或x0和a2x2+b2x+c20解集分别为M和N,那么“”是“M=N”的_条件。答案:非充分非必要。若,则MN=,则未必有来源:08年数学竞赛专题二题型:填空题,难度:中档当|x-2|a时,不等式|x2-4|1成立,则正数a的取值范围是_.答案:0a.|x2-4|1解为或,|x-2|a解为2-ax,所以0a来源:08年数学竞赛专题二题型:填空题,难度:中档方程x2-2(m-1)x+m2-4=0的两根异号,则m的取值范围是_答案:-2m0),若非p是非q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是_.答案:m9。非p:x10,非q: x2-2x+1-m20,非p是非q的必要不充分条件且等号不同时成立。解得m9。来源:08年数学竞赛专题二题型:填空题,难度:中档关于的方程的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内.则的取值范围是 .答案: 来源:题型:填空题,难度:中档若不等式的解集是,则= 答案:-5 来源:题型:填空题,难度:中档若关于x的方程4x2-4x+m=0在-1,1上至少有一个实根,则m取值范围是_.答案:-8m1。因为-1,1,所以方程无实根=16(1-m)0或4+4+m1或m0的解是1x2,则a, b的值是_.答案:或。由条件a0,=2,1+2=解得a=-1或来源:08年数学竞赛专题二题型:填空题,难度:中档若不等式-x2+kx-40的解集为R,则实数k的取值范围是_.答案:。若解集为R,则只有k2-10且=k2+4(k2-1)0的解集是_.答案:或来源:04年江苏题型:填空题,难度:中档使不等式x2-2x-150成立的负值x的范围是_答案:x-5来源:题型:填空题,难度:中档已知x2-5x+60,A=x2+5x+6,则A的取值范围是_答案:20A30 来源:题型:填空题,难度:中档若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切xR都有f(x)x且f(1)=1,则p+q2=_.答案:-1。由f(x) x得x2(x2+px+q)0对一切xR成立,所以p2-4q0.又f(1)=1,所以p+q+2=1,所以q=-p-1.代入p2-4q0,所以p= -2,q=1。来源:08年数学竞赛专题二题型:填空题,难度:中档当时,不等式恒成立,则的取值范围是_.答案:来源:07年高考山东卷(文)题型:填空题,难度:较难若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是_;若关于的不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是_。答案:来源:04北京市春题型:填空题,难度:中档不等式的解集是_.答案: 来源:03全国高考题型:填空题,难度:容易不等式x2(a+1)|x|+a0的解集为x|x1或x1,xR,则a的取值范围为 .答案:a0来源:题型:填空题,难度:中档已知集合,.若,则实数的取值范围是_.答案:集合=x| a1xa+1,=x| x4或x1 .又, ,解得2a3,实数的取值范围是(2,3)。来源:07年高考北京卷题型:填空题,难度:中档集合,则的取值范围是 .答案:;来源:题型:填空题,难度:中档设p:|4x3|1; q:0若 p是 q的必要而不充分的条件,则实数a的取值范围是 答案:0,来源:1题型:填空题,难度:中档设全集为R,若集合A = x|x23x +20 ,集合B = x | logx + log(x + 1)1 ,则是=_;_.答案:x | x1 ;x | x1或x2 来源:题型:填空题,难度:中档0b(ax)2的解集中的整数恰有3个,则A.-1a0 B.0a1 C.1a3 D.3a6答案:C由题得不等式(x-b)2(ax)2即(a2-1)x2+2bx-b20,它的解应在两根之间,故有,不等式的解集为或。若不等式的解集为,又由得,故,即 . 答案:C来源:09年高考天津卷题型:选择题,难度:中档已知集合A=x3x-2-x20,B=xx-a0,若BA,则a的取值范围是 A a1 B 12 D a2答案:A 来源:题型:选择题,难度:较易设集合P=m|-1m0, Q=mR|mx2+4mx-40对任意实数恒成立,则下列关系中立的是(A) (B) Q P (C)P=Q (D)PQ=答案:A来源:04年湖北题型:选择题,难度:中档集合Axx10,B=xx220,全集IR,则A为 ( )Axx或x Bxx或x1Cx1x Dxx1答案:C来源:题型:选择题,难度:容易已知集合P= 0, m,Q=x,若PQ,则m等于( )A.1 B.2 C.1或 D. 1或2答案:D来源:题型:选择题,难度:中档已知集合A=xx2-2x-80,B=xx-a-2答案:C来源:题型:选择题,难度:中档已知,则(A)(B)(C)(D)答案:C来源:04年广东题型:选择题,难度:较难等于( )ABCD答案:A来源:题型:选择题,难度:容易设集合M=x|x2x0,xR,N=x|x|2,xR,则A.NMB.MN=MC.MN=MD.MN=R答案:B来源:题型:选择题,难度:较易已知集合,则为(A)或(B)或(C)或(D)或答案:A来源:1题型:选择题,难度:中档已知三个不等式, ,要使同时满足和的所有的值都满足,则实数的取值范围是 ()AB C9 D9答案:C来源:题型:选择题,难度:容易不等式x24x+30 x26x+80 2x29x+m9Bm6Cm6Dm9答案:D来源:题型:选择题,难度:中档已知集合,且,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D) 答案:A来源:题型:选择题,难度:中档若不等式的解集为那么不等式的解集为( )(A) (B) (C) (D)答案:A来源:题型:选择题,难度:中档若条件p:|x+1|4,条件q:x25x6,则p是q的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A来源:题型:选择题,难度:中档若不等式的解集为,则不等式的解 集为( )() () () () 答案:C来源:题型:选择题,难度:中档已知抛物线方程为、.则“此抛物线顶点在直线y=x下方”是“关于x的不等式有实数解”的( )A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件答案:A来源:题型:选择题,难度:中档命题p:如果x2+2x+1a20,那么1+ax1a.命题q:a1.那么,q是p的( )条件.A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要答案:A来源:题型:选择题,难度:较易若集合,则A. B. C. D.答案:B来源:07年北京海淀区二模题型:选择题,难度:容易
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