高中立体几何习题及解析(二).doc

高中立体几何典型习题及解析(二)26. 在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.解析：四边形EFGH是平行四边形，（4分）=2=27. 如图，在三角形ABC中，ACB=90，AC=b,BC=a,P是ABC 所在平面外一点，PBAB，M是PA的中点，ABMC，求异面直MC与PB间的距离.解析：作MN/AB交PB于点N（2分）PBAB，PBMN。（4分）又ABMC，MNMC（8分）MN即为异面直线MC与PB的公垂线段，（10分）其长度就是MC与PB之间的距离， 则得MN=AB=28. 已知长方体ABCDA1B1C1D1中, A1A=AB， E、F分别是BD1和AD中点.（1）求异面直线CD1、EF所成的角；（2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.（1）解析：在平行四边形中，E也是的中点，（2分）两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.（4分）又A1A=AB，长方体的侧面都是正方形，D1CCD1 异面直线CD1、EF所成的角为90.（7分）（2）证：设AB=AA1=a, D1F=EFBD1（9分）由平行四边形，知E也是的中点，且点E是长方体ABCDA1B1C1D1的对称中心，（12分）EA=ED，EFAD，又EFBD1，EF是异面直线BD1与AD的公垂线.（14分）29. ABC是边长为2的正三角形，在ABC所在平面外有一点P，PB=PC=，PA=，延长BP至D，使BD=，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离.解析：分别连接PE和CD，可证PE/CD，（2分）则PEA即是AE和CD所成角（4分）在RtPBE中，PB=，BE=1，PE=。在AEP中，AE=，=AEP=60，即AE和CD所成角是60（7分）AEBC，PEBC，PE/DC，CDBC，CE为异面直线AE和CD的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1（14分）30. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱AB，BC，的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面解析：EN/MF，EN与MF 共面，（2分）又EF/MH，EF和MH共面（4分）不共线的三点E，F，M确定一个平面，（6分）平面与重合，点H。（8分）同理点G（10分）故E，F，G，H，M，N六点共面31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（ ）A1条B2条C3条D1条或2条D解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D32两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（ ）A4个B5个C6个D8个解析：C 如四棱锥的四个侧面，个。33.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则（ ）AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在AC上，也可能在BD上DM不在AC上，也不在BD上解析：平面ABC平面ACD=AC，先证M平面ABC，M平面ACD，从而MACA 34. 用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 .解析：6条35. 已知：本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：PQa,PQ与a确定一个平面36. 已知ABC三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（12分）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：A、B、C是不在同一直线上的三点过A、B、C有一个平面又 37. 已知：平面 求证：b、c是异面直线解析：反证法：若b与c不是异面直线，则bc或b与c相交38. 在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=，求AD与BC所成角的大小（本题考查中位线法求异面二直线所成角）解析：取BD中点M，连结EM、MF，则39. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，求异面直线CM与D1N所成角的正弦值.(14分)（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）解析：取DD1中点G，连结BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，记MCBG=0则BG和MC所成的角为异面直线CM与D1N所成的角.而CM与D1N所成角的正弦值为40. 如图，P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和PC的中点，且PA=PB=PC=AB=a。（1）求证：MN是AB和PC的公垂线（2）求异面二直线AB和PC之间的距离解析：（1）连结AN，BN，APC与BPC是全等的正三角形，又N是PC的中点AN=BN又M是AB的中点，MNAB同理可证MNPC又MNAB=M，MNPC=NMN是AB和PC的公垂线。（2）在等腰在角形ANB中，即异面二直线AB和PC之间的距离为.41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 A可能有3个，也可能有2个 B可能有4个，也可能有3个C可能有3个，也可能有1个 D可能有4个，也可能有1个解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。.42. 下列命题中正确的个数是 三角形是平面图形 四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形 矩形一定是平面图形A1个 B2个 C3个 D4个解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有_1个。解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_，则它们在同一平面内。答案：相交或平行解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有_3个。解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。46. 三条平行直线可以确定平面_个。答案：1个或3个解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。47. 画出满足下列条件的图形。(1)=1，a ，b ，ab=A(2)=a，b ，ba解析：如图1-8-甲，1-8-乙 48.经过平面外两点A，B和平面垂直的平面有几个？解析：一个或无数多个。当A，B不垂直于平面时，只有一个。当A，B垂直于平面时，有无数多个。 49. 设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB12，CD4 ，且四边形EFGH的面积为12 ，求AB和CD所成的角. 解析： 由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD， EHG就是异面直线AB和CD所成的角. EFGH是平行四边形，HG AB6，HE ，CD2， SEFGHHGHEsinEHG12 sinEHG, 12 sinEHG12. sinEHG,故EHG45. AB和CD所成的角为45注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。50. 点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF= AD，求异面直线AD和BC所成的角。（如图）解析：设G是AC中点，连接DG、FG。因D、F分别是AB、CD中点，故EGBC且EG= BC，FGAD，且FG=AD，由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即EGF为所求。由BC=AD知EG=GF=AD，又EF=AD，由余弦定理可得cosEGF=0，即EGF=90。 注：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。