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数字图像处理读书报告5频率域滤波钱增磊前言：本章主要学习图像特征与用于表示这些特征的数学工具之间的联系，介绍在基本的图像滤波中如何使用福利叶变换。内容要点：一是傅里叶变换的起源及其应用于数学、科学及工程的众多分支；二是介绍取样函数的基本原理以及对一维二维离散傅里叶变换的推导和频率域处理的要领；三是频率域的公式表示及应用；四是在图像处理中实现傅里叶变换的有关问题进行讨论。 一、傅里叶变换基础傅里叶是法国数学家，他指出任何周期函数可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和的形式，每个正弦项和/或余弦项乘以不同的系数，最初是用在热分析理论中。其主要有傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换以及快速傅里叶变换。1、傅里叶级数在复数领域中，通常复数可用欧拉函数的形式进行转换表示：，那么复数为；则根据上述的傅里叶级数定义，得到，其中2、冲激及其取样特性冲激函数定义为，其中被限制为满足等式，其物理意义就是一个幅度无限，持续时间为0，具有单位面积的尖峰信号。其取样特性为函数与冲激函数的乘积：；那么对于其离散的函数具有相似的表达，其冲激函数为，其离散变量的取样特性为：；其冲激串则定义为无限多个分离的周期冲激单元之和：；3、连续变量函数的傅里叶变换及其关系连续函数f(t)的傅里叶变换为，那么必存在一个傅里叶反变换：，利用欧拉公式得到，由于积分的左边唯一变量是，所以说傅里叶变换域就是频率域。在上一章中已经知道，两个函数卷积涉及一个函数关于原点翻转并滑过另一个函数，同样在傅里叶变换中，同样可以得到和其中和为傅里叶变换对，上述实现了空间域两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换在频率域中的乘积，反过来同样得到。二、取样和取样函数的傅里叶变换1、取样函数的傅里叶变换对于连续函数f(t)，通过用一个单位间隔的冲激串作为取样函数去乘以f(t)，得到取样后的函数，即。那么对于其傅里叶变换得：，其中；于是可以得到两个傅里叶变换函数的卷积：可以看到取样后的函数的傅里叶变换是的一个拷贝的无限、周期序列，也是原始连续函数的傅里叶变换。对于复原f(t)，可以定义，通过与相乘得到，就可以利用傅里叶反变换复原f(t)。2、取样定理与混淆上述为取样函数的取样率，只有当取样率足够高，一遍在周期之间提供有效的间隔，保持的完整性，取样率需要满足称为取样定理。那么不超过函数最高频率的两倍的取样率来获得样本，那么就称作欠取样，就会产生混淆的现象，以低于奈奎斯特取样率取样的最终效果是周期重叠，导致无法分离出变换的一个单周期，改变换已被邻近周期的频率破坏了。由于具有无限扩展的频率分量，如果用有限长度的取样和纪录工作，混淆是不可避免的，可以通过平滑输入函数减少高频分量的办法来降低混淆的影响，这样的处理叫抗混淆。三、离散傅里叶变换（DFT）、1、单变量的离散傅里叶变换由于傅里叶变换是周期为的无限周期连续函数，那我们可以再周期到之间得到M个等间距样本，可以通过如下频率处取样：于是可以得到相应的离散傅里叶变换对：无论对于正变换还是反变换，都是无限循环的，其周期为M，那么其离散的卷积表示为2、两个变量的傅里叶变换根据一维的推导，同样可以是用在二维变量中，可以得到在坐标的冲激为其取样特性为。那么二维离散傅里叶变换为 那么二维取样可用二维冲激串建模：，同样满足取样定理，要求t，z轴两个分量分别满足取样定理：与。对于二维变量，混淆的现象就扩展到了图像，存在两种主要混淆：时间混淆和空间混淆。时间混淆与图像序列中图像间的时间间隔有关，最常见的是“车轮效应”。空间混淆主要是欠取样造成的，如“莫尔（波纹）模式”、现状特征中的锯齿、伪高光等的出现。为了完美重建，理论上要适用无限求和来内插，但实际上是达不到的，所以为了减少混淆，可以在缩小图像之前稍微模糊以下图像，然后再重采样，就可以得到更加清晰地结果。其中二维DFT的性质：（1）平移和旋转，其中平移不影响幅度（谱），旋转角度两者在变换前后是一致的；（2）周期性，其变换以及反变换在u方向和v方向是无限周期的，对于一维，将其中心化，可进行操作，对于二维同理可进行操作；（3）对称性，实函数f(x,y)的傅里叶变换是共轭对称的：，而对于虚函数其傅里叶变换是共轭反对称的：。3、傅里叶谱及相角通过将二维DFT进行极坐标变换，可得到幅度，称为傅里叶谱（频谱），它是用来存储图像的灰度信息的；而其相角是用来携带图像形状特性的。三、频率域滤波频率直接关系到空间的变化率，其中低频对应于变化缓慢的灰度分量，而其高频则对应于变化剧烈的灰度分量，尤其是边缘与噪声特性，于是引出频率域的滤波来对图像进行操作。对一般操作的步骤可归纳为：首先输入图像f(x,y)，并对其进行指定大小的填充；再用乘以移到其变换的中心；然后进行DFT，并用滤波函数H(u,v)进行滤波操作；接下来通过反变换得到空间域的函数；最后得到处理后的图像。1、适用频率域滤波器平滑图像通过衰减高频信号来达到频率域的平滑，所以引出低通滤波器，常用有理想滤波器、布特沃斯滤波器、高斯滤波器三类。理想低通滤波器ILPF在频率域的剖面图类似于盒装滤波器，其相应的空间滤波器具有sinc函数形状，所以其中心的波瓣是引起模糊的主因，而外侧较小的波瓣是造成振铃的主要原因。布特沃斯低通滤波器有形式：，可根据不同的n得到不同的径向剖面，其平滑程度也不同，对于同一阶，其截止频率越大，其高频越容易通过。频率域与空间域具有反比性。该低通滤波器可看做是高斯滤波与理想滤波的过渡。高斯低通滤波器的表达形式为，其中。2、适用频率域滤波器锐化图像跟平滑图像相反，采用衰减低频信号，来使锐化图像，所以引出高通滤波器，常用的有理想高通滤波器、布特沃斯高通滤波器、高斯高通滤波器，都与上一节相似，这里提出与低通不同的是采用钝化模板、高提升滤波和高频强调滤波的方法，在第三章所讨论过的，利用对原图像进行模糊后，用原图像减去模糊图像得到边缘的增强模板，再加载在原图像上得到锐化的效果，即，其中当k=1时为钝化模板，k1高提升滤波器；同样我们可以利用高通滤波器来表达该结果：该表达是即为高频强调滤波器，其中给出了控制距原点的偏移量，控制高频的贡献。还有一种方法叫同态滤波，根据照射-反射模型建立的，将一幅图像f(x,y)表示为照射分量i(x,y)与反射分量r(x,y)的乘积，其中照射分量通常由慢的空间变化表征，而反射分量往往引起突变，所以将变换后的低频与照射相对应，高频与反射相对应，从而进行频率域的处理。其步骤如下：取ln对数DFT取exp3、选择性滤波上述的一些滤波器主要在整个频率矩形上操作，而很多应用主要侧重于指定的频段或频率矩形的小区域，前者主要是带阻滤波器与带通滤波器，后者主要是陷波滤波器；其中陷波滤波器是拒绝（或通过）事先定义的关于频率矩形中心的一个邻域的频率。四、快速傅里叶变换（FFT）对于常用的频率域计算，通常要求次的求和及加法，对于计算机来说是一个非常巨大的计算，所以将二维傅里叶变换转换为一维变换执行：其中，所以得到把一个M点的变换，转换为两个(M/2)点的变换，以此类推，可以得到进行的次数降至，当MN比较大时，这是一个非常有意义的减少。 总结：本章内容主要从取样到傅里叶变换的介绍以及原理的讲解，再到频率域的滤波，与上一章的空间域滤波紧密联系，找到两者的关系，使理解起来更加直观。并阐述离散傅里叶变换及其在频率域滤波中的应用，对于工作于频率域所获得的知识对于选择空间滤波器来说大有帮助。通过第三章和本章的基础知识，将为下一张图像的复原与重建提供基础。