巧用空间坐标系分析解决高考中的三视图问题.doc

巧用空间坐标系分析解决高考中的三视图问题（邮编：331800）江西省东乡县实验中学 黄树华一、相关名词1、投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上留下该物体的影子，这种现象叫做投影。2、平行投影：在一束平行光线的照射下物体形成的投影叫做平行投影，平行投影分为正投影和斜投影。3、正投影法：投射线与投影面互相垂直的平行投影法叫做正投影法。4、视图：物体向投影面投影所得到的图形称为视图。5、三视图：如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上，称为该物体的三视图。其中：从几何体的前面向后面正投影得到的投影图称为几何体的正视图（或主视图）；从几何体的左面向右面正投影得到的投影图称为几何体的侧视图（或左视图）；从几何体的上面向下面正投影得到的投影图称为几何体的俯视图；三种试图的对应关系为：正视图、俯视图的长相等（简称为长对正），正视图、侧视图的高相等（简称为高平齐），侧视图、俯视图的宽相等且前后对应（简称为宽相等）。二、例谈“巧用空间坐标系分析解决高考中的三视图问题”由上述可知，三视图是物体向三个互相垂直的投影面分别投影得到的，而在空间直角坐标系中，平面x0y、平面x0z、平面y0z也是三个两两垂直的平面，故我们可以将这三个平面看作是物体的三个投影面，巧用空间直角坐标系分析解决有关三视图的问题。下面我仅以近几年新课标高考题为例加以说明，供大家探讨。例1（08年广东卷文、理科）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为（ ）；解析：此题在图1中过点A作AODE于点O,连接FO，由正三棱柱的性质易知，OA、OD、OF两两垂直，以O为坐标原点，以向量OF、OD、OA分别为x、y、z轴的正方向建立空间坐标系O-xyz，如图3所示，点B、C在平面xoz上的正投影为BC的中点P，点D、E在平面xoz上的正投影为点O，正三棱柱截去三个角后的几何体（右侧图2）的左视图为直角梯形AOFP（如图4），对应选项为A，故选A。例2（2010上海卷文科）如图5所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图4放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0r0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；(2) 如右图6，作三个两两垂直的向量OO/、OA、OB是并以它们分别作为z、x、y轴的正方向建立空间坐标系O-xyz，将灯笼投影到坐标系的三个两两垂直的坐标平面，易知当r=0.3时，l=0.6，圆柱形灯笼的正视图、左视图都是边长为0.6的正方形，俯视图是r=0.3的圆，三视图略也许有些读者会问：如何建立与几何体三视图对应的空间坐标系呢？下面详细阐述之。例3（2009天津卷理科）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_；解析：此题已知三视图要求知道对应的几何体，可以先建立空间坐标系O-xyz，分别将平面yoz、xoz、xoy看作正视投影、侧视投影、俯视投影的正投影面，将三种视图移到三个投影面，如图7，分析知此几何体是一个倒立放置的直三棱柱ABC- A/B/C/，如图8，正视图是宽为a，长为3的矩形OO/C/C，侧视图是底边长为2的等腰三角形ABC，俯视图是宽为2，长为3的矩形AA/B/B，直三棱柱是高为3，底面是底边长为2，底边上的高为的等腰三角形，所以求得几何体的体积V=。由以上例解可知，利用空间直角坐标系分析处理有关三视图问题，大致有两种类型：（1）已知几何体，分析几何体的三视图；这类问题较简单些，处理的方法是：先根据已知条件和几何体的性质，找到或作出几何体中两两垂直且相交于一点的三条线；再以交点为坐标原点，三条线所在直线为坐标轴建立空间坐标系；最后将几何体的各个顶点向两两垂直的坐标面作垂线，在各坐标面内分别连接各垂足，得到的平面图形即为几何体的三视图（如例1）。（2）已知几何体的三视图，分析几何体；这类问题较复杂些，处理的方法是：先建立空间直角坐标系O-xyx，分别将平面yoz、平面xoz、平面xoy看作正视、侧视、俯视图的正投影面；再将几何体的三视图平移到与相应正投影面平行的位置；最后综合已知条件补全几何体（如例2、例3）。以下再举几例，以飨读者。例4(07年宁夏、海南卷理科) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（） 解析：俯视图是三个三角形构成的四边形（正方形），主视图是三角形（直角三角形），侧视图也是三角形，不难知道该几何体是一个四棱锥，设为四棱锥P-ABCD，点P在底面上的射影为CD的中点O，OP平面ABCD，平面PCD平面ABCD，分别以向量OP、向量OC、平行于直线AD的向量OE为z轴、y轴、x轴的正方向建立空间直角坐标系0-xyz,如图9，结合三视图可知，正视图为等腰直角三角形POE，侧视图为等腰三角形PCD，底边上的高OP=20，俯视图为边长是20的正方形ABCD，四棱锥的体积V=20220=，故选B。说明：不难知道该几何体是四棱锥，但若借助于常规的解法，很难在短时间内得出该四棱锥的有关棱长，自然难以快速地解答此题，此处借助于空间直角坐标系，令人耳目一新，通俗易懂。例5（2010陕西卷文科） 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）；（A）2 （B）1（C） （D）解析：该几何体的三视图都存在直角，可先建立空间直角坐标系O-xyz，分别将平面xoz、yoz、xoy看作正视投影、侧视投影、俯视投影的正投影面，将三种视图平移到三个投影面，补全几何体，分析知此几何体是一个直四棱柱切掉一半后所剩的几何体AB-CDEF，如图10，正视图是宽为1，长为的矩形CDFE，侧视图是两直角边长分别为1、的直角三角形BDF，俯视图边长为的正方形ABFE，直三棱柱是高为，底面底边长分别为1、的矩形，其体积为1=2，所以,所求几何体的体积为1，故选B。例6（2010年广东卷文、理科）如图11， ABC为三角形，/, 平面ABC且3= =AB,则多面体ABC -的正视图（也称主视图）是（ ）；解析：取AC的中点D，连接BD，CC/平面ABC，BB/CC/,BB/平面ABC，BB/BC ，BB/AB，以B为坐标原点，以BA、BC、BB/分别为x、y、z轴的正方向建立空间坐标系，如图12所示，取AB的中点E，连接CE，过点E作EFBB/，易知CE平面ABB/A/，CC/在平面AB B/A/上的射影必在直线EF上，CC/在平面xoz内的正投影在直线EF上，该几何体的主视图应选D由以上分析可知，巧妙利用空间直角坐标系不仅是分析三视图问题的辅助方法，而且也往往是解决此类问题的有效手段，读者不妨一试！