概率论课后问题答案.doc

11从（0，1）中随机取两个数，求下列事件的概率；（1）两数之和小于；（2）两数之积小于。解 （此系几何概型问题）设两数之和小于的事件为，两数之积小于的事件为。如下图，样本空间为单位正方形区域，事件为区域C，事件为区域D，于是 的面积/的面积/=的面积/的面积 1 D 11 D1 C DO 1 O 1 14设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区，从该地区报名表中抽取1份，求抽到的1份是女生报名表的概率。解 此系条件概率问题。设表示“抽到第个地区”，B表示“抽到的是女生报名表”。则据全概率公式，所求概率为15三个箱子，第一个箱中有4个黑球，1个白球，第二个箱中有3个黑球，3个白球，第三个箱中有3个黑球，5个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球。（1）求这个球为白球的概率；（2）已知取出的球是白球，求此球属于第二个箱子的概率。解 此系条件概率问题。设表示“抽到第个箱子”，B表示“取出的是白球”。则所求概率分别为和。据全概率公式，有而由贝叶斯公式可得 17设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车，轮船，汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别为1/4，1/3， 1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大。解 此系条件概率问题。设分别表示此人乘火车，轮船，汽车或飞机来的事件，表示此人迟到的事件，则依题意要计算、和，并进行比较。据已知有，据全概率公式，有而据贝叶斯公式，有 上述三个条件概率分别为此人在迟到的条件下乘火车，轮船，汽车的概率，不难看出这时他乘火车的可能性最大。19有甲乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7，在这两批种子中各随机抽取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰好有一粒发芽的概率。解 此系事件的独立性问题。设表示“从甲（乙）批抽取的种子发芽”，据已知：，。则依事件的独立性，有（1）两粒都发芽的概率为：（2）至少有一粒发芽的概率为：（3）恰好有一粒发芽的概率为：21一实习生用同一机器接连独立制造3个同种零件，第个零件是不合格品的概率，求他制造的3个零件中恰好有2个合格的概率。解 此系事件的独立性问题。设表示“第个零件是合格品” ，表示所求概率的事件。则 已知，于是所求概率为22设甲乙两篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.6，若每人投篮3次，求两人进球数相等的概率。解 此系重贝努里试验概型问题。设表示“甲篮球运动员投进个球”，表示“乙篮球运动员投进个球” ，则所求概率为。因为两两互不相容，且与相互独立，所以有应用二项概率公式有 分别计算，得 于是所求概率为26袋中有只正品硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投次，已知每次均得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？解 此系重贝努里试验概型和条件概率问题。设表示“在袋中取出的硬币是正品”，表示“取出的硬币投次，每次均得到国徽”，则所求概率为。据全概率公式，有于是 27证明题：（1）如果，求证事件与互相独立；（2）设事件发生则事件一定发生，求证。证 （1）由，可得 或即 化简，即得 所以事件与互相独立。（2）已知事件发生则事件一定发生，即，于是，从而 因为，故有 证毕。第二章5某射手有5发子弹，射一次，命中率为0.9，若命中就停止射击，若未命中就一直射到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列。解 由题设的所有可能取值为1，2，3，4，5，而由条件概率可得即 ， ， 而由全概率公式得所以的分布列为 1 2 3 4 5 10设随机变量的概率密度为 （1）求系数；（2）求分布函数；（3）画出与的图形进行比较。解 由概率密度的性质，有 得，于是当时，当时，当时，即 14工厂生产某高级电子元件，其寿命（以年计）服从指数分布，的概率密度为，工厂规定出售的电子元件在一年内损坏可调换。若工厂出售一个电子元件盈利100元，调换一个需花费300元，试解答以下各题。（1）求一个电子元件在一年内损坏的概率；（2）若某仪器装有5个这种电子元件，且它们独立工作，求在使用一年内恰有3个元件损坏的概率；（3）求出售一个电子元件盈利元的分布列。解 （1）所求概率为 （2）此系重贝努里试验概型，由（1）知参数，按二项概率公式，所求概率为（3）由已知出售一个电子元件盈利元，而出售的电子元件在一年内如损坏，扣除调换花费300元，则盈利元，即的取值为，并且有 所以的分布列为 17设电源电压服从正态分布，又设在下列三种情况下某种电子元件损坏的概率分别是0.1，0.001和0.2：（1）不超过200伏；（2）在200240伏之间；（3）超过240伏。求：（1）电子元件损坏的概率；（2）若已知电子元件损坏，问该电子元件处于何种情况下损坏的可能性最大，为什么？解 设不超过200伏，在200240伏之间，超过240伏，电子元件损坏，则构成一完备事件组，且据已知有，及 于是由全概率公式，可得电子元件损坏的概率 而由贝叶斯公式可得 所以当电子元件损坏时，该电子元件处于超过240伏的状况时的可能性最大。22装配成圆珠笔尖的小钢珠的重量服从正态分布，而钢珠直径是的线性函数。已知用直径小于、介于和之间，以及大于的钢珠装配成合格珠笔尖的概率分别为和，试求：（1）随机变量的分布密度；（2）用这批钢珠中任一个装配成合格笔尖的概率。解 因为是的线性函数，所以也服从正态分布，设，则 于是，而的分布密度则为设任取一个钢珠装配成合格笔尖，则所求概率为。因为已知有，且 所以 24某电子元件厂生产一批电子管，电子管的寿命（以小时计）具有如下的概率密度。寿命高于2000小时，介于12502000小时，以及低于1250小时的电子管分别是一等品，二等品和次等品。用一只一等品或二等品或次等品装配的收音机，成为合格品的概率依次为0.9，0.8和0.5。试求：（1）从该批产品任取一只电子管是一等品，二等品或次等品件的概率；（2）从该批产品任取一只装配成合格收音机的概率；（3）假设销售一只一等品或二等品，厂家可获利6元或4元，销售一只次品，厂家亏损3元，求厂家销售任取的一只电子管可获的利润的分布列。解 设分别表示任取一只电子管是一等品，二等品或次等品的事件，表示任取一只电子管装配成合格收音机的事件，表示销售任取的一只电子管可获的利润（1）所求概率分别为 （2）应用全概率公式，所求概率为（3）的分布列为 ，27若，求下列各随机变量的概率密度：（1）；（2）；（3）。解 已知服从标准正态分布，其概率密度为 （1）因为 故当时， 而当时， 所以 （2）因为 故当时， 而当时， 所以 （3）因为 故当时， 而当时， 所以 5一袋色球，其中有三个白球，两个红球和三个黑球，现从中随机任取4球。设X为白球数，Y为红球数，求：（1）（X，Y）的联合分布律；（2）。解 X的所有可能的取值为0、1、2、3，Y的所有可能的取值为0、1、2。由古典概型可得，故（X，Y）的联合分布律为X Y 0 1 2 0123 0 2/70 3/70 3/70 18/70 9/70 9/70 18/70 3/703/70 2/70 0而 10随机变量服从B上的均匀分布，其中B为轴，轴以及直线所围成的三角形区域。求联合概率密度及两个边缘概率密度。解 由已知，三角形区域，故其面积 ，于是的联合概率密度 的边缘概率密度为 因为当或时，有 而当时，所以 的边缘概率密度为 因为当或时，有 而当时，所以 14若随机变量与相互独立，其概率密度分别为，求随机变量的概率密度。解 因为与相互独立，故的联合概率密度为为求的概率密度，先求其分布函数：，设，有若，则在区域内，有或，于是，从而；若，则若，则故，所以随机变量的概率密度 22设随机变量独立同分布，其分布律为 2 3 1/3 1/3 1/3又设，试写出二维随机变量的联合分布律。解 由已知可得的联合分布律： 1 2 3123 1/9 1/9 1/91/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9于是 所以的联合分布律： 1 2 3123 1/9 0 02/9 1/9 0 2/9 2/9 1/94设随机变量X的概率密度为试求及。解 因为，且故，而6设随机变量X的分布律为X 0 2 求，及。解 又因为故11已知的联合分布律为：X Y 0 1/3 102 0 1/12 1/3 1/6 0 0 5/12 0 0试求，。解 由已知可得、及的分布律分别为X 0 2 5/12 1/6 5/12Y 0 1/3 1 7/12 1/12 1/3XY 0 2/3 2 1/3 1/12 7/12 0 0于是 注意：因为X相互不独立，故未必有12设服从D上的均匀分布，其中D为轴，轴以及直线所围成的三角形区域，求、的数学期望和方差。解 由已知，三角形区域，故其面积 ，于是的联合概率密度 （1）的数学期望和方差：的边缘概率密度为 因为当或时，有 而当时，所以 于是 （2）的数学期望和方差：的边缘概率密度为 因为当或时，有 而当时，所以 于是（3）的数学期望和方差： 18设随机变量的分布律为X Y 1 2 1 1/4 1/2 0 1/4 求及。解 （1）的数学期望和方差：的边缘分布律为：X 1 3/4 1/4 于是 （2）的数学期望和方差：的边缘分布律为：Y 1 2 1/4 3/4 于是 （3）的数学期望及、：因为的分布律为： XY 1 2 1/4 0 1/4 1/2 所以 38设某种商品每周的需求量是服从区间10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时，单位商品仅利300元。为使商品所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量。解 设经销商店的进货量为，依题设有。若设商店一周销售该商品的利润为（单位：元），则据已知是需求量的函数：因为的概率密度为 于是可获利润期望值 由题设条件，有，即 或 解之，得 故最小进货量为，但不能超过。8某商店负责供应某地区1000人商品，某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为，假定在这一段时间，各人购买与否彼此无关系，问商店应预备多少件这种商品，才能以的概率保证不会脱销（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。解 设商店应预备件这种商品及并令，则，则依题设，要求 。而利用德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有 查正态分布表，有，于是，即所以，商店应预备643件这种商品，才能以的概率保证不会脱销9设某保险公司的老年人寿保险一年内有1万人参加，每人每年交40元，若老人死亡，公司付给家属2000元，设老人死亡率为，试求保险公司在这次保险中亏本的概率。解 设并令，则，于是利用德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，保险公司在这次保险中亏本的概率为 10在一家保险公司里有10000万人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为，死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费，求：（1）保险公司没有利润的概率为多大？（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？解 设并令，则，于是利用德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，保险公司没有利润的概率为 而一年的利润不少于60000元的概率为 第六章6分别从总体和中各取容量为400的两独立样本，求常数使。解 因为，于是而因此依题设，有，或，所以，查表得 ，即有10 设在总体中抽取一容量为16的样本，这里均未知，求：（1）,其中为样本方差；（2）求。解 （1）因为 ，这里，于是 查分布表，得，所以 （2）这里，因为 而 ，所以12已知，求证。证明 由已知，有欲证 因为 故若，有。若，有即有 证毕。13 已知总体，其样本的方差是，若是对总体的又一次独立抽样，试证明。证明 因为 ，于是 或 而据定理6-2，有，从而由分布的定义知 ，即第七章2设为总体的一个样本，求下列总体的概率密度或分布律中的参数的矩估计量和极大似然估计量。（1）其中为未知参数；（2）其中为未知参数；（3）其中，为未知参数；（4），为未知参数；（5），其中为未知参数。解（1）先求的矩估计量：因为 而的矩估计量为于是，有 所以 其次，求极大似然估计量：因为似然函数为 或 令，得 于是有，即有 （3）先求的矩估计量：因为 于是，的矩估计量适合，即有其中，。其次，求极大似然估计量：因为似然函数为或 ，它随的增加而增加，且对每一个，都有，即。因此，当取时，似然函数才有可能达到最大。为求的估计量，令，得 ，或 于是有，9设与是参数的两个独立的无偏估计，且。试求常数和，使也是的无偏估计，并且是所有这种形式的估计量中方差最小的。解 据已知有又因为，因而故有 ，或再由，可得 于是，当取最小值时，方差达到最小。为此，令，得 即所以当，时，为的无偏估计量，并且是所有这种形式的估计量中方差最小的。15设总体，如果已知，问样本容量取多大时方能保证的的置信区间的长度不大于。解 设，则，该置信区间的长度为于是样本容量满足 查得，代入上式，得 16某厂用自动包装机包装葡糖，每袋净重，现随机抽取10袋，测得各袋净重，计算得。（1） 已知，求的置信度为的置信区间；（2） 未知，求的置信度为的置信区间；（3） 已知，求的置信度为的置信区间；（4） 未知，求的置信度为的置信区间。解 （1）取统计量 ，相应的的置信区间为将，代入上式，其中代替，即得所求的置信区间：。（2）取统计量 ，相应的的置信区间为将，及代入上式，即得所求的置信区间：。（3）取统计量 ，相应的的置信区间为将，及代入上式，即得所求的置信区间：。（4）取统计量 ，相应的的置信区间为将，及代入上式，即得所求的置信区间：1 某地八月份气温，观察九天，得，求（1）此地八月份平均气温的置信区间（置信度）；（2）能否据此样本认为该地区八月份平均气温为；（3）从（1）和（2）可以得出什么结论？解 此系未知而求的置信区间的情形，因此取统计量依题设有，于是平均气温置信度为的置信区间为（2）检验假设：； 检验统计量 显著性水平为的拒绝域为 由于故拒绝，不能认为该地区八月份平均气温是，即与有显著差异。 （3）从（1）和（2）可以得知，在同一的下，在显著水平下拒绝与的值落在置信度为的置信区间之外是一致的。9假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度服从正态分布，现在从改进工艺后生产的一批缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，算得样本均值，方差。当显著水平时，能否据此样本认为：（1） 新工艺生产的缆绳抗拉强度比过去生产的缆绳抗拉强度有显著提高；（2） 新工艺生产的缆绳抗拉强度，其方差有显著变化。解 （1）检验假设：；这时未知，取统计量 显著性水平为的拒绝域为 已知，于是故拒绝接受，即认为抗拉强度比过去有显著提高。（2）检验假设：；这时未知，取检验统计量 显著性水平为的拒绝域为 或 已知，于是有 故接受，即认为新工艺生产的缆绳抗拉强度，其方差没有显著变化。