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等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值； （11）当b=2时，记 . 答案：证明：对任意的 ，不等式成立:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以 . 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立. . 由、可得不等式恒成立.来源：09年高考山东卷题型：解答题，难度：中档三个数成递增的等比数列，其积为27，平方和为91，则此数列为_答案：1，3，9 来源：题型：证明题，难度：较难(文）已知数列满足， .令，证明：是等比数列；()求的通项公式。答案：（1）证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。（2）解由（1）知当时，当时，。所以。来源：09年高考陕西卷题型：解答题，难度：容易(文）等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列 （1）求的公比q； （2）求3，求 答案：（）依题意有 由于 ，故 又，从而 5分 （）由已知可得 故 从而 10分来源：09年高考辽宁卷题型：解答题，难度：容易(文)等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值；（11）当b=2时，记 求数列的前项和答案：因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则 相减,得 所以来源：09年高考山东卷题型：解答题，难度：较难已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。若，是否存在，有说明理由； 找出所有数列和，使对一切,并说明理由；若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。答案：解法一（1）由，得， .2分整理后，可得，、，为整数， 不存在、，使等式成立。 .5分（2）若，即， （*）（）若则。 当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。 .7分（）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，矛盾。综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。.10分【解法二】设 则（i） 若d=0，则 （ii） 若（常数）即，则d=0，矛盾综上所述，有， 10分（3） 设.，. 13分取 15分由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故当且仅当p=3s,sN时，命题成立. . 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）若p为偶数，则am+1+am+2+am+p为偶数，但3k为奇数故此等式不成立，所以，p一定为奇数。当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=当为偶数时，存在，使3k成立 1分当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分当p=5时，则am+1+am+2+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在故不是所有奇数都成立. 2分来源：09年高考上海卷题型：解答题，难度：较难在数列中，（I）设，求数列的通项公式 （II）求数列的前项和答案：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =来源：09年高考全国卷一题型：解答题，难度：中档设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。答案：（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。解：（I）由及，有由，. 则当时，有.得又，是首项，公比为的等比数列.（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列.， 来源：09年高考全国卷二题型：解答题，难度：中档(文）设为数列的前项和，其中是常数.（I） 求及；（II）若对于任意的，成等比数列，求的值.答案：（）当，（）经验，（）式成立， (）成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 来源：09年高考浙江卷题型：解答题，难度：容易设为数列的前项和，其中是常数.（I） 求及；（II）若对于任意的，成等比数列，求的值.答案：（）当，（）经验，（）式成立， （）成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 来源：09年高考浙江卷题型：解答题，难度：容易设数列 (1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的公比求数列的通项公式； (3)记；答案：(1)由相减得：是等比数列 (2)(3)得：所以：来源：08年高考南京市月考一题型：解答题，难度：中档已知a、b、m、，是首项为a，公差为b的等差数列；是首项为b，公比为a的等比数列，且满足（1）求a的值；（2）数列与数列的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求的前n项之和答案：解析：（1），由已知abababa2b，由a2bab，a、得，a2又得，而，b3再由aba2b，b3，得2a3a2（2）设，即，b3，故来源：题型：解答题，难度：中档在等比数列中，公比.设，且，.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的前n项和及的通项；（3）试比较与的大小.答案：（1），为常数，数列为等差数列且公差解：（2），.，.，.解得：.（3）显然，当9时，0.9时，.，当时，；当或9时，.来源：1题型：解答题，难度：中档(I) 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；(II) 设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列答案：解：()因为cn+1pcn是等比数列，故有（cn+1pcn）2=( cn+2pcn+1)(cnpcn1)，将cn=2n3n代入上式，得2n1+3n1p(2n3n)2=2n2+3n2p(2n+13n+1)2n+3np(2n13n1)， 3分即(2p)2n+(3p)3n2=(2p)2n+1+(3p)3n+1 (2p)2n1+(3p)3n1，整理得(2p)(3p)2n3n=0，解得p=2或p=3 6分()设an、bn的公比分别为p、q，pq，cn=an+bn为证cn不是等比数列只需证c1c3事实上，=(a1pb1q)2=p2q22a1b1pq，c1c3=(a1b1)(a1 p2b1q2)= p2q2a1b1(p2q2)由于pq，p2q22pq，又a1、b1不为零，因此c1c3，故cn不是等比数列 12分来源：00全国高考题型：解答题，难度：较难已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.答案：解：由已知可得两式相减得即从而当时，则，又所以从而故总有，又从而即数列是等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=由上-=12当时，式=0所以；当时，式=-12所以当时，又所以即从而来源：05年山东题型：解答题，难度：较难数列的前三项为1，3，6，它是由一个等比数列和一个首项为零的等差数列的对应项相加而得到（）求、的通项公式；（）求数列的前n项和答案：解：（）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，依题设可得，解得（）的前n项和为的前n项和为来源：题型：解答题，难度：中档设函数的图象是曲线，曲线与关于直线对称。将曲线向右平移（I）求函数的解析式；（II）设求数列的前项和，并求最小的正实数，使对任意都成立。答案：解：（I）由题意知，曲线向左平移我个单位得到曲线，曲线是函数的图象。2分曲线与曲线关于直线对称，曲线是函数的反函数的图象的反函数为4分（II）由题设：， 6分 由得，8分当 当时，当时，对一切，恒成立。当时， 记，则当大于比大的正整数时， 也就证明当时，存在正整数，使得.也就是说当时, 不可能对一切都成立.的最小值为.来源：07年南京市调研卷二题型：解答题，难度：较难已知数列an的首项a1=1，其前n项和为Sn，且对任意正整数n,有n,an,Sn成等差数列(1)求证：数列Sn+n+2成等比数列.(2)求数列an的通项公式.答案：解：(1)n,an,Sn成等差数列 2an=n+Sn又an=Sn-Sn-1(n2)2(Sn-Sn-1)=n+Sn即Sn=2Sn-1+nSn+n+2=2Sn-1+2(n+1)=2Sn-1+2(n-1)+2 且S1+1+2=40Sn+n+2是等比数列7分(2)Sn+n+2=42n-1=2n+1Sn=2n+1-n-2an=Sn-Sn-1=2n-1又当n=1时，a1=S1=1=21-1 an=2n-17分来源：07年浙江省月考四题型：解答题，难度：容易王先生因病到医院求医，医生给开了处方药（片剂），要求每天早晚各服一片，已知该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时从体内排出这种药的60%，并且如果这种药在他体内的残留量超过386毫克，就将产生副作用，请问：（I）王先生第一天上午8时第一次服药，则第二天早晨8时服完药时，药在他体内的残留量是多少？（II）如果王先生坚持长期服用此药，会不会产生副作用，为什么？答案：解：（I）设第n次服药后，药在他体内的残留量为毫克，依题意， 2分 （毫克）， 第二天早晨是他第三次服药，故服药后药在体内的残留量为343.2（毫克）5分（II）依题意，7分10分 若长期服药，药在体内的残留量为不会产生副作用.12分来源：04天津市题型：解答题，难度：中档已知等差数列an中，a2=8，S10=185. （）求数列an的通项公式an; （）若从数列an中依次取出第2，4，8，2n，项，按原来的顺序排成一个新数列bn，试求bn的前n项和An. 答案：解：()设an首项为a1,公差为d,则,解得an=5+3(n-1),即an=3n+2 6分（）设b1=a2,b2=a4,b3=a8,则bn=a2n=32n+2An=(32+2)+(322+2)+(32n+2)=3(2+22+2n)+2n=3+2n=62n-6+2n 12分来源：题型：解答题，难度：中档某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防，规定每人每天早晚八时各服用1片，现在知道该药片每片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%，在体内的残流量超过386毫克，就会产生副作用。（1）某人在上午八点第一次服药，直到第二天上午八点服完药时，这种药在他的体内还残留多少？（2）长期服用这种药的人会不会产生副作用？答案：（1）设人在第n次服药后，药在体内的残余量为an毫克则，3分5分（2）由可得：7分为首项，以0.4为公比的等比数列9分不会产生副作用。12分来源：题型：解答题，难度：中档在等差数列中,首项a1=1,数列满足,且.求数列的通项公式:(2)求证:.答案： 解：(1)设等差数列的公差为d. (3分)由解得 (5分) (6分)(2)由(1)得, 设则两式相减得: (9分) (11分)0 2010？并请说明理由.（文）设的公差，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和S2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由.A1OB3B2B1A3xyA2答案：（1）， 2分，对于任意自然数n，=，所以数列是等比数列且公比，因为，所以 4分（写成，得公比也可）（2），对每个正整数n， 6分若以为边长能构成一个三角形，则，即，1+24，这是不可能的 9分所以对每一个正整数n，以为边长不能构成三角形 10分（3）（理）由（1）知， 11分所以 14分若 16分两边取对数，知只要取值为小于的实数，就有S201018分说明：如果分别给出与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半。（文）， 11分所以 14分如果存在p使得，即 16分两边取对数得：，因此符合条件的p值存在，可取p= -11等 18分说明：通过具体的p值，验证也可。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难（1）已知数列的通项公式：，试求最大项的值；（2）记，且满足（1），若成等比数列，求的值；（3）（理）如果，且是满足（2）的正常数，试证：对于任意自然数，或者都满足；或者都满足。（文）若是满足（2）的数列，且成等比数列，试求满足不等式：的自然数的最小值。答案：（1），则。即的最大项的值为4。（2）欲使成等比数列，只需成等比数列。，只需或即可。解得或。（3）（理），。又，。，；或。（文）不合题意，据题意，。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难在等比数列中，已知.（1）求 （2）求.答案：解：来源：1题型：解答题，难度：中档已知是各项均为正数的等差数列，、成等差数列又，（）证明为等比数列；（）如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差答案： 来源：题型：解答题，难度：中档已知函数对任意的实数都有.（）记为等比数列，求的值.（）在（）的条件下，设问：是否存在最大的整数，使得对于任意均有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案：解：（）对于任意的均成立， 是以为首项，为公比的等比数列，（2分）当不是等比数列，（3分）成等比数列，成等比数列， , （6分） 解得（8分）（）在（）的条件下，（9分）由（12分）且当时，均有存在这样的能使对所有的有成立.（14分）来源：题型：解答题，难度：较难已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.答案：方法一：先考虑偶数项有： 同理考虑奇数项有：综合可得方法二：因为两边同乘以，可得：令所以来源：05年江西题型：解答题，难度：中档已知数列的通项公式为，数列中是否存在最大的项？若存在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由.答案：解： （1）当时，易见 所以数列中不存在最大项 4分（文5分） （2）当时， 易见 （i）当是，易见 所以数列中的第1项最大7分（文10分） （ii）当时 （仅在n=1时，等式成立）即 所以数列中的第1项和第2项最大10分（文14分）（iii）当时 若且为整数，记=N，易见 所以数列中的第N项和第N+1项最大若不是整数，记N为不超过的最大整数，易见所以数列中的第N+1项最大14分来源：题型：解答题，难度：中档a11 a12 a13 a18a21 a22 a23 a28 a81 a82 a83 a88已知64个正整数排成如图所示的8行8列，在符号中，表示该数所在行数，表示该数所在列数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比都等于.若（1）求的通项公式；（2）记第行各项和为，求的值及数列的通项公式；（3）若bn；当n=10时, Sn=bn；当n11时, Sn400 (1.08)n1 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.来源：05年上海题型：解答题，难度：中档个正数排成几行几列: 其中每一行的数成等差数列.每一列的数成等比数列.并且所有公比相等.已知.试求的值.答案：设.第一行数的公差为.第一列数的公比为.可得解:设第一行数列公差为.各列数列的公比为.则第四行数列公差是.于是可得 解此方程组.得.由于所给个数都是正数.必有.从而有.于是对任意的.有.得. 又 两式相减后得:所以 .来源：1题型：解答题，难度：较难前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为亿美元。同时美国战后每月还要投入约亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？答案：解：设个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则即，即个月后，美国才能收回在伊的“投资”。来源：题型：解答题，难度：较难无穷数列的前n项和，并且（1）求p的值；（2）求的通项公式；（3）作函数，如果，证明：答案：（1），且p1，或若是，且p1，则由，矛盾故不可能是：，且p1由，得又，（2），当k2时，n3时有对一切有：（3），故又故来源：题型：解答题，难度：较难有一个湖泊，上游一河道每天向该湖流入的水，流入的水中含有某种不能自然分解的污染物质与该湖联通的另一河道每天向下游流出的水也是，湖水始终保持在200万现假设湖水蒸发和下雨恰好平衡，该污染物与湖水能均匀混合，并测得湖水中该污染物的浓度已达到0.2克/后来，由于上游治理了污染源，流入湖中的水已不再含有该污染物（1）试求上游污染中止后n天，湖水中该污染物的浓度；（2）欲使湖水该污染物的浓度不超过0.05克/的标准，若不采取其他治污措施，湖水需要多少天才能达标？（，答案：（1）上游污染中止n天后，湖水中污染物浓度为，则可建立关系式：，则，又0.2克/，所以（2）设，即02，则（天）来源：题型：解答题，难度：较难
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