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第4章 随机向量的数字特征课前预习导引一、大纲解读1教学大纲解读（1）教学内容数学期望的概念及性质，随机变量函数的数学期望及应用，方差的定义及性质，常用分布的数学期望及方差的求法，切比雪夫不等式。协方差的定义及性质，相关系数的定义及性质。Lindeberg-levy定理和De Moivre-Laplace定理。（2）教学要求 会求随机变量的数学期望和方差，熟悉均值和方差的性质。记住六种常用分布的期望和方差。记住切比雪夫不等式。 求随机变量函数的期望（或求随机向量函数的期望），不必求随机变量函数的分布，可用定理给出的结果直接求。理解协方差、相关系数的概念，会求协方差和相关系数。掌握协方差和相关系数的性质。 清楚独立必不相关而不相关未必独立。知道二维正态分布中五个参数的概率意义。 掌握Lindeberg-levy定理和De Moivre-Laplace定理，并用以解决实际问题。2. 考研大纲解读（2010版）（1）考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，切比雪夫（Chebyshew）不等式，矩、协方差、相关系数及其性质。切比雪夫大数定律，伯努利（Bernoulli）大数定律，辛钦（Khinchine）大数定律，棣莫弗拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理，列维林德伯格（Levy-Lindberg）定理（2）考试要求理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。会求随机变量函数的数学期望。了解切比雪夫不等式。了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）。了解棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。二、问题搜索第4.1节 随机变量的数字特征1.数学期望与中位数的区别与联系2.在哪种情况下才会用到切比雪夫不等式？读者的问题：第4.2节 随机向量的数字特征1.标准化随机变量的共同点是什么？2.考察两个随机变量是否不相关共有几种方式？读者的问题：第4.3节 大数定律与中心极限定理1.依概率收敛与微积分中的收敛差别是什么？2.大数定律与中心极限定理的应用背景分别是什么？读者的问题：整理、归纳和提升进入本章学习应具备的知识1随机变量的分布；2二重积分及级数求和一、知识整理本章（数字特征）学习的知识类型离散型连续型数学期望的定义设离散型随机变量的概率分布为：如果级数绝对收敛，则称为的数学期望，简称期望或均值，记作或，即=.设连续型随机变量的概率密度为，如果广义积分绝对收敛，则称为的数学期望，简称期望或均值，记作，即=数学期望的性质数学期望的性质：如果是一个常数，则； 如果是随机变量，是常数，则；如果是二维随机向量，则（推广：如果是二维随机向量，且和相互独立，则.（推广：当相互独立时，类似有）.方差定义设是随机变量，期望存在，如果存在，则称为的方差，记作，即=.而称为的标准差。常用简易公式.方差计算如果是离散型随机变量其概率分布为： 那么如果是连续型随机变量，其概率密度为，那么方差的性质如果是一个常数，则；如果是一个常数，则；如果是一个常数，则； 设和相互独立，则推论：如果相互独立，是任意常数，那么.函数当时，取最小值。常见分布的形式及数字特征常用离散型分布表现形式数学期望方差常用连续型分布表现形式数学期望方差两点分布指数分布(0)二项分布均匀分布泊松分布 (k=0,1)正态分布随机变量函数的数学期望设是随机变量，并且存在，则若为离散型随机变量，其概率分布为， 则的数学期望为.若为连续型随机变量，其概率密度为，则的数学期望为.切比雪夫不等式切比雪夫不等式:设随机变量存在数学期望和方差，试证明：对任意的，有:二、技能归纳1. 三、能力提升1停下来想一想栏目解惑第4.1节 随机变量的数字特征停下来想一想：这里提示，若有公式，则.这一方法我们以后会学到的.解惑：利用数字特征的性质可以通过两点分布与二项分布的关系从两点分布得到二项分布的数字特征。停下来想一想：总结五种常用重要分布的均值公式：解惑：一般常用分布的数字特征当作已知结论，可直接使用结果而无需证明。停下来想一想：对随机变量函数的均值，对连续型直接用公式（一步法），对离散型，先求函数的分布，再按定义求均值（两步法）可能简单！解惑：一般情况下都尽量利用原来随机变量的分布求随机变量函数的均值，尤其是连续型的情况有时甚至会出现随机变量的函数分布非常难求的情况，极个别情况下才在离散型随机变量函数的分布先求出再计算随机变量函数的期望。停下来想一想：公式以后经常要使用到！解惑：当进行复杂运算时右边的运算量通常会比左边的运算量小。停下来想一想：总结五种常用重要分布的均值公式：解惑：一般常用分布的数字特征当作已知结论，可直接使用结果而无需证明。习题 4.1（A）1一箱产品20件，其中5件优质品，每次抽取1件，共抽取2次，求取到的优质品件数的数学期望和方差（分两种情况讨论：有放回地抽取；不放回地抽取）解：（1）的概率分布为 所以 （2）的概率分布为 所以2. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解：（2）设分别为乙箱中有i件次品，C 为在乙箱中任抽一件为次品，则由（1）得由全概率公式得3.设的概率分布为：460.50.3且，求和的值解：显然 又4. 设随机变量的概率分布为，求.解：由得：5. 设随机变量X 服从参数为1 的泊松分布，求.解：由X 服从参数为1 的泊松分布，故所以所以6. 设某企业生产线上产品的合格率为0.96，不合格产品中只有的产品可进行再加工，且再加工的合格率为0.8，其余均为废品. 已知每件合格品可获利80 元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2 万元，问该企业每天至少应生产多少产品？解：设至少生产X 件，则企业利润为 解得即该企业每天至少应生产226件。7. 在这个自然数中，任取个数（1）求这个数中恰有个是偶数的概率；（2）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）求随机变量的分布列及其数学期望解：(1)恰有一个偶数的概率为（2）的所有可能取值为0，1，2故8. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及数学期望.解：的分布列为9. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 02345 0.03P1P2P3P4（1）求q的值； （2）求随机变量的数学期望;（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小解：（1）设表第次投篮命中，显然相互独立由于故解得（2）故（3）上述投篮方式得分超过3分的概率为都在B处投篮得分超过3分的概率为10. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局 （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望解：（1）设分别表示第局甲乙胜，则在前两局中甲乙各胜1局的已知情况下，谁先获胜两局即胜出。则甲获得这次比赛胜利的概率为（2）所有可能的取值为2，3或则11. 某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A，B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数就是一个随机变量.写出的分布列,并求的数学期望.解：所有可能的取值为1，2，312. 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额 (1) 写出的分布列； (2) 求数学期望解：（1）设表示两位专家给三位大学生的支持数，则=5（万元）的分布列为（2）（万元）13. 一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为，记随机变量，求的分布列和数学期望 解：所有可能的取值为5，6，7，9，10，11且14. 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，.椐统计，随机变量的概率分布如下：01230.10.32(1)求的值和的数学期望；（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率解：15. 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设 记为3人中选择的项目属于基础设施工程和产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望解：16. 为振兴旅游业，某省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望解：17. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4株大树中，成活的株数的分布列与期望解：18.据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为(，为已知)，在5年之内非自杀死亡的概率为. 保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险元（已知），若5年内死亡，公司赔偿元（），应如何确定才能使公司可期望获益若有人参加保险，公司可期望从中收益多少？解：令“从一个参保人身上所得的收益”，则的概率分布为： 即 对于个人，有 19.设连续型随机变量的概率密度其中. 又已知，求的值解： 即 即 20.设连续型随机变量的概率密度试求和.解： 21.设连续型随机变量与独立，其概率密度分别为 ，其中. 记，试求和.解： 22. 设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量的概率密度函数试求：（1）和； （2）通过和计算和的值解：（1）（2），即又 23. 设，服从参数为3的Poisson分布，且与独立，求.解：又 24.已知，且，试求的全部可能取值，并计算.解：即的取值为：25.对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间上，试求球的体积的数学期望解： 26.设连续型随机变量的概率密度且，求系数.解：因为 解： 27.设与相互独立，其概率密度分别为 求.解：28.设连续型随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量求方差.解：因为于是,， 29.已知，且相互独立，令，求.解：， 30.一辆飞机场的交通车，送25名乘客到9个站，假设每个乘客都等可能地在任一车站下车，并且他们下车与否相互独立又知交通车只在有人下车时才停车求该交通车停车次数的数学期望解：令“交通车停车次数”记则依题意，任一旅客在第个车站不下车的概率为，又旅客下车与否是彼此独立的，因此25名旅客在第个车站都不下车的概率为，即 所以 .习题 4.1（B）1. 设随机变量服从参数为的指数分布，则=_.解：因服从参数为的指数分布，故2掷一颗骰子1620次，则“六点”出现的次数的期望和方差为多少？解：因每次出现六点的可能性为1/6，若令则，故3. 设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，求解：所以4.设某产品每周需求量为，的可能取值为1，2，3，4，5（等可能取各值），生产每件产品成本是元，每件产品售价元，没有售出的产品以每件元的费用存入仓库问生产者每周生产多少件产品可使所期望的利润最大？解：设每周的产量为，显然，每周利润因为分别计算可得：当时，当时，当时，当时，当时，故当生产者每周生产3或4件产品可使所期望的利润最大。 5.在每次实验中事件发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立重复实验中，事件发生的次数在之间的概率解：设则，令则利用切比雪夫不等式得：6.电视台举办智力竞猜，有两种类型的题目：A类为历史题，B类为地理题竞猜者可以自己选择顺序，只有猜对了第一题后猜才有权猜第二题猜对A类题得a分，猜对B类题得b分现假定某人猜对A类题和B类题的概率分别为p和q，且此事件是独立的试问他应当先猜哪类题，可使他的期望得分最高？解：若先猜，则得分的分布为 故对应的数学期望为若先猜，则得分的分布为 故对应的数学期望为，两者第一项相同。故比较两者大小关键看所以若，则应先猜类题，否则先猜类题。7假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布，平均无故障工作的时间（）为5小时设备定时开机，出现故障时自动关机而在无故障的情况下工作2小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数解：因为服从指数分布，且，故由题意，当时 当时，当时，8. 设随机变量的概率密度对独立地重复观测4次，用表示观测值大于的次数，求的数学期望解：故 从而故9某市出租车的起步价为6元，即行驶路程不超过3km时，租车费为6元若行驶路程超过3km时，则按每超过1km（不足1km也按1km计程）收费3元计算设出租车一天行驶的路程数（按整千米数计算，不足1km的自动计为1km）是一个随机变量，则其收费数也是一个随机变量已知一个司机在某个月中每次出车都超过了3km，且一天的总路程（单位：km）可能的取值是200，220，240，260，280，300，它们出现的概率依次是,求：(1)这个月中一天行驶路程的分布列、期望和方差；(2) 这个月中一天所收租车费的期望和方差解：由概率的正则性知+=1解得（1）故这个月中一天行驶路程的分布列为取值是200，220，240，260，280，300，它们出现的概率依次是,0.18，0.12（2）由于假定每次出车都超过了3km,故从而10某城市有甲、乙、丙三个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别为，且客人是否游览哪个景点互不影响设为客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值（1）求的分布列及数学期望；（2）记“函数在区间上单调增加”为事件，求事件的概率解：设为客人离开该城市时游览的景点数，则的所有可能取值为0，1，2，3。设分别为客人游览三个景点的随机事件，则故的所有可能取值为1，3且（2）为使“函数在区间上单调增加”，需即根据的取值范围，该事件等价于故习题 4.2（A） 1.设的联合概率分布Y-101-1001求：(1) 的期望与方差； (2)与； （3）问与是否相关，是否独立？解：（1）的边缘分布为-1 0 13/8 2/8 3/8故与具有完全相同的分布，从而有故的期望与方差分别为（0，0），（2）（3）因为，故与不相关。又因为故与不独立。 2.设的联合密度求：(1) 常数； (2) 的期望与方差；(3)与； (4) 判断与是否相关，是否独立？解：（1）即 即 得（2）而 同理可得：， ；（3） （4），与相关，与不独立。3.设，求和.解： 同理：4.设为常数，与的相关系数为，试求，的相关系数.解： ，5.设服从参数为2的Poisson分布，试求，及.解：6.设服从参数为1的指数分布，试求，及.解： 7.设随机变量与相互独立且都服从正态分布，试求，的相关系数，其中为常数.解： 8. 设随机变量与均服从标准正态分布，它们的相关系数，又，试求常数的值，使，且与不相关解： （1） 解上面（1），（2）可得：，或，。9. 设随机变量与的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计.解： 10. 设随机变量独立同分布，且其方差为 令，则(A) (B) (C) (D) 解：由于随机变量独立同分布，故所以选(A)11. 设随机变量和的相关系数为0.9, 又，求与的相关系数.解：由及得12. 设随机变量和的相关系数为0.5,并且 , 计算的值 .解：因为故而故13.设随机变量和的联合概率分布0100.070.180.1510.080.320.20求：（1）和的相关系数；（2）解：的分布为 0 1 0.4 0.6故的分布为 -1 0 1 0.15 0.5 0.35故所以（2）习题 4.2（B）1. 设的联合概率分布Y-101-100001且，求：(1) 常数；(2).解：（1）由解得由正则性知解得（2）的边缘分布为-10 1 的边缘分布为-10 1 2. 箱内有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个，现从箱内随机地取出两个球，记为取出的红球个数，为取出的白球个数求：（1）二维随机向量的联合概率分布；（2）.解： (1)的所有可能取值为0,1, 的所有可能取值为0,1,2(2) 的边缘分布为01的边缘分布为01 2 3. 设随机变量X N (0,1)，Y N (1, 4)，相关系数，则（A）P（Y = 2X 1）=1 （B）P（Y = 2X 1）=1（C）P（Y = 2X +1）=1 （D）P（Y = 2X +1）=1解：由知与完全正相关，根据相关稀疏的性质可知只能选择B或D,又，故选D.4. 设随机变量与独立同分布，且的概率分布 12记.求：（1）的概率分布；（2）与的协方差.解：（1）的所有可能取值均为1，2（2）5设随机变量的概率密度，令.求.解： 6设为随机事件，且，令 求：（1）二维随机变量 的概率分布；（2）与的相关系数；(3) 的概率分布. 解：（1）由得解得故（2）（3）的所有可能取值为0,1,2且7设随机变量与都服从正态分布，且它们不相关，则(A) 与一定独立 (B) 服从二维正态分布 (C) 与未必独立 (D)服从一维正态分布解：因为 不一定服从二维正态分布，故与未必独立，选C.8对于随机事件，若，则称 为事件与的相关系数.(1) 证明事件与独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明证明：(1) 由的定义可见当且仅当，而这恰好是二事件和独立的定义，即是和独立的充分必要条件。（2）考虑随机变量 由条件知和都服从01分布：01 01由此知 ，因此，事件和的相关系数就是随机变量和的相关系数，由二维随机变量相关系数的基本性质可知习题 4.3(A)1.一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两，求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率解：令“第个螺丝钉的重量”则， 2.对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69，求100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率解：令“第次轰炸命中目标的炸弹数”则， 3.在进行加法运算时，为简便起见，每个加法取整数（按四舍五入取最为接近它的整数）可以认为各个加数的取整误差是相互独立的，并且它们都服从0.5，0.5上的均匀分布求：（1）将300个数相加，误差总和的绝对值超过15的概率；（2）最多几个数加在一起，其误差总和的绝对值小于10的概率不小于 90%；（3）如果有300个数相加，以99.7%的概率断定其误差总和所在的范围解：令“第个加数的取整误差”则，（1） （2），同理可得： ，（3），同理可得： 即4.设有30个电子器件，它们的使用寿命都服从(单位：(小时)-1)的指数分布其使用情况是第一个损坏，第二个立即使用，第二个损坏，第三个立即使用等等，令为30个器件使用的总计时间，计算超过360小时的概率解：令“第个器件的使用寿命”则， ， 5.某微机系统有120个终端，每个终端有5%的时间在使用若各终端使用与否是相互独立的，试求有不少于10个终端在使用的概率解：令“同时使用的终端数”则 6.设在次贝努里试验中，每次实验事件出现的概率均为0.7，要使事件出现的频率在0.68到0.72之间的概率不少于0.90，问至少要进行多少次试验？(1) 用切比雪夫不等式估计； （2）用中心极限定理计算解：（1） （2） 7.一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费已知一年内投保人死亡率为0.006，如死亡，公司付给死者家属1000元求：（1）保险公司年利润为0的概率；（2）保险公司年利润不少于60000元的概率解：令“一年内死亡的人数”则，公司利润为 （1） （2） 8.某车间同型号机床有200部，每部机床开动的概率为0.7假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床需耗电能15个单位问至少供应多少单位电能才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产解：令“同时开动的车床数”则即 9.抽样检查产品质量时，如果发现有多于10个的次品，则拒绝接受这批产品设某批产品的次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查，才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9？解：令“发现的次品数”则即 即 解以上方程： . 习题 4.3(B) 1. 设为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为的指数分布，记为标准正态分布函数，则(A) (B) (C) (D) 解：由中心极限定理知：故选(C)。2. 为确定某城市成年男子中吸烟者的比例，任意调查个成年男子，记其中的吸烟人数为，问至少为多大才能保证与的差异小于0.01的概率大于95%.解：3. 某种福利彩票的奖金额（万元）由摇奖决定，其分布列510203040501000.20.20.20.10.10.10.1若一年中要开出300个奖，问需要多少奖金总额，才有95%的把握够发奖金解：设所需奖金总额为K元，则当假定第i次开奖金额为显然为随机变量，且与同分布。计算得根据中心极限定理，有查表得计算得4. 设独立同分布，且都服从参数为2的指数分布，则当时，依概率收敛于，求的值.解：由中心极限定理知，5. 设随机变量相互独立，则根据列维林德伯格中心极限定理，当充分大时，近似服从正态分布，只要（A）有相同的数学期望 （B）有相同的方差（C）服从同一指数分布 （D）服从同一离散型分布解：列维林德伯格中心极限定理要求随机变量具有相同的分布，故选（C）。探究与应用1、关于数学期望的故事数学之所以有生命力，就在于有趣。数学之所以有趣，就在于它对思维的启迪。以下就是一则概率论起源的故事。更早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局， B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的34,赢了3局的拿这个钱的14。为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A赢，或者 B赢。若是 A赢满了5局，钱应该全归他； A如果输了，即 A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在， A赢、输的可能性都是12,所以，他拿的钱应该是121121234,当然，B就应该得14。通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念数学期望。在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用A赢输的概率12去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科2.精心挑选的平均数（统计数字会撒谎）
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