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华南理工大学数学分析2011-2013考研解答1. ($12$) 求极限 $dpslim_ntoinftysqrtnsexsqrt4n2+1-sqrtn+1$.解答: $beex bea mbox原极限 &=lim_xto 0sqrtfrac1xsexsqrt4frac1x2-1-sqrtfrac1x-1 &=lim_xto 0 fracsqrt41+x2-sqrt1+xx &=lim_xto 0 sezfrac14(1+x2)-frac34cdot frac12(1+x)-frac12 &=-frac12. eea eeex$ 2. ($12$) 确定函数项级数 $dpssum_n=1infty fracx2n$ 的收敛域, 并求其和函数.解答: 由 $a_n=1/n$ 知收敛半径为 $R=1$. 又 $dpssum_n=1infty fracx2n$ 当 $x=-1$ 时收敛, 当 $x=1$ 时发散, 而收敛域为 $-1,1)$. 另外, 在收敛域范围内, $bex sum_n=1infty fracx2n =sum_n=1inftyint_0xtn-1rd t =int_0x sum_n=1infty tn-1rd t =int_0x frac11-trd t=-ln (1-x). eex$ 3. ($12$) 设函数 $fin C2(bbR)$, 且 $bex f(x+h)+f(x-h)-2f(x)leq 0,quadforall xin bbR,quad forall h0. eex$ 证明: 对 $forall xinbbR$, 有 $f(x)leq0$.证明: 由 $bex 0geq lim_hto 0fracf(x+h)+f(x-h)-2f(x)h2 =lim_hto 0fracf(x+h)-f(x-h)2h=f(x) eex$ 即知结论.4. ($12$) 设 $beta0$ 且 $bex x_1=frac12sex2+fracbeta2,quad x_n+1=frac12sexx_n+fracbetax_n, n=1,2,3,cdots. eex$ 试证数列 $sedx_n$ 收敛, 并求其极限.证明: (1) $bex x_n=frac12sexx_n-1+fracbetax_n-1 geq sqrtbeta,quad n=2,3,cdots. eex$ (2) 设 $f(x)=(x+beta/x)/2$, 则 $f(x)=(1-beta/x2)/2$, 而当 $xgeq sqrtbeta$ 时, $0leq f(x)1/2$. 由此, $sedx_n$ 为压缩数列, 是收敛的. 令 $x_nto alpha$, 则 $bex alpha=frac12sexalpha+fracbetaalpha ra alpha=sqrtbeta. eex$ 5. ($12$) 求极限 $bex lim_ntoinftyint_-pi/20 cosnxrd x. eex$ 解: 由 $bex sevint_-pi/20 cosnxrd x =sevint_-pi/2-delta+int_-delta0 cosnxrd x leq fracpi2cosndelta+delta,quad (forall 0deltall 1) eex$ 即知原极限为 $0$. 6. ($12)$ 求极限 $bex lim_xto 0+0fracsinsqrtxsqrt1+xtan x-sqrtcos x. eex$解答: $bex mbox原极限=lim_xto 0+0sqrtfracx1+xtan x-sqrtcos x =sqrtlim_xto 0+0frac1tan x+xsec2x+fracsin x2sqrtcos x=+infty. eex$ 7. ($13$) 设函数 $g(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点可微且在该点的函数值及微分为零, 定义函数 $bex f(x,y)=seddball g(x,y)sinfrac1x2+y2,&x2+y2neq 0, 0,&x2+y2=0. ea eex$ 试证: $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微.证明: 由 $beex bea frac|f(x,y)-f(0,0)|sqrtx2+y2 &=sevfracg(x,y)-g(0,0)sqrtx2+y2sinfrac1x2+y2 &leq sevfracg(x,y)-g(0,0)-g_x(0,0)x-g_y(0,0)ysqrtx2+y2 to 0quad(x2+y2to 0) eea eeex$ 即知结论. 8. ($13$) 计算曲面积分 $bex iint_S yrd xrd z, eex$ 其中 $S$ 是曲面 $x2+y2+z2=1$ 的上半部分, 并取外侧为正向.解答: 由 Stokes 公式, $bex iint_S yrd xrd z =-iiint_x2+y2+z2leq1atop zgeq 0 rd xrd yrd z =-frac2pi3. eex$ 9. ($13$) 计算曲线积分 $bex int_Cfracxrd y-yrd xx2+y2, eex$ 其中 $C$ 是以 $(0,1)$ 为圆心, $R(Rneq 1)$ 为半径的圆周, 方向为逆时针.解答: 由 Green 公式知当 $R1$ 时, $beex bea mbox原积分 &=int_x2+y2=ve2fracxrd y-yrd xx2+y2quad(00, exists sedn_k,st |x_n_k-x_0|geq ve_0. eee$ 则由 Weierstrass 聚点定理知 $beelabel246.11:2 exists sedn_k_i,st x_n_k_ito bar x_0. eee$ 由 $f$ 的连续性, $f(x_n_k_i)to f(bar x_0)$. 再据题设及 $f(bar x_0)=f(x_0)$ 知 $bar x_0=x_0$. 于是当 $k=k_i$ 时的 eqref246.11:1 与 eqref246.11:2 矛盾. 故有结论. 12. ($13$) 设函数 $f(x,y)$ 在闭区间 $|x-x_0|leq a, |y-y_0|leq b$ 上连续, 函数列 $sedphi_n(x)$ 在闭区间 $x_0-a,x_0+a$ 上一致收敛于函数 $phi(x)$, 且对任意的 $n$ 及 $forall xin x_0-a,x_0+a$ 有 $|phi_n(x)-y_0|leq b$. 试证: $bex lim_ntoinftyint_x_0x f(t,phi_n(t)rd t =int_x_0x f(t,phi(t)rd t. eex$证明: 由积分号下取极限, 仅需证明 $bex f(x,phi_n(x)rightrightarrows f(x,phi(x). eex$ 事实上, 由 $f$ 的连续性及一致连续性, $bex forall ve0, exists delta0, forall |x-x|delta, |y-y|delta, |f(x,y)-f(x,y)|0$, 由 $phi_nrightrightarrows phi$ 知 $bex exists N, forall nN, forall xin x_0-a,x_0+a, |phi_n(x)-phi(x)|delta. eex$ 于是 $bex |x-x|=0delta, |phi_n(x)-phi(x)|deltara |f(x,phi_n(x)-f(x,phi(x)|ve. eex$
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