2012高考数学试题(全国卷)理详解.doc

2012高考数学试题（全国卷）解析一选择题：（共12个小题，每小题5分，满分60分）1. 复数=(A) 2+i(B) 2-i(C) 1+2i(D)1-2i选(C)【解法一】：分母实数化后，直接得结果.【解法二】：在复平面内画出-1+3i和1+i对应的向量，易知两向量的夹角大于45o小于90o，四个选项中只有（C）满足。2.已知集合A=1，3，B =1，m，AB =A，则m =(A) 0或(B) 0或3(C) 1或 (D) 1或3选(B)【解法一】：由AB =A BA mA m =3或m =当m =时，m = 0或m = 1(舍去)，综上：m = 0或3【解法二】：筛选法，将各选项一一验证知（B）满足条件3.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x = - 4，则该椭圆的方程为(A) =1(B) =1(C) =1 (D) =1选(C)【解法一】：由条件得方程组解得：c =2, a2 = 8, b2 = 4 .【解法二】：筛选法，将各选项一一验证知（C）满足条件4.已知正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AB = 2，CC1 = 2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为：(A) 2(B) (C) (D) 1选(D)【解法一】：设ACBD = O，作CHOE交OE于H，易知：平面OCE平面BDE，则CH平面BDE，由AB = 2，CC1 = 2 CO = CE，则H为OE的中点 CH =CE =1显然A、C到平面BED的距离相等，所以AC1与平面BED的距离为1 .【解法二】：(等体积法)VC-BED = VE-BCD SBDEd = SBDCCE d =1【解法三】：（向量法）略5.已知等差数列an的前n项和为Sn，a5 = 5，S5 =15，则数列的前100项和为(A) (B) (C) (D) 选(A)【解】：由a5 = 5，S5 =15得a1 = 1，d = 1，则an = n，=-易得的前n项和为1-，所以的前100项和为1-=6.ABC中，AB边的高为CD，= a，= b，ab = 0，| a | = 1，| b | = 2，则=(A)a -b(B) a -b(C)a -b(D) a -b选(D)【解法一】：如图所示，A、B、D共线，可设= l+(1-l)= la +(1-l)bCDAB = 0la +(1-l)b) ( a-b) = 0la2 - (1-l)b2 =0l =+= -b +a+b =a -b【解法二】：DECDEAABC CE:DE = DE:AE = BC:AC = 1:2 CE:AE = 1:4，CE:AC = 1:5，= b，同理CF:CB = 4:5，= a=+=+= -b +a+b =a -b【解法三】：因为AD AB = AC 2, BD AB = BC 2所以AD:BD = AC 2: BC 2= 4:1 AD:AB = 4:5=( a - b)【解法四】：以CA为x轴、CB为y轴建立坐标系，求出D的坐标为(，)，从而可得=(-，)a = (0，1)，b = (2，0)，经检验=( a - b)7.已知a 为第二象限的角，sina + cosa =，则cos2a =(A) -(B)-(C) (D) 选(A)【解法一】：设cosa = x，sina = y，则P(x，y)是圆弧C：x 2+ y2 = 1(x 0)与直线l：x + y =的交点联立以上两方程解得：x =，y =则cos2a = x 2-y2 = -【解法二】：设cosa = x，sina = y，则x 2+ y2 = 1(x y ) 且x + y = (x - y) 2 +(x + y)2 = 2(x 2+ y2 ) = 2 (x - y) 2 =x - y = - cos2a = x 2-y2 = (x - y) (x + y) = -【解法三】：由sina + cosa = sin(45o+a ) = cos(45o+a ) = -(45o+a 为第二象限的角) cos2a =sin(90o+2a) = 2sin(45o+a )cos(45o+a ) = -【解法四】：由sina + cosa = sin(45o+a ) = sin165o =sin(45o+a ) =sin135ok360 o+ 135o 45o+a k360 o+ 165o (kZ)k360 o+ 90o a k360 o+ 120o (kZ) k360 o+ 180o 2a k360 o+ 240o (kZ) cos2a -显然只有（A）成立.8.已知F1、F2为双曲线C：x 2-y2 =2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cosF1PF2 = (A) (B) (C)(D) 选(C)【解】：不妨设P在右支上，由双曲线的定义知：|PF1| - |PF2| = 2，由|PF1|=2|PF2|得：|PF1|= 4，|PF2| =2，|F1F2| = 4,由余弦定理得：cosF1PF2 =9.已知x = lnp，y =log 5 2，z =，则(A) x y z(B) z x y(C) z y x(D) y z 1, y与z都小于1，= log 2 52，= yz y z x10.已知函数y =x 3-3x + c的图像与x轴恰有两个公共点，则c =(A) -2或2(B) -9或3(C) -1或1(D) -3或1选(A)【解】：y =3x 2-3=3(x -1) (x +1)，x = -1、x = 1分别是函数的极大值点、极小值点.画出简图，可知恰有一个极值为0，即13 - 31+ c = 0或(-1)3 - 3(-1)+ c = 0 c = 211.将字母a, a, b, b, c, c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同点排列方法共有(A) 12种(B) 18种(C) 24种(D) 36种选(A)【解】：先排第一列，排法有= 6种，再排第二列，排法有2种，由分步计数原理，共有12种排法.12.正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE = BF =，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(A) 16(B) 14(C) 12(D) 10选(B)【解】：二填空题：（共4个小题，每小题5分，满分20分）13.若x、y满足约束条件 x - y +10x + y -30 x + 3y -30，则z =3x - y的最小值为 -1 【解】：如图，A(0, 1)，B(3, 0)是最优解，代入目标函数可得z =3x - y的最小值为-1.14.当函数y = sinx - cosx (0x 2p)取得最大值时，x =【解】：sinx -cosx =2sin(x -) (-x -)y = sinx -cosx (0x 2p)取得最大值时, x -= x =15.若(x +) n的展开式中第三项与第七项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 56 【解】：由条件知：=n = 8, 通项Tr+1 =，令8 -2r = -2，得r = 5，则展开式中的系数为=56 .16. 三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1= 60o，则异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为 【解法一】：设= a，= b，= c，则= a + b, = b + c - a，由条件知：| a | = | b | = | c | = r , = = = 60o，则ab = bc = ac = r 2| a + b | 2 = | a | 2+ | b | 2 +2 ab = 3r 2| b + c - a | 2 = | a | 2+ | b | 2 + | c | 2 + 2bc -2ab -2ac = 2 r 2设=q，则cos q =【解法二】：如图，D、E、F、G分别为其所在棱的中点，则DEAB1，EFBC1易证AA1BCCC1BC，设AB=2，DE =AB1=，EF=BC1=，DF=C1G=，在DEF中，由余弦定理的cosDEF= -则AB1与BC1所成的角的余弦值为【解法三】：如图，D、E、H、G分别为其所在棱的中点，则DEAB1，DHBC1，解三角形DEH可求得cosEDH= 二解答题：（共6个小题，满分70分）17.（本小题满分10分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos(A - C ) + cosB = 1，a = 2c，求C .【解】：由cos(A - C ) + cosB = 1 cos(A - C ) - cos(A + C ) = 12sinAsinC = 1 由a = 2c及正弦定理 sinA = 2sinC 联立、得sin2C = sinC =(sinC 0)，sinA =1 A = 90o, C =30o18. （本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC = 2，PA = 2，E是PC上的一点，PE = 2EC .()证明：PC平面BED ；()设二面角A -PB - C为90o，求PD与平面PBC所成的角的大小.()【证法一】：如图，设ACBD = O，设= a，= b，则| a | = 2, | b | = 2，ab = 0= a - b，=-=-=( b - a) + a =( a +2b)=( a +2b )( b - a) =(2b 2 - a 2 - ab ) = 0 PCOE，ABCD为菱形 ACBD，AC是PC在平面ABCD上的射影，所以PCBD PC平面BED【证法二】：PC =2，CE =， CE CP =CO CA，又ECO =PCA，则ECO PCA CEO =PAC PCOE，下同证法一.【证法三】：建立如图所示的坐标系，则A(, 0，0)，P(, 0，2)C(-, 0，0)，=+=+=(-，0，)设B(0，m，0) ，则：=(2, 0，2)(-，0，) = 0=(2, 0，2)(0，m，0) = 0 CPOE且CPOB CP平面BED.() 【解法一】：作AFPB交PB于F，由条件知平面PAB平面PBC则AF平面PBC AFBC由PA底面ABCD PABC所以BC平面PABBCABABCD为正方形 AB = 2= PAF是PB的中点 AF =,ADBC AD平面PBC D到平面PBC的距离d = AF =设PD与平面PBC所成的角为q，则sinq =q = 30o .【解法二】：建立如图所示的坐标系，则A(, 0，0)，P(, 0，2)C(-, 0，0)，设B(0，m，0) ，因为平面PAB平面ABCD，所以平面PAB的法向量与平面ABCD平行可设p = (a, b, 0)为平面PAB的法向量p= 0 (a, b, 0) (-, m，0) = 0bm =a，取b =得p = (m, , 0)设q = (x, y, z )为平面PBC的法向量q= 0，q= 0 (x, y, z )(2, 0，2) = 0，(x, y, z )(, m，0) = 0x + z = 0，x + my = 0，取z =得q = (-1, , )由二面角A -PB - C为90o pq = 0 (m, , 0)(-1, , ) = 0 m =(,，2)，q = (-1, 1, )设PD与平面PBC所成的角为q，则sinq =|cos| =q = 30o .19. （本小题满分12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换. 每次发球，胜方得1分，负方得0分. 设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立. 甲、乙的一局比赛中，甲先发球.()求开始第四次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率 ；()x 表示开始第四次发球时乙的得分，求x 的期望.()【解】：记“发球者胜”为事件A，事件“开始第四次发球时，甲、乙的比分为1比2”为：A A + A A + 其概率p = 0.60.40.6 + 0.40.60.6 + 0.40.40.4 = 0.352 （即）() 【解】：x 所有可能的取值有0, 1, 2, 3 .p1 = P(x = 0) = P(AA A ) = 0.60.60.4 = 0.144 （即）p4 = P(x = 3) = P(A ) = 0.40.40.6 = 0.096 （即）由()知p3 = P(x = 2) = 0.352 （即）所以p2 = P(x = 1) =1- p1- p3 -p4 = 0.408 （即）Ex = 0 p1 + 1 p2 + 2 p3 + 3 p4 = 1.4 （即）20. （本小题满分12分）设函数f (x ) = ax + cosx , x 0, p .()讨论f (x )的单调性；()设f (x ) 1 + sinx ，求a的取值范围.()【解】： f (x ) = a - sinx , x 0, p .因为x 0, p时，0 sinx 1，则(1) a1时，f (x ) 0恒成立，f (x )在0, p上是增函数；(2) a0时，f (x ) 0恒成立，f (x )在0, p上是减函数；(3) 0 a 1时，f (x )的零点为x 1 = arcsina和x 1 = p-arcsina，此时f (x )的递减区间为arcsina，p-arcsina，递增区间为0，arcsina和p-arcsina，p.()【解】：设g (x ) = f (x ) - (1 + sinx)，g (0 ) = 0不等式 f (x ) 1 + sinx g (x ) g (0 ) x = 0时，g (x )取得最大值0.g (x ) = a - sinx - cosx = a -因为，则-1(1) a时，g (x )0恒成立，g (x )在0, p上是增函数g (x ) g (0 ) f (x ) 1 + sinx ，与条件矛盾.(2) a-1时，g (x ) 0恒成立，g (x )在0, p上是减函数g (x ) g (0 ) = 0 f (x ) 1 + sinx恒成立.(3) -1 a 1时，g (x )有唯一零点x 0 = -arcsin，当x 0, x 0 )时，g (x )0g (x )的最大值为g (0 )或g (p )依题意，g (p ) g (0 ) a p -20 a -1 a(4) 1 a 0, g (x )在0, x 1上是增函数 g (x 1 ) g (0 )与g (x ) g (0 )相矛盾.综上a的取值范围为 (-，21. （本小题满分12分）已知抛物线C：y = (x +1) 2与圆M：(x -1) 2 +( y -) 2 = r 2 (r 0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.()求r ；()设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.()【解法一】：由条件知：C上的动点P(x , (x +1) 2 )到M(1，)的距离的最小值，|PM|2 = (x -1) 2 + (x +1) 2 - 2 = (x +1) 4- 4x +，设f (x ) = (x +1) 4- 4x +，f (x ) = 4(x +1) 3 -1 , f (x )有唯一零点x = 0，则x = 0时，f (x )最小，此时r =【解法二】：设A(t，(t +1) 2 )，因为l是C的切线，则l的斜率k =2(t +1)因为l是M的切线，则l的斜率k = -=，则= 2(t +1) (t +1) 3 =1 t = 0，则A的坐标为(0,1)r = | AM | =()【解】：设m、n在C上的切点分别为P1(x 1 , y1)、P2 (x 2 , y2). 由切线公式得m的方程分别为：=(x 1 +1)( x +1)即y1+ y = 2(x 1 +1)( x +1) 同理n的方程分别为：y2+ y = 2(x 2 +1)( x +1)联立解得：x =，y = (x 1 +1) (x 2 +1)即D的坐标为( , (x 1 +1) (x 2 +1)由()知l的方程为：2x - y +1= 0D到l的距离d = =抛物线C在点(t，(t+1)2 )处的切线为：2(t+1)x - y +1- t 2 = 0圆M与该切线相切的条件为：= | 2t 2 - 4t +5 | 2 = 54(t+1)2 +1 t 4- 4t 3- 6t 2 = 0, 显然t0，那么t 2- 4t 2- 6 = 0则x 1，x 2是方程的两根 x 1x 2 = - 6 d =22. （本小题满分12分）函数f (x ) = x 2 - 2x - 3 .定义数列x n如下：x 1= 2，x n+1是过两点P(4, 5)、Qn(x n, f (x n )的直线PQn与x轴的交点的横坐标.()证明：2x n x n+13 ；()求数列x n的通项公式.()【解】：直线PQn的方程为：y-5 =(x - 4)，令y = 0得：x = x n+1 = + 4 = + 4 = -+ 4 =x n+1 =先证明2x n 3（数学归纳法）（1）n =1时，不等式显然成立（2）假设n = k时，不等式成立，即2x k 3 , kN*,则2x k+1 3 23 2(x k + 2)4x k + 33(x k + 2)x k3(显然成立)，所以2x k+1 3成立，即n = k +1时，不等式成立再证明x n x n+1不等式x n x n+1 x n +2x n 4x n +3 x n -2x n -3 0 -1x n 3(显然成立)综上：2x n x n+13()【解】：由x n+1 =是公比为的等比数列，首项为= -= -() n - 1 x n =