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选择题1.（12年四川卷）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为 （ ）A. B. C. D. 2.（12年广东卷）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )A. B. C. D. 1AP1CEaFB11图13.（12年重庆卷）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4.（12年浙江卷）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm35.（12年浙江卷）设是直线，是两个不同的平面 （ ）A.若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若， ，则6.（12年新课标卷）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）.6 .9 .12 .18 7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A B C D 8.（12年福建卷）一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 9.（12年湖南卷）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）A B C D10.（12年江西卷）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 ( )11左视图111主视图俯视图111A B.5 C.4 D. 11.（12年大纲卷）已知正四棱柱中，为的中点，则直线与平面的距离为（ ）A2 B C D112.（12年陕西卷）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ） 填空题1（12年湖北卷）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .侧视图正视图442俯视图112.（12年四川卷）如图，在正方体中，、分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小是_.3.（12年山东卷）如图，正方体的棱长为1，为线段上的一点，则三棱锥的体积为_ .侧（左）视图正（主）视图4俯视图542EDB1ABCC1D1A14.（12年安徽卷）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是.5.（12年江苏卷）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm312120.50.56.（12年辽宁卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.7.（12年辽宁卷）已知点是球表面上的点，四边形是边长为正方形.若，则的面积为_.8.（12年大纲卷）已知正方形中，分别为，的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为9.（12年上海卷）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 .10.（12年天津卷）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积 .解答题1.（12年四川卷）(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，点在平面内的射影在上.ABCPO（）求直线与平面所成的角的大小；（）求二面角的大小.2.（12年山东卷）(本小题满分12分)如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.()求证：；()若，M为线段AE的中点，求证：平面.3.（12年广东卷）(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥中，平面，是中点，是上的点，且，为中边上的高.（1）证明：平面；GEABFCP DH（2）若，求三棱锥的体积；（3）证明：平面4.（12年重庆卷）（本小题满分12分）已知直三棱柱中，为的中点.（）求异面直线和的距离；（）若，求二面角的平面角的余弦值.5.（12年浙江卷）（本题满分15分）如图，在侧棱垂直底面的四棱锥中， 是的中点，是平面与直线的交点.C1A1CBADB1D1EFH（1）证明：（i）；（ii）；（2）求与平面所成的角的正弦值6.（12年新课标卷）（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，是棱的中点.() 证明：平面平面（）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.7.（12年安徽卷）（本小题满分12分）KBAC1D1A1B1CDOE 如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点.（）证明： ；（）如果=2，=， ， 求 的长.8.（12年北京卷）如图1，在， ，分别是上的中点，点为线段上的一点.将沿折起到的位置，使，如图2. BCEDAF图1A1EDFCB图2（1）求证：（2）求证：;（3）线段上是否存在点，使？说明理由. 9.（12年福建卷）（本小题满分12分）如图，在长方体中，为棱上的一点.（I）求三棱锥的体积；DACBC1B1A1D1（II）当取得最小值时，求证：平面.10.（12年湖北卷）（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱. （）证明：直线平面； （）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知，（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？ A2B2C2D2CBADA1B1C1D111.（12年湖南卷）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，.（）证明：；（）若，直线与平面所成的角为30，求四棱锥的体积.12.（12年江苏卷）（本小题14分）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面；B1CBDAEC1A1F （2）直线平面13.（12年江西卷）（本小题满分12分）BAEDCFCFGED如图，在梯形中，是线段上的两点，且，. 现将，分别沿，折起，使（1） 求证：平面平面CFG；（2） 求多面体的体积.14.（12年辽宁卷）(本小题满分12分)如图，直三棱柱，AA=1，点分别为和的中点. ()证明：平面; ()求三棱锥的体积.（椎体体积公式，其中为底面面积，为高）15（12年大纲卷）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，（）证明：平面；（）设二面角为90，求与平面所成角的大小DABPCE16.（12年陕西卷）（本小题满分12分）直三棱柱中，（）证明；（）已知，求三棱锥的体积A1B1BCC1A17.（12年上海卷）如图，在三棱锥中，是PABCD的中点.已知.求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. 18.（12年天津卷）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，（I）求异面直线与所成角的正切值；（II）证明：平面平面；（III）求直线与平面所成角的正弦值.DBAPC选择题1.【答案】A【分析】由已知可知，带入数据得，.2. 【答案】 【分析】几何体是半球与圆锥叠加而成 它的体积为3.【答案】：A 【分析】：如图所示，取分别为的中点，依题意可得，所以.在中，所以.4. 【答案】C【分析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为.5.【答案】B【分析】利用排除法可得选项B是正确的，则如选项A：，时，或；选项C：若，时，或；选项D：若，时，或6. 【答案】【分析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，底边上高为3的等腰三角形，棱锥的高为3，故其体积为=9，故选B.7. 【答案】B【分析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选.8. 【答案】D【分析】圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆.9. 【答案】D【分析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均相同，原图下面部分应为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A，B，C都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面部分应为中间有条虚线的矩形.10. 【答案】C【分析】通过观察几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为六边形（2条对边长为1，其余4条边长为），高为1的直棱柱.所以该几何体的体积为，故选D.11. 【答案】D【分析】因为底面的边长为2，高为，且连接，得到交点为，连接，则点到平面的距离等于到平面的距离，过点作，则即为所求，在三角形中，利用等面积法，可得，故选答案D.12.【答案】B【分析】显然从左边看到的是一个正方形，因为割线可见，所以用实线表示；而割线 不可见，所以用虚线表示故选B填空题1. 【答案】【分析】该几何体的左中右均为圆柱体，其中左右圆柱体全等，是底面半径为2，高为1的圆柱体；中间部分是底面半径为1，高为4的圆柱体，所以所求的体积为：.2. 【答案】【分析】方法一：连接D1M，易得DNA1D1 ，DND1M， 所以，DN平面A1MD1，又A1M平面A1MD1，所以，DNA1M，故夹角为方法二：以D为原点，分别以DA， DC， DD1为x， y， z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体边长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2）故所以， ，故DNA1M，所以夹角为.3. 【答案】【分析】求的体积，显然为定值，也就是说三棱锥的底面面积与三棱锥的高都为定值，因此，我们需要找一个底面为定值的三角形，三角形的面积为（为定值），而E点到底面的高恰为正方体的高为1（为定值），因此体积为.4. 【答案】【分析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱，几何体的的体积是：5. 【答案】6【分析】长方体底面是正方形 ，中 cm，边上的高是cm（它也是四棱锥的高） 四棱锥的体积为6. 【答案】【分析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为7. 【答案】【分析】点8. 【答案】【分析】首先根据已知条件，连接，则由可知或其补角为异面直线与所成的角，设正方体的棱长为2，则可以求解得到，再由余弦定理可得.9. 【答案】【分析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：.10. 【答案】【分析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的底面为直角梯形的直四棱柱构成的组合体.长方体的体积为，直四棱柱的体积是，所以几何体的总体积为.解答题1. 【解】（1）连接OC. 由已知，所成的角设AB的中点为D，连接PD、CD.因为AB=BC=CA，所以CDAB.因为等边三角形，不妨设PA=2，则OD=1，OP=， AB=4.所以CD=2，OC=.ABCPODE在Rttan（2）过D作DE于E，连接CE. 由已知可得，CD平面PAB.据三垂线定理可知，CEPA，所以，.由（1）知，DE=在RtCDE中，tan故2. 【证明】()设的中点为，连接,则由又，所以ONM所以，即OD是BE的垂直平分线()取的中点为N，连接MN,DN因为M是AE的中点，所以因为是等边三角形，所以DNAB由，所以，即BCAB所以ND/BC所以平面MND/平面BEC，故DM/平面BEC3. 【解】（1）平面，面 又面 （2）是中点点到面的距离三棱锥的体积 （3）过作，连接，易得由平面面面面 得：平面4. C1ADBB1A1C【解】：（）如图所示，因=，为的中点，故.又直三棱柱中， 面 ，故 ，所以异面直线 和的距离为（）：由故 ，从而，.故 为所求的二面角的平面角.因是在面上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以，因此得从而所以在中，由余弦定理得.5. 【解】（1）证明（i）因为， 平面ADD1 A1，所以平面.又因为平面平面 =，所以.所以.C1A1CBADB1D1EFH（ii）因为，所以，又因为，所以，在矩形中，F是A1A的中点，即.即，故.所以平面.(2) 设与交点为，连结.由（1）知，所以是与平面所成的角. 在矩形中，得，在直角中，得，所以BC与平面所成角的正弦值是.6. 【解】（）由题设知，面又面，由题设知，=，即，又，面， 面，面面；（）设棱锥的体积为，=1，由题意得，=，由三棱柱的体积=1，=1:1，平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.7. 【解】（I）连接，共面BAC1D1A1B1CDOE 长方体中，底面是正方形面（）在矩形中，得：8【解】（1）因为分别为的中点，所以.又因为所以.（2）由已知得且，所以.又.所.而，所以.又因为，所.所以（3）线段上存在点，使.理由如下：如图，A1PQEDFC分别取的中点则.B又因为，所以.所以平面即为平面.由（2）知，所以.又因为是等腰三角形底边的中点，所以，所以，从而.故线段上存在点，使得.9. 【解】（I）依题意可得，所以点到面的距离为.得：三棱锥的体积（II）将矩形绕按逆时针旋转展开，与侧面共面 当共线时，取得最小值MD1DCC1AA1B1BC1C1 由得为中点连接，又由长方体知，又，得同理可证，又10.【解】（）因为四棱柱的侧面是全等的矩形，所以，. 又因为，所以平面ABCD. 连接BD，因为平面ABCD，所以.因为底面ABCD是正方形，所以. 根据棱台的定义可知，BD与B1 D1共面. 又已知平面ABCD平面，且平面平面，平面平面，所以B1 D1BD. 于是由，B1 D1BD，可得，.又因为，所以平面. （）因为四棱柱的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以.又因为四棱台的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以. 于是该实心零部件的表面积为，故所需加工处理费为（元）.11.【解】（）因为又是平面内的两条相较直线，所以，而平面，所以.（）设和相交于点，连接，由（）知，所以是直线和平面所成的角，从而.由，平面，知.在中，由，得.因为四边形为等腰梯形，所以均为等腰直角三角形，从而梯形的高为于是梯形面积DCBAPO在等腰三角形中，所以故四棱锥的体积为.12. 【解】证明：（1）是直三棱柱，平面. 又平面，. 又平面，平面 又平面，平面平面. （2），为的中点，. 又平面，且平面，. 又平面，平面. 由（1）知，平面，. 又平面平面，直线平面13. 【解】（1）在中，由，可得.同理可得，.所以折叠完后，又因为，所以可得又因为，可得，即.CFGEDO因为，所以.（2）过作垂直于，则 即为四棱锥的高，则,所以所求体积为14. 【解】（1）（解法一）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面 平面，因此 （解法二）取的中点为，连结，分别为和的中点， ，面，面， ， 面面，面， 面.()（解法一）连结，由题意，面面=，面， =1， .(解法二) xDABPCEOy15. 【解】设，以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设.（）证明：由得， 所以，所以，.所以，所以平面；（） 设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得. 所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为.16. 【解】（）如图，连结，A1B1BCC1A 是直三棱柱，=，来源:， 平面，故 又，四边形是正方形， ，又， 平面，故 （）， 由（）知，平面， S=17.【解】（1）， PABCDE 三棱锥的体积为. （2）取的中点，连接，则 ，所以（或其补角）是异面直线 BC与AD所成的角. 在三角形中， ，所以. 因此，异面直线与所成的角的大小是. 18. 【解】（I）是与所成角 在中， 异面直线与所成角的正切值为（II）面 面 平面平面（III）过点作于点，连接 平面平面面是直线与平面所成角 在中， 在中， 得：直线与平面所成角的正弦值为DBAPCE
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