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有理数一、有理数的含义整数和分数统称有理数，很多学生想知道“为什么将这些数取名有理数” ？要回答这个问题并不难，只需要略微多了解一点数学的发展史就可以了“有理数”是一个外来词，是由英语rational number翻译而来的rational number的准确含义是“能表示成两个整数的比的数”，即“凡是能表示成两个整数的比的数就是有理数”，或者说“凡能用分数的形式来表示的数就是有理数”，因此，rational number相对准确地翻译可以是“比数”，可惜的是我们的先辈并没有把rational number翻译为“比数”，而是按照rational一词的另一意思“有理的”，把rational number翻译成了“有理数”，而且这种称呼一直沿用到今如果我们的老师能给学生一些类似的解释，相信学生不会再为这个名称而苦恼在小学的时候，我们的学生都能把“整数表示成分母是1的分数”，而且大多数学生也都能把有限小数和循环小数表示成分数的形式这样，整数、分数、有限小数、循环小数都属于有理数教科书中说“整数和分数统称有理数”，其中当然包括有限小数和无限循环小数例 把3, 0.2, ，表示成分数思路分析：3=, 0.2=，=, ，=，特别提醒：把循环小数化成分数是有规律可循的下面我们用方程的思想，借助具体的例子来总结这个规律：设 x，现将左右两端同时乘以1000得231. =1000 x于是，由，得 2311000 x- x即 999x231故 x =,约分，得 x可见转化成分数是于是在此基础上给出纯循环小数化为分数的一般方法就不困难了请老师引导学生，尽量让学生自已从中归纳得出相应的一般方法来设，则有10y=2.1000y=231. 由得1000y-10 y =231-2即 y=可见转化成分数是，在此基础上给出混循环小数化为分数的一般方法是不困难的请老师们引导学生自己去归纳二、任意两个有理数之和、差、积、商仍为有理数证明：因有理数都可以表示成两个整数的比的形式，故不妨设， ， 其中m，n，k，l均为整数，且(m，n)=1，(k，l)=1，于是由于m，n，k，l均为整数，因此nkml与mk均为整数，故必为有理数，故为有理数对于两个有理数之差、积、商仍为有理数，可以用类似方法证明，这里从略三、 任意两个有理数之间都存在着无穷多个有理数证明：假设任意两个有理数a、b,设ab，它们之间仅有有限个有理数，不妨设仅有n个有理数，这n个有理数按从小到大的顺序排列依次是ac1c2c3c4cnb由于任意两个有理数之和与积仍是有理数，因此当cn是有理数，b是有理数时，也是有理数，而且acnb即在有理数a与b之间找到了另外一个不同于c1c2c3c4cn的第n1个有理数，而这正好与假设矛盾因此，任意两个有理数之间都存在着无穷多个有理数四、 按要求，数正方形1 在图1中，所有正方形的个数是多少？思路分析：要把图中的正方形数清楚，显然以边长的不同数值来分类进行统计要方便一些解：图1中，设边长最小的正方形的边长为1，则边长为1的正方形共有4216个；边长为2的正方形共有329个；边长为3的正方形共有224个；边长为4的正方形仅有121个于是图1中所有正方形，一共有1222324230个2 在图2中，以图中各点为顶点一共能画出多少个正方形？思路分析：本题与第1题相比，略有不同在本题中，除了第1题所涉及到的正方形之外，还有边长为、2等几种新的情形解：由1可知，边长为1的正方形共有4216个；边长为2的正方形共有329个；边长为3的正方形共有224个；边长为4的正方形有121个此外，还有边长为的正方形共有329个，如图3所示；边长为的正方形共有2228个，如图4所示；边长为的正方形共有2个，如图5所示；边长为2的正方形1个，如图6所示故图2中所有满足条件的正方形一共有30982150个特别提醒：这里的两个问题从本质上说并不难，但是对初一的学生来说，要能够把其中所有的正方形都按要求一一数清楚，可不是一件容易的事因此，老师需要引导学生按“类”去数每个图中可能有的正方形这样做的目的在于逐渐渗透“分类讨论的数学思想”，为学生的后续学习作铺垫至于问题讨论过程中可能涉及到的、2等数，可以根据学生的实际可能来处理，只要学生能认识它们是一些正方形的边长即可，不必在此向学生介绍这些无理数五、关于“负负得正”乘法运算法则“为什么负负得正”要从初等数学的角度给学生讲清楚，是一件非常不容易的事情可以参考中学数学教学参考2005年第3期P3P4的“负负得正”的乘法法则可以证明吗？一文，文中最后指出：“综上所述，笔者认为，负负得正的乘法法则是数学中的一种规定（定义），它不能通过逻辑证明得出然而，对这个法则的规定既有客观世界中的实际背景，又有数学内部需要和谐发展的思想背景教学中适当地介绍这些背景，可以帮助学生认识乘法法则的由来与合理性，但是不能将这样做认为是证明了这个法则”此外，如果能够参阅浙江大学出版社出版、沈钢编著的高观点下的初等数学概念一书的第一章、第二章的相关内容，也许你还能获得一些新观点我们认为这个问题对初一的学生来说，只要学生能够理解一些具体实例，并能认可“负负得正”即可，不必再做过多的讲解或过高的要求下面引用一个有实际背景的例子，让学生体会一下“负负得正”的实际背景如果水位一直以每小时2cm的速度下降，现在的水位在水文标尺刻度的A处，试问3小时前水位在水文标尺刻度的什么位置？为了区分水位变化的方向，我们可以规定水位上升为正，下降为负；为了区分时间，我们规定现在以后为正，现在以前为负显然3小时以前水位在水文标尺刻度的A处上方6cm处，于是有（2）（3）=6这虽然是一个“有实际背景的原型”，的确有助于学生理解“负负得正”的乘法法则，但绝对不能就此认为这是对“负负得正”的证明因为数学中的证明不是个例的验证，是需要依据已有的公理、定理、定义等进行合乎逻辑的推证的六、“科学记数法” 课题引入的设计（一）快速记忆游戏目的：激发学生对数字或数据的兴趣下面有几组数据，你能过目不忘吗？一闪而过之后，你能记住多少，请大家一起来试一试，看谁记得多！中国国土面积有9 600 000平方公里；中国人口约有1 300 000 000人；光的速度约为30 0000 000米/秒； 太阳的半径约为69 600 000 000米； 世界的总人口约有6 100 000 000人； 银河系的直径为925 000 000 000 000 000公里 （二）讨论怎样有效地读出以上各个数据，顺势引出新课 科学记数法
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