用好法向量,巧解高考题

用好法向量 巧解高考题 为了和国际数学接轨 全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容 随着课程改革的进行 向 量的应用将会更加广泛 这在 2004 年高考数学试题 中得到了充分的体现 向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角 但 在教学中 我们的应用还不够 特别是法向量的应用 教科书中只给了一个概 念 如果非零向量 那么 叫做平面 的法向量 实质上 法向量的 灵活应用 将使得原本很繁琐的推理 变得思路清晰且规范 本文将介绍法向 量在空间几何证明 计算中的应用 一 直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 则直线 和平 面 所成的角 等于向量 所成的锐角 若所成的角为钝角 则为其补角 的余角 即 2003 全国 理 18 题 如图 直三棱柱 中 底面是等腰直 角 三角形 侧棱 分别是 与 的中点 点 在平面 上的射影是 的重心 求 与平面 所成角的大小 结果 用反三角函数值表示 求点 到平面 的距离 解 以 为坐标原点 建立如 图所示的坐标系 设 则 由 得 设平面 的法向 量为 则 由 得 令 得 平面 的一个法向量为 与 的夹角 的余弦值是 与平面 所成角为 当直线与平面平行时 直线与平面所成的角为 此时直线的方向向 量与 平面的法向量垂直 我们可利用这一特征来证明直线与平面平行 二 如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直 那么这条直线 和这个平面平行 2004 年高考湖南 理 19 题 如图 在底面是菱形的 四棱锥 中 点 在 上 且 I 证明 II 求以 为棱 与 为面的二面角 的大小 在棱 上是否存在一点 使 证明你的结论 解 以 为坐标原点 直线 分别为 轴 轴 过 点垂直 平面 的直线为 轴 建立空间直角坐 标系 如图 由题设条件 相关 各点的坐标分别为 设平面 的法向量为 则由题意可知 由 得 令 得 平面 的一个法向量为 设点 是棱 上的点 则 由 得 当 是棱 的中点时 同样 当直线与平面垂直时 直线与平面所成的角为 此时直线的方向 向 量与平面的法向量平行 我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直 三 设二面角 的两个半平面 和 的法向量分别为 设二 面角 的大小为 则二面角的平面角 与两法向量所成的角相等或互补 当二面角的锐角时 当二面角为钝角时 我们再来看 2004 年高考湖南 理 19 题 解 由题意可知 为平面 的一个法向量 设平面 的法向量为 则由题意可知 由 得 令 得 平面 的一个法向量为 向量 与 夹角 的余弦值是 由题意可知 以 为棱 与 为面的二面角 是锐角 所求二面角的大小为 我们知道当两个平面的法向量互相垂直时 两个平面所成的二面角为直角 此时两个平面垂直 我 们可用这一特征来证明两个平面垂直 四 设两个平面 和 的法向量分别为 若 则这两个平面 垂 直 1996 年全国 文 23 题 在正三棱柱 中 分别是 上的点 且 求证 平面 平面 证明 以 为坐标原点 建立如 图所示的坐标系 则 设平面 的法向量为 则由题意可知 由 得 令 得 平面 的一个法向量为 由题意可知 平面 的一个法向量为 平面 平面 五 设平面 的法向量为 是平面 外一点 是平面 内一点 则点 到平面 的距离 等于 在法向量 上的投影的绝对值 即 我们再来看 2003 年全国 理 18 题 解 设 则 设平面 的法向量为 则 由 得 令 得 平面 的一个法向量为 而 点 到平面 的距离 我们知道直线与平面 两个平面的距离都归结为点到平面的距离 故此法 同样可以解决直线与平 面 两个平行平面的距离 六 设向量 与两异面直线 都垂直 我们也把向 量 称为两异面直 线 的法向量 分别为异面直线 上的点 则两异面直 线 的距 离 等于 法向量 上的投影的绝对值 即 1999 年全国 理 21 题 如图 已知正四棱柱 中 点 在棱 上 截面 且面 与底面 所成的角为 求异面直线 与 之间的距离 解 以 为坐标原点 建立如 图所示的坐标系 连结 交 于 连结 则 就是 面 与底面 所成的角的平面角 又 截面 为 的中点 为 的中点 则 设向量 与两异面直线 都垂直 由 得 异面直线 与 之间的距离 前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题 实现了几何问题 的代数化 将复杂的几何 证明转化为代数运算 从而避免了几何作图 减少了 逻辑推理 降低了难度 但公式的应用也有一定的局限性 一般地 在能建立 空间直角坐标系的情况下 利用法 向量较为有效