高三数学基础复习资料第十讲---圆锥曲线

1 圆锥曲线 知识点小结 一 椭圆 1 椭圆的定义 平面内与两个定点 的距离的和等于常数 大于 的点的轨21 F 21F 迹 其中 两个定点叫做椭圆的焦点 焦点间的距离叫做焦距 注意 表示椭圆 表示线段 没有轨迹 21Fa 21a 21 21a 2 椭圆的标准方程 图象及几何性质 中心在原点 焦点在 轴上x中心在原点 焦点在 轴上y 标准方程 0 2 byax 0 12 baxy 图 形 xO F1 F2 P y A2A1 B1 B2 xO F1 F2P y A2 B2 B1 顶 点 0 21b a 0 21ab 对称轴 轴 轴 短轴为 长轴为xyb2 焦 点 21cF 0 21cF 焦 距 1 bac 离心率 离心率越大 椭圆越扁 0 ea 通 径 过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段 2ba 3 常用结论 1 椭圆 的两个焦点为 过 的直线交椭圆于 两 0 12 bayx 21 F1BA 点 则 的周长 ABF 2 设椭圆 左 右两个焦点为 过 且垂直于对称轴的直线 2byax 21 1 A1 2 交椭圆于 两点 则 的坐标分别是 QP PQ 二 双曲线 1 双曲线的定义 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数 小于 的点的21 F 21F 轨迹 其中 两个定点叫做双曲线的焦点 焦点间的距离叫做焦距 注意 与 表示双曲线的一支 aPF2 1 aP 12 21F 表示两条射线 没有轨迹 22a F 2 双曲线的标准方程 图象及几何性质 中心在原点 焦点在 轴上x中心在原点 焦点在 轴上y 标准方程 0 12 ba yx 0 12 baxy 图 形 xOF 1 F2 P y A2A1 xO F1 P B2 B1 F2 顶 点 0 21a 0 2a 对称轴 轴 轴 虚轴为 实轴为xyb2 焦 点 21cF 21c 焦 距 0 1 2ac 离心率 离心率越大 开口越大 ea 渐近线 x by xby 通 径 2b 3 双曲线的渐近线 求双曲线 的渐近线 可令其右边的 1 为 0 即得 因式分解得到 12 byax 02 yax0 xyab y 3 与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 12 byax 2byax 4 等轴双曲线为 其离心率为2t 4 常用结论 1 双曲线 的两个焦点为 过 的直线交双曲线 0 12 byax 21 F1 的同一支于 两点 则 的周长 BA F 2 设双曲线 左 右两个焦点为 过 且垂直于对称轴的 2 yx 21 1 直线交双曲线于 两点 则 的坐标分别是 QP PQ 三 抛物线 1 抛物线的定义 平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹 其中 定点为抛物线的焦点 定直线叫做准线 2 抛物线的标准方程 图象及几何性质 0 p 焦点在 轴上 x 开口向右 焦点在 轴上 x 开口向左 焦点在 轴上 y 开口向上 焦点在 轴上 y 开口向下 标准方程 py2 py2 px2 px2 图 形 xO F Pyl OF P y l x O FP yl x O FP yl x 顶 点 0 对称轴 轴x 轴y 焦 点 0 2 pF 2 pF 2 pF 2 0 pF 离心率 1 e 准 线 x xy y 通 径 p2 4 焦半径 2 0 pxPF 2 0pyPF 焦点弦 焦准距 p 四 弦长公式 14 1 1 22212212 AkxxkxkAB 其中 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程 消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程 的判别式和 的系数2x 求弦长步骤 1 求出或设出直线与圆锥曲线方程 2 联立两方程 消去 y 得关于 x 的一元 二次方程 设 由韦达定理求出 0 CBA 1yxA 2BAB 21 3 代入弦长公式计算 x 21 法 二 若是联立两方程 消去 x 得关于 y 的一元二次方程 则相应的弦长 02CyA 公式是 1 4 1 1 22121222 AkkykAB 注意 1 上面用到了关系式 和 212121 xxx 4 212121 Ayyy 注意 2 求与弦长有关的三角形面积 往往先求弦长 再求这边上的高 点到直线的距离 但 若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形 且线段的长度为定值 求面积一般用分割法 五 弦的中点坐标的求法 法 一 1 求出或设出直线与圆锥曲线方程 2 联立两方程 消去 y 得关于 x 的一元二 次方程 设 由韦达定理求出 3 0 CBxA 1yxA 2BAB 21 设中点 由中点坐标公式得 再把 代入直线方程求出 0yM0 x 0 x 0y 法 二 用点差法 设 1yx 5 F x y A B C O 中点 由点在曲线上 线段的中点坐标公式 过 A B 两点斜率公式 列出 2yxB 0yxM 5 个方程 通过相减 代入等变形 求出 0 yx 六 求离心率的常用方法 法一 分别求出 a c 再代入公式 法二 建立 a b c 满足的关系 消去 b 再化为关于 e 的方程 最后解方程求 e 求 e 时 要注意椭圆离 心率取值范围是 0 e 1 而双曲线离心率取值范围是 e 1 1 设 为过抛物线AB 的焦点的弦 则 的最小值为 2 pxyAB A B C D 无法确定2 2 若抛物线 上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离 则点 的坐标为 xy2PP A B C D 1 4 12 84 12 412 84 3 如图 过抛物线 的焦点 F 的直线 交抛物线于点 A B 交其准线于点 C 若02 pxyl 且 则此抛物线的方程为 FC3A A B 32 xy2 C D xy9 9 4 设抛物线 2 2x的焦点为F 过点M 3 0 的直线与抛物线相交于A B两点 与抛物线的准线相 交于C B 2 则 BCF与 ACF的成面积之比 CFS A 45 B 23 C 47 D 12 w 5 点 P在直线 1lyx 上 若存在过 P的直线交抛物线 2yx 于 AB两点 且 PAB 则称点 为 点 那么下列结论中正确的是 A 直线 l上的所有点都是 点 B 直线 l上仅有有限个点是 点 C 直线 上的所有点都不是 点 D 直线 上有无穷多个点是 点 6 设 F1 F2 分别是双曲线 12 b yax 的左右 6 焦点 若双曲线上存在点 A 使 F 1AF2 90 且 AF 1 3 AF2 则双曲线的离心率等于 A 25B 10C 5D 7 双曲线 的实轴长和虚轴长分别是 43 yx A 4 B 4 C 3 4 D 2 22 3 8 若点 P 为共焦点的椭圆 1C和双曲线 的一个交点 1F 分别是它们的左右焦点 设椭圆离心率为1e 双曲线离心率为 2e 若 02 PF 则 21e A 1 B 2 C 3 D 4 9 已知点 P 是椭圆 上的动点 为椭圆的两个焦点 是坐标原 0 186 yxyx 1F2O 点 若 M 是 的角平分线上一点 且 则 的取值范围是 12F 1MP A B C D w w w k s 5 u c o m 0 3 0 2 3 0 4 10 已知 p q p q 是等差数列 p q pq 是等比数列 则椭圆 的准线方程 21xypq A B 2y C D 63263x 11 双曲线 的渐近线方程为 1 2 yx A B 3 xy31 C D xy 12 已知抛物线方程为 过该2 0 p 7 抛物线焦点 且不与 轴垂直的直线 交抛物线于 两点 过点 点 分别作 垂FxAB AB MN 直于抛物线的准线 分别交准线于 两点 那么 必是 MNF A 锐角 B 直角 C 钝角 D 以上皆有可能 13 已知方程 它们所表示的曲线0 02 cbacbyaxbyax中中 可能是 14 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 0 12 bayx 0 12 nmnyx 和 若 是 与 的等比中项 是 与 的等差中项 则椭圆的离心率是 0 c cmc w w w k s 5 u c o m 3A2 B41 C21 D 15 已知椭圆 上的一点 P 到左焦点的距离为 则点 P 到右准线的距离为 14 2 yx 23 A B C 5 D 3 16 已知点 分别是双曲线的两个焦点 P 为该曲线上一点 若 为等腰直角三角形 则该21 F 21F 双曲线的离心率为 A B C D 3 132 17 在 三 角 形 ABC中 已 知 动 点 B的 轨 迹 方 程 sin2isn 0 A 且 A B 1432 xyx 0 143 yx 8 H B E F D CB A C D 0 1342 yx 0 1342 xyx 1 2 40 159xyABBC 的 顶 点 是 又 是 椭 圆 上 异 于 长 轴 端 点 的 点 则 Csin A 2 B C D 5453412 19 如图 用与圆柱的母线成 角的平面截圆柱得一椭圆截线 60 则该椭圆的离心率为 A B C D 非上述结论1232 20 所在的平面 和四边形 ABCD 所在的平面垂直 且P 4 8 6 DABAPCB 则点 P 在平面 内的轨迹是 A 圆的一部分 B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分 D 抛物线的一部分 21 设 是曲线 上的点 xy19252 yx 则必有 14 0F A B 12 P1021 PF C D 1 22 有一矩形纸片 ABCD 按图所示方法进行任意折叠 使每次折叠后点 B 都落在边 AD 上 将 B 的落点记 为 其中 EF 为折痕 点 F 也可落在边 CD 上 过 作 H CD 交 EF 于点 H 则点 H 的轨迹B 为 A 四分之一圆 B 四分之一椭圆 C 双曲线的一部分 D 抛物线的一部分 D C BA P 9 23 已知椭圆 21 0 xyab 的左焦点为 F 右顶点为 A 点 B在椭圆上 且 Fx 轴 直线 AB交 轴于点 P 若 2AB 则椭圆的离心率是 w k s 5 u c o m A 32 B C 13 D 12 24 经过抛物线 y2 4x 的焦点弦的中点轨迹方程是 A y 2 x 1 B y 2 2 x 1 C y 2 x D y2 2x 1 25 直线 与曲线 的交点个数为 53 x159 2 x A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 26 已知双曲线 a 0 b 0 的离心率为 e 则它的两条渐近线所成的角中以实轴为 by 2 平分线的角的大小为 A B C D 2 6 2 3 3 2 32 27 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1 点 M 在 AB 上 且 AM 点 P 是平面 ABCD 上的动点 且动点 P1 到直线 A1D1 的距离与动点 P 到点 M 的距离的平方差为 1 则动点的轨迹是 A 圆 B 抛物线 C 双曲线 D 直线 28 不论 为何值 直线 与双曲线 总有公共点 实数 的取值范围是 k 2 ykxb 21xy b A B C D 3 3 30 直线 交抛物线 于 M N 两点 向量 与弦 MN 交于点 E 若 E1yx20ypx OMN 点的横坐标为 则 的值为 A 2 B 1 C D 412 31 直线 交椭圆 于 M N 两点 MN 的中点为 P 若 O 为原点 则1yx 2mny 2opk 等于 mn A B C D 222 2 10 32 已知定点 点 P 为抛物线 上一动点 点 P 到直线 的距离为 则 PA d 4 3 Axy42 1 xd 的最小值为 A 4 B C 6 D 5 328 33 点 是双曲线 右支上一点 是该双曲线的右焦点 点 为线段 的中点 若P14 2 yxFMPF 则点 到该双曲线右准线的距离为 3 OM A B C D 432332 34 过双曲线 的右焦点 F 作渐近线 的垂线与双曲线左右两支都 0 12 bayx xaby 相交 则双曲线的离心率 的取值范围为 e A B C D 1 2 2 e2 e 35 定义椭圆 的面积为 若 2xyab ab UxyR 则 所表示图形的面积 2 1 4A 20B AB I 为 A 1 B C D 2 31 36 一条线段 AB AB 2a 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴上 y 轴上滑动 则线段 AB 中点 M 的轨迹方程 为 A x 2 y2 a2 x 0 B x 2 y2 a2 y 0 C x 2 y2 a2 x 0 且 y 0 D x 2 y2 a2 37 如果方程 表示双曲线 则下列椭圆中 与该双曲线共焦点的是 A 1pq B C D 2xyq21xyp 21xyq 21xypq 38 已知椭圆的焦点是 P 是椭圆上的一个动点 如果延长 到 Q 使得 那么动点12F1FP2QPF 11 Q 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线 39 经过抛物线 y2 4x 的焦点弦的中点轨迹方程是 A y 2 x 1 B y 2 2 x 1 C y 2 x D y2 2x 11 40 设 P 为双曲线 右支异于顶点的任一点 F 1 F2 为两个焦点 则 PF 1F2 的内心 M 的轨196 x 迹方程是 A x 4 y B x 3 y C x 5 y D x y 56 41 双曲线 中 被点 P 2 1 平分的弦所在的直线方程为 49 2 yx A B C D 不存在78598 yx694 yx 42 若双曲线 的右支上一点 P a b 到直线 y x 的距离为 则 a b 的值是 12 yx 2 A B C D 21 43 过点 A 0 作椭圆 的弦 弦中点的轨迹仍是椭圆 记为 若 和 的a 21 byax 2C12 离心率分别为 和 则 和 的关系是 e e A B 2 C 2 D 不能确定 e 44 过抛物线 的焦点作一条直线交抛物线于 则 为 0 2 pxy 21yxBA21x A 4 B 4 C D 2p2p 45 已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 若双曲线上有一点 M 0 baxy 使 那双曲线的交点 0 yx 00 xba A 在 轴上 B 在 轴上 C 当 时在 轴上 D 当 时在 轴上y xba y 46 若直线 与曲线 有公共点 则 的取值范围是yx 24 0 x b 12 A B C D 2 0 2 2 2 47 已知抛物线 的顶点为 抛物线上 两点满足 则点 到直线 的xy4 OBA0 OAB 最大距离为 A 1 B 2 C 3 D 4 48 若双曲线 的离心率为 则两条渐近线的方程为 21xyab 54 A B C D 096XY 09XY 03Y 043XY 49 椭圆的短轴长为 2 长轴是短轴的 2 倍 则椭圆的中心到其准线的距离是 A B C D 854834 50 设双曲线 的半焦距为 C 直线 L 过 两点 已知原点到直线 21 0 xyab 0 ab L 的距离为 则双曲线的离心率为34C A 2 B 2 或 C D 23 答案 1 C 解析 垂直于对称轴的通径时最短 即当 2pxy min2ABp 2 B 解析 点 到准线的距离即点 到焦点的距离 得 过点 所作的高也是中线PPPOFP 代入到 得 18x xy 24y 12 84 3 B4 A5 A6 B7 A8 B9 B 10 A 解析 因为 所以 所以椭圆方程为 故准线方程为2 0pqq A24pq 214xy 13 42y 11 D12 B13 B14 D15 C16 B17 C18 B19 A 20 A 解析 在 以 AB 的中点 O 为原点 sinsi 2PBRtPBCtADCPBAD 和 中 以射线 OB 为 x 轴 在 内建立平面直角坐标系 则 化简得 23xy 故选 A 2516y 21 A22 D23 D24 B25 C26 C27 B28 B29 C30 D31 A32 B33 A34 C35 B 22 36 解析 因原点即在 x 轴上 又在 y 轴上 故本题无特殊情况 选 D 37 D38 A39 B40 A41 答案 D42 答案 B 43 正解 A 设弦 AB 中点 P 则 B 2 yx 由 1 1 2 x24by2 a24b422bac 2ae 2 e 误解 容易产生错解往往在 式中前一式分子不从括号里提取 4 而导致错误 44 正解 D 特例法 当直线垂直于 轴时 x 21 42yppABx 注意 先分别求出 用推理的方法 既繁且容易出错 12 y 45 正解 B 由 得 可设 此时 的斜率大于0abx 0ba0 xy OM 渐近线的斜率 由图像的性质 可知焦点在 轴上 所以选 B y 误解 设双曲线方程为 2ab 化简得 222ab 14 代入 焦点在 轴上 这个方法0 xy22200baybx 0 x 没错 但 确定有误 应 焦点在 轴上 误解 选 B 没有分组 46 D47 D 48 解析 C49 解析 D50 解析 D 易错原因 忽略条件 对离心率范围的限制 0ab