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第一章 一维波动方程的付氏解一简述偏微分方程，阶，线性非线性，齐次非齐次的概念答：（1）含有未知函数关于自变量的偏导数的等式称为偏微分方程，简称PDE(Partial Differential Equation)（2）偏微分方程的阶：出现在偏微分方程中未知函数偏导数的最大阶数。（3）方程中各项关于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，称为线性；否则称为非线性方程。（4）不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项，自由项为零的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。二P24(8) 指出下列微分方程的阶、线性、齐次性： (Tricomi方程): （2阶线性齐次）(Klein-Gordon方程): （2阶线性齐次）(激波方程): （1阶非线性齐次）(KdV方程 ): （3阶非线性齐次）(多空介质方程): （2阶非线性齐次）三简述二阶线性偏微分方程的分类方法，P24(9) 对方程（1）：双曲线型（2）：椭圆型四何谓发展方程？何谓位势方程？何谓叠加原理？(1) 发展方程: 所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等；(2) 位势方程：所描述的自然现象是稳恒的，即与时间无关，如：静电场、引力场等。(3) 几种不同原因综合产生的效果等于这些原因单独产生效果的累加.叠加原理适用于线性方程所描述的物理现象.五试推导一维波动方程。（1） 设表示弦上x点在时刻t沿垂直于x方向的位移定义为横振动（2） 弦上任取一小段xMx+xxL(l,0)oFyN2. 基本假设(1) 弦为曲线,线密度为常数(2) 弦在一平面内作微小振动(3) Hooke定律对于承受单軸向应力的材料点，当应力与应变处于线性状态时,我们可將兩者的关系写为 上式称为Hookes law。 在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。英国物理学家、天文学家,胡克是17世纪英国最杰出的科学家之一。他在力学、光学、天文学等多方面都有重大成就。他所设计和发明的科学仪器在当时是无与伦比的。胡克定律（弹性定律），是胡克最重要发现之一，也是力学的最重要基本定律之一。3. 方程的建立（1） 弧长: 由假设2可知:很小（2） 受力分析： X轴方向弦只作横向振动,受力总和为零.: T2con2 T1con1=0 （T2= T1=T） Y轴方向: 作用在M点的张力T，在y轴方向的分力为 作用在N点的张力T，在y轴方向的分力为 作用在NM点上，垂直于x轴外力为（3） Newton第二定律艾萨克牛顿1，Isaac newton(1643年1月4日1727年3月20日)是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家. 牛顿在科学上最卓越的贡献是创建了微积分和经典力学。 弦作微小振动时,变形很小, 与1相比可忽略不计: （4） 弦强迫横振动方程:（5） 弦的自由振动方程：六简述泛定方程、定解条件、定解问题、偏微分方程古典解、定解问题的适定性的基本概念1. 泛定方程: 描述某些物理运动或社会现象变化的普遍规律的微分方程2. 定解条件: 微分方程满足的特定条件称为定解条件, 常见的定解条件有初始条件和边界条件。3. 定解问题: 一个微分方程(组)和相应的定解条件合在一起就构成了一个定解问题.4. 古典解：如果存在一个函数,具有所需要的各种连续偏导数,将它们代入方程时能使方程成为恒等式,则称该函数为该方程的(古典解)解。5. 定解问题的适定性：存在性、唯一性、稳定性的统称(1) 解的存在性: 所给定的定解问题至少存在一个解(2) 解的唯一性: 所给定的定解问题至多存在一个解(3) 解的问题性: 当给定条件以及方程中的系数有微小变动时,相应的解也只有微小的变动.七教材（P23）1.4习题1解： 设t时刻弦上x点处位移为，弦的线密度为, 根据动量守恒定律可知：则定解问题为：八教材（P23）1.4习题3设：t时刻弦上x点处位移为；均匀细杆的原长为l， x=l端自由，即应力为0，则定解问题为：九教材（P23）1.4习题4 解：设t时刻杆上x点处温度为： 根据傅里叶定律可知：t时刻x处单位时间内沿x轴方向通过横截面单位面积的热量q（x,t）与温度的下降率成正比，即：则定解问题为：第二章： 复习思考题与作业一 何谓波动方程的特征值与特征函数、何谓Sturm-Liouville问题？ P(26)二 简述三角函数系的正交性。 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，cosnx，sinnx，构成了一个三角函数系,其中任意两个不同的函数的乘积在-,上的积分必为零.三 用变量分离法求解齐次线性偏微分方程定解问题的基本步骤。 1.思路：(1) 放弃先求通解，再找特解的办法（放弃普通微分方程的解法）(2) 直接探求满足定解条件的特解(3) 求解偏微分方程分离变量化成求解常微分方程(4) 启示: 机械的、电磁的振动，总可分解为具有各种频率和振幅的简谐振动的叠加，而每个简谐振动具有形式：，该函数具有变量分离的形式2. 具体步骤：P33四 简述付氏解的物理意义。1. 傅氏解的表达形式 2. 傅氏解的化简: 加法定理:3. 分析: (1) 先固定时间t, 看看在任意指定时刻波的形状; 当时间取定t0时: 表明: 波u(x,t)在任意时刻的形状是正弦曲线,只是振幅 随着时间的改变而改变. (2) 然后固定弦上一点,看看该点的振动规律. 弦上x点作 表示一种谐和振动,振幅为: 弦上各点的园频率、初相位都相同 节点：点在任何时刻都使，这些点称为节点，说明是分段振动的. 驻波: 有节点的振动波 腹点: 点在任何时刻都使都是振幅达到最大值,称为腹点4. 基波与谐波: (1) 由于解为: ，因此是由无穷多个振幅、频率、初相不相同的驻波叠加而成。(2) 在所有驻波频率： (3) 固有频率：园频率与初始条件无关, 只与弦的长度、密度成反比，和张力的平方根成正比五 求解2.1.2(P30) 六 P65: 2.7习题1第三章 复习与思考题一推导一维热传导方程1. 问题：（1）考察一根均匀细杆内热量传播的过程（2）热量沿x轴一维传播,侧面绝热（3）设表示x点在时刻t的温度Oxx+xA2 方程的建立（1）分析：考察在时间间隔t到t内,细杆上x到x+x微元段的热量流动情况（2）热平衡方程式: 引起温度变化所吸收的热量Q=流入的热量Q 在时间t内微元段的温度升高为: 升高上述温度所需的热量:c:比热,:密度 热传导Fourier实验定律: 流入微元段的热量: 流出微元段热量: 留在微元段的热量:利用热量平衡方程得：二简述与热传导方程相似的物理问题1. 海底电缆电压方程2. 导电线圈在所围柱体内的磁场方程3. 扩散物质的浓度方程三何谓Poisson 方程和Laplace 方程，何谓位势方程？1. 热传导中温度分布稳定时所满足的方程为Poisson 方程：2. 特别地f=0时为Laplace 方程：3. Poisson 方程和Laplace 方程统称为位势方程四解2.2.1 (P38)五解2.2.2 (P39) ：求解细杆导热问题，杆长为L，两端保持为零度，初始温度分布为：六 P66习题(4)（?）第4章 Fourier 变换1. 何谓傅氏变换？简述其物理意义。 （1）若f(x) 满足傅氏积分定理条件，则称表达式 为f(x)Fourier 变换（2）物理意义：2. 简述Fourier 变换求解偏微分方程的基本步骤 （1） 根据自变量的变化范围及定解条件的情形,确定关于那个变量作变换,对方程两边施以Fourier 变换,使偏微分方程转化为关于未知函数的Fourier 变换(像函数)的常微分方程 （2）对定解条件进行相应的变换,导出常微分方程的定解条件（3）解常微分方程定解问题,求得原定解问题解的像函数（4）对所得像函数进行逆变换,得偏微分方程定解问题形式解（5）必要时,验证在一定条件下,形式解就是所求问题的古典解3. 推导无限长弦的dAlembert公式（1）（2）对方程两边关于x作Fourier变换 （3）求特征方程、特征值（4）代入初值条件，求得常微分方程的解 （5）作关于的Fourier逆变换（6）求得原偏微分方程的解(无限长弦的dAlembert公式) 4. 试用Fourier变换求解波动方程的Cauchy问题 书P79例3.2.2（同上一题）5. 求解热传导方程的初值问题：书93页习题3.6：（6）第5章 Laplace变换1. 简述Laplace变换及存在定理 （1）若f(x) 在0,+上有定义，对于复数p, 则称表达式 为f(x) Laplace变换（2）P812. 简述Laplace 变换求解偏微分方程的基本步骤 （1） 根据自变量的变化范围及定解条件的情形,确定关于那个变量作变换,对方程两边施以Laplace变换,使偏微分方程转化为关于未知函数的Laplace变换(像函数)的常微分方程 （2）对定解条件进行相应的变换,导出代数方程或常微分方程的定解条件（3）解常微分方程定解问题,求得原定解问题解的像函数（4）对所得像函数进行逆变换,得偏微分方程定解问题形式解（5）必要时,验证在一定条件下,形式解就是所求问题的古典解3. 用Laplace积分变换法求解下列定解问题: 书93页习题3.6：（12） 第六章 数学物理方程的差分解法1. 试写出导数的前差、后差和中央差商近似差分格式。2. 写出 的中央差分格式3. 写出二维Laplace方程的差分方程4. 写出一维波动方程的差分格式5. 设区域是边长为1,中心在原点的正方形,用差分解法(取步长h=0.1)求Laplace方程的解的第一次近似值Ui,j: (取零次近似值为,采用同步迭代法)6. 用差分方法求下列定解问题的近似解
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