必修5数列知识与题型归纳(复习用)

1 必修 5 数列知识与题型归纳 一 数列的概念数列 的前 项和 与通项 的关系 nanSna1 1 2nnS 例 1 已知数列 的前 n 项和 求数列 的通项公式 32 sn na 2 数列 的前 项和 na21nS 1 试写出数列的前 5 项 2 数列 是等差数列吗 na 3 你能写出数列 的通项公式吗 n 二 等差数列 等差数列的通项公式 例 1 已知等差数列 中 等于 na1249716aa 则 2 是首项 公差 的等差数列 如果 则序号 na1 3d05nn 3 等 差 中 项 2 例 1 设 na 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 若 1235a 则123801a 2 设数列 是单调递增的等差数列 前三项的和为 12 前三项的积为 48 则它的首项是 na 4 等差数列的性质 1 在 3 等 差 数 列 na 中 从 第 2 项 起 每 一 项 是 它 相 邻 两 项 的 2 在 等 差 数 列 na 中 4 相 隔 等 距 离 的 项 组 成 的 数 列 是 数 列 3 在等差数列 中 对任意 namnN nmad nma 4 在等差数列 中 若 且 则 npq pq 5 等差数列的前 和的求和公式 是 数列 2为 常 数BAnSn na 例 1 如果等差数列 中 那么 na12543 721a 2 设 是等差数列 的前 n 项和 已知 则 nS 32a67S 3 设等差数列 的前 n 项和为 若 则 anS79 942a 5 4 在等差数列 中 则 na1091 5a 5 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后 3 项的和为 146 且所有项的和为 390 则这个数列有 项 6 已知等差数列 的前 项和为 若 nanS 185212 aa 则 7 设等差数列 n的前 项和为 n 若 53a则 95S 8 已知数列 bn 是等差数列 b1 1 b1 b2 b10 100 则数列 bn 的通项 bn 9 已知 数列是等差数列 其前 10 项的和 则其公差 a0 a701 Sd 10 设等差数列 n的前 n 项和为 ns 若 632s 则 na 11 设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 S7 7 S15 75 Tn为 数列 的前 n 项和 求 Tn n 12 等差数列 的前 项和记为 已知 求通项 若 242 求 nanS503210 a nanS 13 在等差数列 中 1 已知 2 已知 na81214 68 Sad 求 和 65810 aSaS 求 和 3 已知 3151740 求 6 6 对于一个等差数列 1 若项数为偶数 设共有 项 则 偶 奇 2nS nd 1nSa 奇偶 2 若项数为奇数 设共有 项 则 奇 偶 1na中 Sn 奇偶 7 1 对与一个等差数列 仍成等差数列 nnnSS232 2 设 为等差数列 的前 项和 则 仍成等差数列 nS na n 例 1 等差数列 an 的前 m 项和为 30 前 2m 项和为 100 则它的前 3m 项和为 2 一个等差数列前 项的和为 48 前 2 项的和为 60 则前 3 项的和为 nn 3 已知等差数列 的前 10 项和为 100 前 100 项和为 10 则前 110 项和为 na 4 设 为等差数列 的前 项和 nSn 971043SS 则 5 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 则 36612 8 判断或证明一个数列是等差数列的方法 定义法 中项法 通项公式法 前 项和公式法 n 例 1 已知数列 满足 则数列 为 na21 n na A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 2 已知数列 的通项为 则数列 为 na52 n na 7 A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 3 已知一个数列 的前 n 项和 则数列 为 a42 s na A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 4 已知一个数列 的前 n 项和 则数列 为 a2s na A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 5 已知一个数列 满足 则数列 为 na021 nna na A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 9 等差数列前 n 项和的最值 1 时 有最 值 时 有最 值 0a d nS10a d nS 2 最值的求法 若已知 n 的最值可求二次函数 2nab 的最值 nS 3 若已知 则 最值时 的值 可如下确定 或 naN 10n 10n 例 1 设等差数列 的前 项和为 已知 nnS21313 Sa 求出公差 的范围 指出 中哪一个值最大 并说明理由 d1221 2 设 an n N 是等差数列 Sn是其前 n 项的和 且 S5 S6 S6 S7 S8 则下列 结论错误的是 A d 0 B a7 0 C S9 S5 D S6 与 S7 均为 Sn的最大值 8 3 已知 是等差数列 其中 公差 na13a 8d 1 数列 从哪一项开始小于 0 n 2 求数列 前 项和的最大值 并求出对应 的值 nan 4 已知 是各项不为零的等差数列 其中 公差 若 na10a 0d 10S 求数列 前 项和的最大值 n 5 在等差数列 中 求 的最大值 na125 179Sn 三 等比数列 1 等 比 数 列 定 9 义 2 递推关系与通项公式 mnnqa 推 广 通 项 公 式 递 推 关 系 11 1 在等比数列 中 则 na2 41q 2 在等比数列 中 则 n37 19 a 3 在等比数列 中 则 na2 548 4 在各项都为正数的等比数列 中 首项 前三项和为 21 则 na13 345a 3 等比中项 例 1 和 的等比中项为 23 2 设 na是公差不为 0 的等差数列 12a 且 136 a成等比数列 则 na的前 项和 nS 4 等比数列的基本性质 1 1 则若 qpnm Nqpnm其 中 2 2 Nnaaqmnmn 3 为等比数列 则下标成等差数列的对应项成 数列 n 4 既是等差数列又是等比数列 是各项不为零的 数列 na na 例 1 在等比数列 中 和 是方程 的两个根 则 na102510 x 47a 10 2 在等比数列 已知 则 na51 109a18a 3 在等比数列 中 n 143612 n 求 若 na nn TaaT求 lglg21 4 等比数列 的各项为正数 且 na564731323108 logllogaaa 则 5 已知等比数列 n满足 0 12 n 且 52 n 则当 n时 212321logllognaa 5 等比数列的前 n 项和 例 1 已知等比数列 的首相 公比 则其前 n 项和 na51 2q nS 2 设等比数列 的前 n 项和为 已 求 和nS 62a301 an 3 设 则 等于 4710310 22 nfnN fn 4 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S3 S6 2 S9 求数列的公比 q 5 设等比数列 的公比为 q 前 n 项和为 Sn 若 Sn 1 Sn S n 2成等差数列 则 q 的值为 na 6 等比数列的前 n 项和的性质 11 若数列 是等比数列 是其前 n 项的和 那么 成 数列 nanS Nk kSk 2kS23 例 1 设等比数列 na 的前 n 项和为 nS 若 63 3 则 6 9 2 一个等比数列前 项的和为 48 前 2 项的和为 60 则前 3 项的和为 n 7 等比数列的判定法 1 定义法 2 中项法 3 通项公式法 4 前 项和法 n 例 1 已知数列 的通项为 则数列 为 nan2 na A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 2 已知数列 满足 则数列 为 na 0 221 nnna na A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 3 已知一个数列 的前 n 项和 则数列 为 a1n2 s na A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 四 求数列通项公式方法 1 公式法 定义法 根据等差数列 等比数列的定义求通项 12 例 1 已知等差数列 满足 则 na26 7753 an 2 已知数列 满足 则 n 1 211 nn n 3 数列 满足 8 则 na1 0214 nnaa 且 Nna 4 已知数列 满足 则 n 211 nn 5 设数列 满足 且 求 的通项公式 na01 11 nna n 6 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na112 nna na 7 等比数列 的各项均为正数 且 求数列 的通项公式 na13221 a6239a n 8 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na 2 3 211 nan na 9 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na 212214 nnaa且 na 13 10 已知数列 满足 且 求数列 的通项公式 na 21 152 nnaa na 11 已知数列 满足 且 求数列 的通项公式 na 21 11523 52 nnnaa na 12 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na11 4 2na na 2 累加法 例 1 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na14 2121 nan na 2 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na112na na 3 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na1123nnaa na 3 累乘法 适用于 1 nnaf 14 例 1 已知数列 满足 求 na321 nna1 2 已知 求 31 anna211 na 4 待定系数法 构造法 适用于 1 naqf 例 1 已知数列 中 求数列 的通项公式 na11 2n na 2 在数列 中 若 则该数列的通项 na11 23 1 na na 以下 3 8 题理科生做 文科可以不做 3 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na112356nna na 提示 设 15 nnxx 15 4 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na11243nna na 5 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na113524nnaa na 提示 设 12 nnnxyxy 6 已知数列 中 求 na651 11 2 3 nnana 7 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na21 1345nana na 提示 设 2 21 n nxyzxyz 递推公式为 其中 p q 均为常数 先把原递推公式转化为nnapa 12 112nnsatsa 其中 s t 满足 qt 8 已知数列 满足 求数列 的通项公式 na211256 nnaa na 5 根据条件找 与 项关系 文科可以不做 1 n 16 例 1 已知数列 中 若 求数列 的通项公式 nannaC1 11 21 5 nab nb 2 在数列 na中 11 1 2nna 设 nab 求数列 nb的通项公式 6 递推公式中既有 又有nSa 分析 把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系 然后采用相应的方法求解 1 2nnS naS 1 数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 a1 1 n 1 2 3 求1n a2 a3 a4的值及数列 an 的通项公式 2 已知数列 的首项 前 项和为 且 na15 nnS 15 nSN 证明数列 是等比数列 n 3 已知数列 的各项均为正数 且前 n 项和 满足 且 成等比数列 求数列 nanS1 26na 249 a 的通项公式 n 17 7 对无穷递推数列 消项得到第 与 项的关系1 n 例 1 已知数列 满足 na11231 2 n naaa 求 的通项公式 n 2 设数列 na满足 21133naa 求数列 na的通项 五 数列求和 1 直接用等差 等比数列的求和公式求和 dnanSn2 1 2 11 1 1qanSn 公比含字母时一定要讨论 例 1 等差数列 an 中 a1 1 a3 a5 14 其前 n 项和 Sn 100 则 n A 9 B 10 C 11 D 12 2 已知等比数列 满足 则前 项和 na 1 32annS 2 错位相减法求和 18 例 1 求 和 nnaaS 321 2 设 是等差数列 是各项都为正数的等比数列 且 na nb1ab 3521 求 的通项公式 求数列 的前 n 项和 531b nan nS 3 已知等差数列 满足 na02 1086 a 1 求数列 的通项公式及 2 求数列 的前 n 项和nnS 2 1 n 4 设数列 满足 na21 1213 nna 19 1 求数列 的通项公式 2 令 求数列 的前 n 项和 nanab bnS 5 已知 数列 是首项为 a 公比也为 a 的等比数列 令 求数1 0 a na lgNnabn 列 的前 项和 nbnS 3 裂项相消法求和 例 1 已知数列 的通项公式为 则前 项的和 na1 na nnS 2 已知数列 的通项公式为 则前 项的和 n 1n n 3 已知数列 的通项公式为 设 求 nana2 132421n nTaa nT 20 4 求 3214321 Nn 5 设数列 满足 且 na01 11 nna 1 求 的通项公式 2 设 记 为 前 项和 证明 n 1bnn nS b1 nS 6 等比数列 的各项均为正数 且 na13221 a6239a 1 求数列 的通项公式 2 设 求数列 的前 n 项和n naanb33log log21 1 b 7 已知等差数列 满足 的前 n 项和 na26 7753 a nS 1 求 及nS 21 2 令 求数列 前 n 项和12 nab N bT 8 已知数列 中 前 和 na 31 n1 21 naS 1 求数列 的通项公式n 2 设数列 的前 项和为 是否存在实数 使得 对 1nanTMTn 一切正整数 都成立 若存在 求 的最小值 若不存在 试说明理由 9 数列 满足 8 na1 0214 nnaa 且 N 22 求数列 的通项公式 na 设 是否存在最大的整数 m nnnn bbSNb 21 12 使得任意的 n 均有 总成立 若存在 求出 m 若不存在 请说明理由 3mSn 10 已知 a1 2 点 an an 1 在函数 f x x2 2x 的图象上 其中 1 2 3 1 证明数列 lg 1 an 是等比数列 2 设 Tn 1 a1 1 a2 1 an 求 Tn及数列 an 的通项 3 记 bn n 求 bn 数列的前项和 Sn 并证明 Sn 132 T 1