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姓名：学号：院系：班级： 授课教师：张宏伟 大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试卷课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页装 订 线一二三四五六七八九十总分标准分4281515155/100得 分 一、填空（每一空2分，共42分）1为了减少运算次数，应将表达式.改写为_；2给定3个求积节点：，和，则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为 ，用Simpson公式求得的近似值为 。1 设函数，若当时，满足，则其可表示为 。4已知,则 , ，逼近的Newton插值多项式为 。5用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为： 。6已知，则的Jordan标准型是 ；7设是阶正规矩阵，则 ；8求解一阶常微分方程初值问题，的向后（隐式）Euler法的显式化的格式为： 。9设12为的近似值，且，则至少有 位有效数字；10将，化为的Householder矩阵为： ；11 ；12用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为 ，进行二步后根所在区间为 。13若为Newton-Cotes 求积公式，则 ，若为Gauss型求积公式，则 。14设，则在Schur分解中，可取为 。15设，则 , 。二、（8分）已知近似值，均为有效数字，试估计算术运算的相对误差界。 三、（15分）设线性方程组：（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并计算 ，和；（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题，的数值方法证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间；要用此方法解，。为使方法绝对稳定，求出步长的取值范围并以，初值，为步长，求出的近似值。五、（15分）（1） 用Schimidt正交化方法，构造上以权函数的正交多项式系：，; （2）构造计算 具有5次代数精度的数值求积公式；（3） 利用2)的结果求出的数值解。六、证明题（5分）任选一题1设均为可逆矩阵，且齐次线性方程组有非零解，证明：对于中的任何矩阵范数，都有。2 已知，求出，证明 收敛。
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