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浙教版七年级上数学总结 第一章 有理数1用正负数表示相反意义的量2正数和负数 像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-等在正数前面加“”（读负）的数叫负数。【注】0既不是正数也不是负数。3有理数（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。分数：正分数和负分数统称为分数。有理数：整数和分数统称为有理数。（2）有理数分类1）按有理数的定义分类 2）按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数4 数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数（3）在数轴上比较有理数的大小。1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。5相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如5与5互为相反数。（代数意义） （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。（5）相反数的求法：数a的相反数是a。（6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“”号的个数决定的。如果“”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6绝对值 （1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。 （2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零 （3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即a0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零 （4）两个相反数的绝对值相等(5)有理数大小比较原则正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。两个负数，绝对值大的反而小.。第二章 有理数的运算1有理数的加法 (1)有理数加法法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3）互为相反数的两个数相加得零。 4）一个数与0相加，仍得这个数。（2）有理数加法的运算律：加法交换律：abba加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2. 有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 a-b=a+(-b)3有理数的加减混合运算（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。 例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。 读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。 （2）适当的应用加法运算律。4有理数的乘法 （1）有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。（3）乘法运算律： 乘法交换律： ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)5有理数的除法 （1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。【注】0没有倒数。（2）有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。【注】0不能做除数。 （3）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不等于的数，都得零。7有理数的乘方（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。 个（2）乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。（3）有理数乘方法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。8科学记数法 （1）一般的，10的n次幂，在1的后面有n的0。 （2）一个大于0的数就记成的形式。其中n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。 （3）用科学记数法表示一个数时，10的指数等于原数的整数位数减1。（或等于小数点向右移动的位数。14有理数的混合运算（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。15近似数和有效数字 （1）准确数：完全符合实际的数。 （2）近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。 （3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 （4）近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。 第三章：实数 1、平方根：如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们 称x是a的平方根，记做：。因此： 当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 当a0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。 当a0时，也即a为负数时，它不存在平方根。2、算术平方根：（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。3、立方根：（1）如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。（2） 平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。4、无理数：（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。5、实数：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。（2）实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。（3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。（4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。第四章 代数式1用字母表示数2代数式（1）由数和字母用运算符号连接起所成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也叫代数式。【注】运算符号指加、减、乘、除、乘方、开方。（2）代数式书写要求：1) 代数式中出现的乘号，通常写作“”或省略不写。但数字与数字相乘时，要用“”。 2）数字与字母相乘时，数字写在字母的前面。3）除法运算写成分数形式。4) 带分数与字母相乘时，要 把带分数写成假分数。 5) 在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，若代数式是积或商的形式，则单位直接写在后面，若代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在后面。（3）列代数式 ： 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列代数式。 【注】抓住题中表示运算关系的关键词：如和、差、积、商、比、倍、大、小、增加了、增加到、减少、几分之几等。（4）代数式的值 ：一般的，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中运算计算得出的结果叫做代数式的值。【注】1)代数式中的值随着代数式中字母取值的变化而变化。所以求代数式值时，在代入前必须写出“当时”。2）代数式里字母的取值必须确保代数式有意义。3单项式（1）如100t、6a、2.5x、vt、-n，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。【注】1）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。 2）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。4多项式 （1）几个单项式的和，叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 （2）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 ( 3 ) 一个多项式含有几项，就叫几项式；例如：x+2x+18是一个二次三项式。【注】1）多项式的次数不是所有项的次数和。 2）多项式的每一项都包括它前面的正负号。5整式 单项式与多项式统称为整式。6升幂排列与降幂排为便于多项式的运算，可以用加法交换律将多项式各项的位置按某个字母的指数的大小顺序重新排列。若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降幂排列。若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升幂排列。【注】（1）重新排列的多项式，每一项一定要连同它的正负号一起移动。（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一个字母升幂排列或降幂排列。7整式的加减 （1）同类项：所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。 （2）合并同类项：根据乘法对加法的分配律把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。 合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。(3)去括号与添括号1）去括号法则：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变正负号。 a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c2）添括号法则：所添括号前面是“十”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括h号前是“一”号，括到括号里的各项都改变正负号。（4）整式的加减 先去括号，再合并同类项。 第五章 一元一次方程1、方程：含未知数的等式叫做方程。一元一次方程：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫一元一次方程。2、 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是方程的解。3、解 方 程：求方程的解的过程叫做解方程。 4、等式的基本性质等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。即：如果a=b，那么ac=b 。等式的性质2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。 即：如果a=b，那么ac =bc 或 如果a=b（ ），那么a/c =b/c5、解一元一次方程的一般步骤：步骤名 称方 法依 据注 意 事 项 1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来。2去括号去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）等式性质1 移项一定要改变符号4合并 同类项分别将未知项的系数相加、常数项相加1、整式加减；2、有理数的加法法则单独的一个未知数的系数为“1”5系数化为“1”在方程两边同时除以未知数的系数（方程两边同时乘以未知数系数的倒数）等式性质2 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数分母）*6检根x=a方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。若 左边右边，则x=a是方程的解；若 左边右边，则x=a不是方程的解。注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。说明：1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。5、一元一次方程的应用(1)列方程解实际问题的一般过程：审题：分析题意，找出数量关系，尤其是相等关系。设元：选择一个适当的未知数用字母（例如X）表示。列方程：根据相等关系列出方程。解方程：求出未知数的值。检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答语（包括单位名称）。（2）要善于分析问题中的不变量，并利用不变量列方程。要善于用不同的方式表示同一个量，由此得到相等关系，从而列出方程。要善于从问题的基本量中寻找相等关系。要善于利用“总量等于各个分量之和”列方程。初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系1、行程问题：基本量及关系：路程=速度时间 相遇问题中的相等关系：一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离追及问题中的相等关系：追及者的行程被追者的行程=相距的路程顺（逆）风（水）行驶问题 顺速=V静风（水）速 逆速=V静风（水）速2、销售问题基 本 量：成本（进价）、售价（实售价）、利润（亏损额）、利润率（亏损率）基本关系：利润=售价成本、 亏损额=成本售价、 利润=成本利润率 亏损额=成本亏损率 3、工程问题基本量及关系：工作总量=工作效率工作时间 4、分配型问题 此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。第六章 图形的初步认识1、点、线、面、体都称为几何图形。几何图形分平面图形和立体图形。2、立体图形：图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的图形称为立体图形。常见的立体图形：（1）球体（2）柱体：包括圆柱和棱柱。（3）椎体：包括圆锥和棱锥。（4）多面体。3、平面图形 ：图形所表示的各个部分都在同一平面内，这样的图形称为平面图形。常见的平面图形有：直线、射线、线段、角、三角形、平行四边形、正方形、长方形、梯形、圆等。4、最基本的图形点和线（1）点：通常表示一个物体的位置。（2）线段、射线、直线线段：有两个端点，不向任何一方延伸，可度量。有两种表示方法线段AB（BA），或线段a。射线：有一个端点，一方可以延伸，不可度量。直线：没有端点，两方可以延伸，不可度量。（3）两点之间，线段最短。经过两点有且只有一条直线。（4）线段长短的比较：1) 度量法2）叠合法，就是把其中一条线段移到另一条线段上，使其一个端点重合，然后去加以比较。（5）画一条线段等于已知线段。（6） 线段中点 把一条线段分成两个相等部分的点，叫做这条线段的中点。5、角：（1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形。（2）角也可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的中边。（3）角的表示方法：1）用数字表示单独的一个角。如1，2等；2）用小写的希腊字母表示单独的一个角。如，等；3）用一个大写的英文字母表示独立（在一个顶点处只有一个角）的角。如O，A等；4）用三个大写的英文字母表示任意一个角，但必须把表示角的顶点的字母写在中间。如AOB等。（4）角的分类： 锐角 、直角 = 钝角 平角 角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角。= 周角 角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角。（5）角的度量：1周角= 1平角= 。（6）角的比较：1）度量法；2）叠合法：把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧。（7）角的平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。（8）角的特殊关系：1）互为余角：两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。互为补角：两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。2）等角或同角的余角相等。等角或同角的补角相等。3）对顶角：两条直线相交得到的，有公共的顶点，没有公共边的两个角。4）对顶角相等8相交线（1）两条直线相交所构成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 若直线AB、CD互相垂直。记作“”（2）垂线的性质：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简述为“垂线段最短”。（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。9相交线中的角同位角：在截线l的同一侧，被截直线a、b的同一方，这样位置的一对角叫做同位角。内错角：在截线l的两侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫做内错角。同旁内角：在截线l的同一侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫同旁内角。