全等三角形全章复习与巩固(提高)知识讲解

全等三角形全章复习与巩固 提高 学习目标 1 了解全等三角形的概念和性质 能够准确地辨认全等三角形中的对应元素 2 探索三角形全等的判定方法 能利用三角形全等进行证明 掌握综合法证明的格式 3 会作角的平分线 了解角的平分线的性质 能利用三角形全等证明角的平分线的性质 会利用角的平分线的性质进行证明 知识网络 要点梳理 高清课堂 388614 全等三角形单元复习 知识要点 要点一 全等三角形的判定与性质 要点二 全等三角形的 证明思路 SAHLASAS 找 夹 角已 知 两 边 找 直 角找 另 一 边边 为 角 的 对 边 找 任 一 角找 夹 角 的 另 一 边已 知 一 边 一 角 边 为 角 的 邻 边 找 夹 边 的 另 一 角找 边 的 对 角找 夹 边已 知 两 角 找 任 一 边 要点三 角平分线的性质 1 角的平分线的性质定理 一般三角形 直角三角形 判定 边角边 SAS 角边角 ASA 角角边 AAS 边边边 SSS 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边 直角边定理 HL 性质 对应边相等 对应角相等 其他对应元素也相等 如对应边上的高相等 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 2 角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3 三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点 且到三边的距离相等 4 与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段 构造全等三角形 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 要点四 全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础 这是因为全等三角形是研究特殊三角形 四边形 相似图形 圆等图形性质的有力工具 是解决与线段 角相关问题的一个出发点 运用全等 三角形 可以证明线段相等 线段的和差倍分关系 角相等 两直线位置关系等常见的几 何问题 可以适当总结证明方法 1 证明线段相等的方法 1 证明两条线段所在的两个三角形全等 2 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等 3 等式性质 2 证明角相等的方法 1 利用平行线的性质进行证明 2 证明两个角所在的两个三角形全等 3 利用角平分线的判定进行证明 4 同角 等角 的余角 补角 相等 5 对顶角相等 3 证明两条线段的位置关系 平行 垂直 的方法 可通过证明两个三角形全等 得到对应角相等 再利用平行线的判定或垂直定义证明 4 辅助线的添加 1 作公共边可构造全等三角形 2 倍长中线法 3 作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形 4 利用截长 或补短 法作旋转变换的全等三角形 5 证明三角形全等的思维方法 1 直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等 需要我们敏捷 快速地发 现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件 2 如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时 则应根据 图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件 3 如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系 此时应添置辅助线 使之 出现全等三角形 通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质 典型例题 类型一 巧引辅助线构造全等三角形 1 倍长中线法 1 已知 如图 ABC 中 D 是 BC 中点 DE DF 试判断 BE CF 与 EF 的大小关系 并证明你的结论 FE D CB A 思路点拨 因为 D 是 BC 的中点 按倍长中线法 倍长过中点的线段 DF 使 DG DF 证明 EDG EDF FDC GDB 这样就把 BE CF 与 EF 线段转化到了 BEG 中 利用两边 之和大于第三边可证 答案与解析 BE CF EF 证明 延长 FD 到 G 使 DG DF 连接 BG EG D 是 BC 中点 BD CD 又 DE DF 在 EDG 和 EDF 中EDGF EDG EDF SAS EG EF 在 FDC 与 GDB 中 DGFBC21 FDC GDB SAS CF BG BG BE EG BE CF EF 总结升华 有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法 或倍长过中点的线段 举一反三 变式 已知 如图所示 CE CB 分别是 ABC 与 ADC 的中线 且 ACB ABC 求证 CD 2CE 答案 证明 延长 CE 至 F 使 EF CE 连接 BF EC 为中线 AE BE 在 AEC 与 BEF 中 AEBCF AEC BEF SAS AC BF A FBE 全等三角形对应边 角相等 又 ACB ABC DBC ACB A FBC ABC A AC AB DBC FBC AB BF 又 BC 为 ADC 的中线 AB BD 即 BF BD 在 FCB 与 DCB 中 BFDC FCB DCB SAS CF CD 即 CD 2CE 2 作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形 2 已知 如图所示 在 ABC 中 C 2 B 1 2 求证 AB AC CD 答案与解析 证明 在 AB 上截取 AE AC 在 AED 与 ACD 中 12AECD 已 作 已 知 公 用 边 AED ACD SAS ED CD AED C 全等三角形对应边 角相等 又 C 2 B AED 2 B 由图可知 AED B EDB 2 B B EDB B EDB BE ED 即 BE CD AB AE BE AC CD 等量代换 总结升华 本题图形简单 结论复杂 看似无从下手 结合图形发现 AB AC 故用截长 补短法 在 AB 上截取 AE AC 这样 AB 就变成了 AE BE 而 AE AC 只需证 BE CD 即 可 从而把 AB AC CD 转化为证两线段相等的问题 举一反三 变式 如图 AD 是 的角平分线 H G 分别在 AC AB 上 且 HD BD ABC 1 求证 B 与 AHD 互补 2 若 B 2 DGA 180 请探究线段 AG 与线段 AH HD 之间满足的等量关系 并加 以证明 答案 证明 1 在 AB 上取一点 M 使得 AM AH 连接 DM CAD BAD AD AD AHD AMD HD MD AHD AMD HD DB DB MD DMB B AMD DMB 180 AHD B 180 即 B 与 AHD 互补 2 由 1 AHD AMD HD MD AHD B 180 B 2 DGA 180 AHD 2 DGA AMD 2 DGM AMD DGM GDM 2 DGM DGM GDM DGM GDM MD MG HD MG AG AM MG AG AH HD 3 利用截长 或补短 法作构造全等三角形 3 2015 新宾县模拟 如图 ABC 中 AB AC 点 P 是三角形右外一点 且 APB ABC 1 如图 1 若 BAC 60 点 P 恰巧在 ABC 的平分线上 PA 2 求 PB 的长 2 如图 2 若 BAC 60 探究 PA PB PC 的数量关系 并证明 3 如图 3 若 BAC 120 请直接写出 PA PB PC 的数量关系 M G H D C BA 思路点拨 1 AB AC BAC 60 证得 ABC 是等边三角形 APB ABC 得到 APB 60 又点 P 恰巧在 ABC 的平分线上 得到 ABP 30 得到直角三角形 利用直 角三角形的性质解出结果 2 在 BP 上截取 PD 使 PD PA 连结 AD 得到 ADP 是等边三角形 再通过三角形 全等证得结论 3 以 A 为圆心 以 AP 的长为半径画弧交 BP 于 D 连接 AD 过点 A 作 AF BP 交 BP 于 F 得到等腰三角形 然后通过三角形全等证得结论 答案与解析 解 1 AB AC BAC 60 ABC 是等边三角形 APB ABC APB 60 又 点 P 恰巧在 ABC 的平分线上 ABP 30 PAB 90 BP 2AP AP 2 BP 4 2 结论 PA PC PB 证明 如图 1 在 BP 上截取 PD 使 PD PA 连结 AD APB 60 ADP 是等边三角形 DAP 60 1 2 PA PD 在 ABD 与 ACP 中 ABD ACP PC BD PA PC PB 3 结论 PA PC PB 证明 如图 2 以 A 为圆心 以 AP 的长为半径画弧交 BP 于 D 连接 AD 过点 A 作 AF BP 交 BP 于 F AP AD BAC 120 ABC 30 APB 30 DAP 120 1 2 在 ABD 与 ACP 中 ABD ACP BD PC AF PD PF AP PD AP PA PC PB 总结升华 本题考查了全等三角形的判定与性质 等腰三角形的判定与性质 直角三角 形的性质 等边三角形的判定和性质 截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键 举一反三 变式 如图 AD 是 ABC 的角平分线 AB AC 求证 AB AC BD DC 答案 证明 在 AB 上截取 AE AC 连结 DE AD 是 ABC 的角平分线 BAD CAD 在 AED 与 ACD 中 ADCBE E D CB A AED ADC SAS DE DC 在 BED 中 BE BD DC 即 AB AE BD DC AB AC BD DC 4 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 4 如图所示 已知 E 为正方形 ABCD 的边 CD 的中点 点 F 在 BC 上 且 DAE FAE 求证 AF AD CF 思路点拨 四边形 ABCD 为正方形 则 D 90 而 DAE FAE 说明 AE 为 FAD 的平 分线 按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离 而 E 到 AD 的距离已有 只需作 E 到 AF 的距离 EM 即可 由角平分线性质可知 ME DE AE AE Rt AME 与 Rt ADE 全等有 AD AM 而题中要证 AF AD CF 根据图知 AF AM MF 故只需证 MF FC 即可 从而把 证 AF AD CF 转化为证两条线段相等的问题 答案与解析 证明 作 ME AF 于 M 连接 EF 四边形 ABCD 为正方形 C D EMA 90 又 DAE FAE AE 为 FAD 的平分线 ME DE 在 Rt AME 与 Rt ADE 中 AEDM 公 用 边 已 证 Rt AME Rt ADE HL AD AM 全等三角形对应边相等 又 E 为 CD 中点 DE EC ME EC 在 Rt EMF 与 Rt ECF 中 ECF 已 证 公 用 边 Rt EMF Rt ECF HL MF FC 全等三角形对应边相等 由图可知 AF AM MF AF AD FC 等量代换 总结升华 与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段 构造全等三角形 在 角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 5 如图所示 在 ABC 中 AC BC ACB 90 D 是 AC 上一点 且 AE 垂直 BD 的延 长线于 E 求证 BD 是 ABC 的平分线 12AB 答案与解析 证明 延长 AE 和 BC 交于点 F AC BC BE AE ADE BDC 对顶角相等 EAD ADE CBD BDC 即 EAD CBD 在 Rt ACF 和 Rt BCD 中 所以 Rt ACF Rt BCD ASA 则 AF BD 全等三角形对应边相等 AE BD AE AF 即 AE EF 在 Rt BEA 和 Rt BEF 中 则 Rt BEA Rt BEF SAS 所以 ABE FBE 全等三角形对应角相等 即 BD 是 ABC 的平分线 总结升华 如果由题目已知无法直接得到三角形全等 不妨试着添加辅助线构造出三角 形全等的条件 使问题得以解决 平时练习中多积累一些辅助线的添加方法 类型二 全等三角形动态型问题 高清课堂 379111 直角三角形全等的判定 巩固练习 5 6 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 经过顶点 C 过 A B 两点分别作 的l l 垂线 AE BF 垂足分别为 E F 1 如图 1 当直线 不与底边 AB 相交时 求证 EF AE BF l 2 将直线 绕点 C 顺时针旋转 使 与底边 AB 相交于点 D 请你探究直线 在如下l l 位置时 EF AE BF 之间的关系 AD BD AD BD AD BD 答案与解析 证明 1 AE BF AEC CFB 90 1 2 90 ll ACB 90 2 3 90 1 3 在 ACE 和 CBF 中 13AECFB ACE CBF AAS AE CF CE BF EF CE CF EF AE BF 2 EF AE BF 理由如下 AE BF ll AEC CFB 90 1 2 90 ACB 90 2 3 90 1 3 在 ACE 和 CBF 中13AECFB ACE CBF AAS AE CF CE BF EF CF CE EF AE BF EF AE BF EF BF AE 证明同 总结升华 解决动态几何问题时要善于抓住以下几点 1 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用 2 图形在变化过程中 哪些关系发生了变化 哪些关系没有发生变化 原来的线段 之间 角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键 3 几种变化图形之间 证明思路存在内在联系 都可模仿与借鉴原有的结论与过程 其结论有时变化 有时不发生变化 举一反三 变式 2015 临沂模拟 问题情境 如图 在正方形 ABCD 中 点 E 是线段 BG 上的动点 AE EF EF 交正方形外角 DCG 的平分线 CF 于点 F 探究展示 1 如图 1 若点 E 是 BC 的中点 证明 BAE EFC DCF 2 如图 2 若点 E 是 BC 的上的任意一点 B C 除外 BAE EFC DCF 是否仍然 成立 若成立 请予以证明 若不成立 请说明理由 拓展延伸 3 如图 3 若点 E 是 BC 延长线 C 除外 上的任意一点 求证 AE EF 答案 1 证明 取 AB 的中点 M 连结 EM 如图 1 M 是 AB 的中点 E 是 BC 的中点 在正方形 ABCD 中 AM EC CF 是 DCG 的平分线 BCF 135 AME ECF 135 MAE CEF 45 在 AME 与 ECF 中 AME ECF SAS BAE EFC FCG DCF 2 证明 取 AB 上的任意一点使得 AM EC 连结 EM 如图 2 AE EF AB BC BAE BEA 90 BEA CEF 90 MAE CEF AM EC 在正方形 ABCD 中 BM BE AME ECF 135 在 AME 与 ECF 中 AME ECF SAS BAE EFC FCG DCF 3 证明 取 AB 延长线上的一点 M 使得 AM CE 如图 3 AM CE AB BC AME 45 ECF AME 45 AD BE DAE BEA MA AD AE EF MAE CEF 在 AME 与 ECF 中 AME ECF SAS AE EF