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北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习（一）高三数学（理科）本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/参考公式：样本方差，其中为样本平均数第卷（选择题 共40分）http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.是虚数单位，若，则的值是（ ）http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/ A B C D 2. 设全集，则等于（ ） A B C D 3. 如图，已知是的一条弦，点为上一点， ，交于，若，则的长是（ ）A B C D http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/4. 的展开式中项的系数是（ ）A B http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/ C D5. 如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（ ）A BC Dhttp:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/6.某人向一个半径为的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率为（ ）http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/A B C D 7. 已知数列的通项公式，设其前项和为，则使 成立的最小自然数等于（ ）A B C D8. 定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若，满足不等式则当时，的取值范围是（ ）http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/A B C D第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡相应位置的横线上9. 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_ http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/10. 将，按从大到小的顺序排列应该是 11.在平行四边形中，若，则_，_ 12.圆的极坐标方程为，将其化成直角坐标方程为_，圆心的直角坐标为_ 13. 直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 14如果对任意一个三角形，只要它的三边长，都在函数的定义域内，就有，也是某个三角形的三边长，则称为“型函数”. 则下列函数：； ； ，其中是“型函数”的序号为 http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分13分）http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/设函数 （）求的最小正周期；http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/（）当时，求函数的最大值和最小值http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/16（本小题满分13分）在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下（）计算样本的平均成绩及方差；（）现从10个样本中随机抽出2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为，求随机变量的分布列和均值92888557444600http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/17（本小题满分14分）如图1所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，作，分别交，于点，作，分别交，于点，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/（）求证：平面；（）求四棱锥的体积；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/18（本小题满分13分）已知函数，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/（）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（）求函数的单调区间；（）当，且时，证明：http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/19（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；（）在（）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/20.(本小题满分14分)已知数列满足，.()求证：；()求证：；()求数列的通项公式.http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案 （理科）http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1C 2D 3B 4 A 5B 6B 7C 8Dhttp:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9 10 11， 12， http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/13 14 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分三、解答题（本大题共6小题，共80分）15. （本小题满分13分）解： http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/ http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/6分（），故的最小正周期为. 27分（）因为 ， http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/所以9分所以当，即时，有最大值，11分当，即时，有最小值13分16. （本小题满分13分）解: （）样本的平均成绩3分方差为 6分（）由题意,随机变量，.，.随机变量的分布列为 . 13分17. （本小题满分14分）（）证明：在正方形中，因为，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/所以三棱柱的底面三角形的边因为，所以，所以2分因为四边形为正方形，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/所以，而，所以平面 5分（）解：因为平面，所以为四棱锥的高因为四边形为直角梯形，且，所以梯形的面积为所以四棱锥的体积 9分（）解：由（）、（）可知，两两互相垂直以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以，设平面的一个法向量为则 即http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/令，则所以12分显然平面的一个法向量为http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/设平面与平面所成锐二面角为http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/则所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为14分18. （本小题满分13分）解：（）函数的定义域为，2分又曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即4分（）由于当时，对于，有在定义域上恒成立， 即在上是增函数当时，由，得http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/当时，单调递增；当时，单调递减8分（）当时， http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/令10分当时，在单调递减http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/又，所以在恒为负http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/所以当时，即故当，且时，成立13分19（本小题满分13分）解：（）由题意知， 所以http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/即http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/又因为，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/所以，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/故椭圆的方程为4分（）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由 得 6分设点，则http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/直线的方程为http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/令，得http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/将，代入，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/整理，得 http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/由得 ，代入整理，得所以直线与轴相交于定点9分（）当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，在椭圆上由 得 http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/易知所以， http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/则因为，所以所以当过点直线的斜率不存在时，其方程为解得，此时所以的取值范围是13分20. （本小题满分14分）() 证明：用数学归纳法证明(1)当时， .所以结论成立. http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/(2)假设时结论成立,即,则.所以.即时,结论成立.由(1)(2)可知对任意的正整数，都有.4分()证明：http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/因为，所以，即所以9分()解：，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/所以. http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/又，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/所以.11分又，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/令，则数列是首项为,公比为的等比数列http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/所以http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/由，得http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/所以14分http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/
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