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目 录第一章 随机事件极其概率1第二章 一维随机变量及其分布5第三章 二维随机变量及其分布12第四章 随机变量的数字特征20第五章 大数定律及中心极限定理25第六章 数理统计的基本定理29第七章 参数估计31第八章 假设检验39第九章 线性统计模型50第 一 章 随机事件极其概率1.1 解:（1）.（2） （3） ； ； .1.2解: ； ； ； ； .1.3解:样本点 1.4解:若事件A表示抽到的两张都是前10号考签 1.5解:1.6 解:1.7解:方法1：若设表示取出的3个产品中有次品,是取出的3个产品中恰有i个次品（i=1,2,3）, ，,方法2: 就是取出的3个产品全是合格品 1.8解:基本事件的总数为 ，每对恰好排在一起可分为两步，第一步确定各对之间的排序，共有种，然后每对新人内部均有2种排序，于是由乘法规则每对每对新人每对恰好排在一起的排法共有种，从而其概率为1.9解:1.10解:1.11解: ； 1.12解: 1.13解:、分别表示甲、乙、丙三厂生产；表示次品.则 1.14 解:设表示“考生选出正确答案”；表示“考生会解这道题”；则全概率公式: 1.15解:用分别表示“玻璃杯在第一、二、三次掉下时被摔碎”；表示“玻璃杯被摔碎”.则，由于互不相容，所以 1.16解:设事件B表示“出现次品”，表示从第i个工厂所进商品 1.17解:设分别表示事件“报名表是第个地区考生的”；表示“抽到的报名表是女生的”.则， 1.18解:设事件A是试验结果呈阳性反应，事件B是被检查者患有癌症. （1）=0.0871故试验结果呈阳性的被检者患癌的可能性不大,要进一步检查才能确诊。 （2）=0.9998这表明试验结果呈阴性反应的被检查者未患癌症的可能性极大.1.19 B表示一小时内至多有一台需要工人照看 0.9021.20 解: 1.21解:设:第次取得次品（）,则1.22 解:1.23解:设：三次射击中恰好有一次命中：三次射击中至少有一次命中，：第次命中，=1，2，3则， 1.24解:设是甲投中次，是乙投中次 第 二 章 一维随机变量及其分布2.1解:的取值为0,1,2,3,4,5。, 的分布列：0123452.2解:.2.3解: 的取值为1,2,3,4。,，的分布列：1234分布函数为：.2.4解:的分布列：12所以分布函数为.2.5解: .2.6解:的取值为1,2,3,4。,，的分布列：12342.7解:设随机变量表示射中次数，.2.8解:由题意知 ，可得.所以.2.9解:由题意知，.2.10解:由可得；.2.11解:；.2.12解:,则=3.29.2.13解: ；.2.14解:；，即区间为.2.15解:,其中的概率密度为,，当,=0,当,当, ,所以.2.16解:，=.2.17解: 的取值为2,5,10,17，的分布列：.2.18解:，当,=0,当,当, ,所以.2.19解:的取值为0,1,2，, ,的分布列：.2.20解:的取值为1,2,3,4,5。, , ,的分布列：.2.21解:;.2.22解:的取值为0,1。, ,的分布列：.2.23解: ; .2.24 解:;.2.25解: ;.2.26解:;.2.27解: 设挑选了n件产品,则至少有一次次品的概率为,即 ,.2.28解: 当,=0,当,当,当, ,所以.2.29解:,即 , 所以 .2.30解:;2.31解:当,=0,当,当, , 所以 ;.2.32解: ;=.2.33解:;.2.34解:,.2.35解: ,.2.3解:.2.37 ,.第 三 章 二维随机变量及其分布3.1解: ;.3.2解: 则联合概率分布表为:012010200 3.3解: 0120010200则联合概率分布表为: 3.4解:.3.5 解:;.3.6解: .3.7解:联合概率分布表为:012010200所以0120123.8解: 12301.3.9解: ;当时, ,当时, , 所以,当时, ,当时, , 所以.3.10解: ;当时, ,当时, ,所以,当时, ，当时, ,所以;.3.11解:当时, ,当时, ,所以;当时, ,当时, ,当时, , 所以.3.12当时, ,当时, , 所以,当时, ,当时, ,所以;, 所以不独立。3.13解:当时, ,当时, ,所以;当时, ,当时, ,所以,因为, 所以不独立。3.14解:.3.15解:，,当时，,当时，所以.3.16解:3.17解: 01013.18解:当时, ,当时, ,所以,当时, ,当时, 所以;因为, 所以独立。3.19解:01231003003.20解:.3.21解: .3.22解:，,;.3.23解: 3.24解:当时，,当时，,所以 .3.25解: 当时，,当时，,所以 .3.26解: 当时, ,当时, ,所以,当时, ,当时, ,所以,因为,所以独立。3.27. 解: 证明：由，可知取一切非负整数，且， 即.第 四 章 随机变量的数字特征4.1解: 4.2解:由题知解之得4.3解:引入随机变量：则01又且相互独立，故4.4解:4.5解: 4.6解:设球的直径为，则球的体积为由于在上均匀分布，故4.7解:设第个人摸到红球数为则个人总共摸到红球数为，且相互独立，由于所以从而4.8解:由题意知试开次数X的分布为故.4.9解: 利用X与Y相互独立知4.10解:由定义知直接计算得所以4.11解: 4.12解:设为第次掷出的点数，则点数之和为，并且相互独立，由此可知由于所以从而4.13解:由定义知4.14解:由定义知 同理可算所以 同理可算得由于所以从而4.15解:利用X与Y相互独立，4.16解:由于 所以类似地，所以4.17解:设则因此由于，所以4.18解:由的分布律易算得故，从而知X与Y是不相关的。但由于可得，故X与Y不是相互独立的。4.19解:由于和相互独立，且都服从正态分布，所以从而得4.20解: 的阶原点矩，作变量替换，则，得.第 五 章 大数定律及中心极限定理5.1解:设表示次重复独立试验中事件出现的次数，则，出现的频率为，则由题意得 ，.可见做32000次重复独立试验中可使事件发生的频率在0.790.81之间的概率至少为0.95.5.2解: 证明：随机变量的数字特征为，对于任意给定的正数，由切比雪夫不等式知，所以服从大数定律5.3解: 证明：任给 ，且，则当axb时，有 ；当时，有；当时，有任给，有 若，则 ，故若所以任给，有，5.4解: 记，则 ，记检查灯泡的总寿命，则，则通过检查的概率为： ，即 因此，要使检查通过的概率不小于0.997，应至少检查190只灯泡5.5解:记，则 记S=100次计算产生的误差，则S=，则 ，根据中心极限定理得： 5.6解:随机变量X服从二项分布B(1000+a，0.014)，由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理有 ，查表得，所以，可得5.7解:设第k位顾客的消费额为，商场日销售额为X，则因为在上服从均匀分布，所以日平均销售额和销售额方差分别为：5.8解:设分别表示在第i个小单元内，轰炸机和歼击机被打下的架数，其分布规律分别为：，数学期望和方差分别为：，由列维定理知(1) 事件“空战中，有不少于35%的轰炸机被打下”即，则(2) 记M为歼击机被打下来的最大架数，则得 因为为正整数，且 所以取第 六 章 数理统计的基本定理6.1解:（1）20.25；（2）1.1656.2解:（1），（2）0.2616.3解:6.4解:（1）3.325；（2）2.088；（3）27.488；（4）6.262.6.5解: （1）2.228；（2）1.813；（3）1.813；（4）-2.764.6.6解:（1）3.23；（2）；（3）； （4）2.06.6.7解:（1）（2）是，不是。因为中不含总体中的唯一未知参数，而 中含有未知参数 6.8解:（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从(2)分布，即；自由度为2.（2）由于，则.又，与相互独立，则即即，自由度为3.6.9解:，所以自由度为26.10解: ，第 七 章 参数估计7.1解: 由两点分布可知， 而 所以由，于是故红球的矩估计值为 个. 7.2解: 已知 因此可用样本一阶原点矩和二阶原点矩去估计. 7.3解: 因此 所以就是的矩估计量. 7.4解: 的分布密度样本的似然函数为由此式可见，要最大，只要最小，而由的表达式知，当时，为最小，此时最大.故的极大似然估计值为，而似然估计量为 7.5解: 设总体的分布的期望，每个样本的分布与总体分布相同，因此其均值，而 因此，样本均值是总体均值的无偏估计量. 7.6解:设总体期望为,方差为.样本与总体同分布.所以三者均是的无偏估计. 三者比较，的方差最小，故为最有效. 7.7解: （1）已知，写出似然函数这说明是随的增加而增加的.由于均大于等于，所以要使最大，只须最大，而此值即为的极大似然估计，即 （2）直接求由矩估计法，这里已知，故的矩估计为 7.8解: 设随机变量因为所以（因为样本与总体同分布），故为的无偏估计. 7.9解:所以是的无偏估计量.由于 而独立与总体同分布.由已知，所以 因为，所以不是无偏估计. 7.10解: 设由于故统计量的分布函数为而统计量的分布函数为从而 的密度函数分别为 故 因此 故均为无偏估计.因此 由于 所以 更有效. 7.11解:设一组样本值为似然函数为令 即为的极大似然估计值.将样本值以样本随机变量替代，则得的极大似然估计量为 7.12解: 故均是的无偏估计量.故 比更为有效. 7.13解: 当 时，故间应满足的条件.代入关系式，得求得因为 故当 时，最小.即此时估计量最有效. 7.14解: 的置信区间为而于是查分布表得故 于是温度真值的置信区间为 1244.2,1273.8. 7.15解:因为，所以方差巳知，求数学期望的置信区间。查标准正态分布表，得有 置信上限为 置信下限为因此，的置信区间为 7.16解: 因为未知，故只用分布.此时，查 分布表，得有 置信上限为：， 置信下限为：.因此，的置信区间为 7.17解: 由于均未知，故选随机变量 从而有 由查分布表得算得得的置信区间为 7.18解: 已知方差且为总体，应选随机变量已知故有即 查表得置信区间为置信区间长度问题要求由此得 所以 故至少应抽查名男生的身高. 7.19解: 由已知条件，选随机变量, 而置信区间为 查标准正态分布表，得算得置信区间为 7.20解: 查分布表，有的置信限为 置信下限：， 置信上限：，于是，的置信度为0.95的置信区间为. 易得的置信度为0.95的置信区间为 7.21解: 选因为取双侧置信区间，使 取解不等式得的置信区间为查分布表得得置信区间为 7.22解: 这是一个在两个正态总体方差未知且相等的情况下，求两总体均值差的置信区间问题。本题中，计算，得 查分布表，得，得置信限为 于是，的置信度为0.95的置信区间为 7.23解:，置信限为 置信上限 ， 置信下限 ，故的置信度为0.95的置信区间为. 7.24解: 将和代入，得材料强度均值的0.99的置信下限为 这说明这批材料强度有99%可能超过. 第 八 章 假设检验8.1解: 待检验假设.选检验统计量，在成立条件下，有给定，于是否定域为查标准正态分布表，得计算值 因为，故可以认为这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下. 8.2解:本题是已知方差，检验均值是否等于8kg的问题.因为有50条样本，比较大，因此总体可近似为正态分布题中待检验假设为在成立条件下，选检验统计量 ，得此问题的否定域为查标准正态分布表，得由样本数据，得 算得值为 由于，样本落入否定域，故应否定，即认为平均切断力不等于8kg.， 8.3解:本题是考察某项指标的差异显著性问题。 假设 由显著性水平，查分布表，得拒绝域为 已知，由样本值计算得代入得统计量观察值为 因 故拒绝，从而认为这批抗菌素的某项指标与23.0有显著的差异，即该日生产不正常。8.4解: 在成立条件下， 已知也就是且相互独立，故 故应填 8.5解:由题意知要检验的假设为因为未知，用检验法，故统计量为. 在成立的条件下，这里，查分布表，有由样本值计算得由此得 因，故接受即认为这批维尼龙纤度的方差没有显著性的变化.8.6解: 本题为方差巳知，检验元件平均使用寿命是否低于，属于单侧假设检验。根据题设 假设 检验统计量为，查表得临界值将代入求得统计量的观察值为 ，故拒绝，即认为这批元件不合格.8.7解: 本题为方差未知，判断在新工艺下生产的合金弦抗拉强度是否提高，属于单侧检验 问题。 假设 检验统计量为，对显著性水平，查分布表得临界值 由样本观察值得故拒绝，即认为改进工艺后合金弦的抗拉强度有明显提高.8.8解: 按题意检验假设 选择检验统计量, 对于给定的显著性水平，查表得临界值由题中提供的样本值计算统计量的值 由于，故拒绝，即认为这批导线的电阻标准差显著地偏大.8.9解: 在成立下，选检验统计量 对给定的检验水平，此问题的拒绝域为 查分布表，得计算值，值落入拒绝域，故拒绝域，而接受，因此可以认为新法比老办法效果好.8.10解: 待检验假设已知样本容量选检验统计量，在成立条件下，有给定，故否定域为计算值，查分布表得由于，故否定，认为换材料后电阻平均值有明显提高. 8.11解: 待检验假设若成立条件下，选统计量 对，单侧检验的否定域应选左侧，即算得值，查分布表可得由于在否定域内，故否定，即认为溶液水分含量低于，不合格. 8.12解:设和分别表示甲、乙两厂生产的灯泡寿命，由题意，两厂灯泡寿命是否有显著性差异可表示为检验假设 由于方差巳知，故用检验法。由,由此得检验统计量的值为 对，查标准正态分布表，得临界值由于故拒绝，即认为两厂生产的灯泡的寿命有显著差异.8.13解:设和分别表示处理前后的含脂率，则依题意，需检验假设 由样本值分别计算出处理前后样本均值和样本方差等数据如下： ， , 由于统计量的绝对值所以拒绝即认为处理前后的含脂率有显著性的不同.8.14解: 检验假设在成立条件下，选检验统计量为其中 而，使成立，问题的否定域为查分布表得算得值由于，未落入否定域，故接受认为材料1比材料2的磨损深度并未超过2个单位. 8.15解:解:设甲机器加工的零件尺寸为，乙机器加工的零件尺寸为，并设检验假设 选检验统计量，在成立条件下，本题中，算得查分布表，得而故相容，即没有发现两台机器加工零件的尺寸的精度有显著性差别. 8.16解: 根据题设，需检验假设由给定的样本值得,统计量的值为 , 查分布表得 ,因故接受，即在水平下认为两个总体的方差相等.8.17解:判断两批电子器材的电阻值是否有显著性差异，就需要检验 但前提是必须成立。而题中并不知道两总体的方差是否相等。因此，首先需检验 选取为检验统计量，由给定的样本值得 统计量的值为 , 由，得临界值 ,由于故接受，即认为两总体方差相等。下面检验假设,为此，取检验统计量，其中，由给定的样本值计算各统计量的值为 ， 对给定的，查分布表得临界值因所以接受，即认为两批电子器材的电阻值无显著性差异.8.18解: (1) 选检验，在成立条件下，此检验法的否定域为查分布表，得 算值，不在否定域.故接受，认为的方差无明显差异.（2）利用（1）的结果，但未知，故选随机变量 记其的置信区间为由观测值计算 查分布表，得的的置信区间为 8.19解:本题中的数据是成对的，即对同一试块测出一对数据，两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器的性能的差异所引起的. 各对数据的差记为假设来自正态总体，这里的均未知，如果两台仪器的性能一样，则各对数据的差异属随机误差， 而随机误差可以认为服从正态分布，其均值为零.因此本题归结为检验假设 数据的样本均值为，样本方差为由于均未知，故用检验法，在成立条件下 此检验法的否定域为 现在,由观察值得故的值未落入否定域内，故接受，认为两台仪器的测量结果无显著性差异.第 九 章 线性统计模型9.1解:（1）求对的回归方程由已知数据可算出：进而可以计算出，于是，回归方程为：(2)相关性检验 对于给定的显著性水平，查表，由于，所以认为铝的抗张强度与硬度之间有显著的线性相关关系，回归方程显著有效.(3)求当时，的预报区间查表，.当时，.得当时，的的预报区间为9.2解: （1）求裤长对身高的回归方程， ， ，进而可以计算出，于是，回归方程为： (2)相关性检验对于给定的显著性水平，查表，由于，所以认为裤长和身高有显著的线性相关关系，回归方程高度显著的有效.9.3解: 9.3（1）简化数据取， 令得数据如表所示，1153-835714-154013-12014152-35-4-2089850014-12031573-431-1-70934-20801589419410-11141010636516-10533-9529323411-197-211017-44-12996-121-182012-70-3861819-286(2)计算， （3）经验公式正规方程为得于是得回归方程(4)相关性检验在显著性水平下，分位数而，于是所以认为回归方程是显著的。（在显著性水平下）。9.4解: 本题为单因素试验的方差分析，考虑的因素是生产的工厂，有3个水平，设电池的寿命的均值分别为.原假设.(1)计算和.计算结果为：(2)计算平方和,.于是，(3)确定自由度.的自由度为，的自由度为，的自由度为(4)计算值.(5)查表.对于给定的，.结论：由于，落入否定域，所以认为不同工厂生产的电池的平均寿命有显著差异.方差分析表如表所示.方差来源平方和自由度值分位数显著性寿命615.6217.07*误差216.412合计832149.5解: 本题为单因素试验的方差分析，考虑的因素是接种的菌型，有3个水平，设平均存活日数分别为.原假设.(1)计算和.计算结果：(2)计算平方和,；.于是，(3) 确定自由度的自由度为，的自由度为，的自由度为(4)计算值.(5)查表对于的，.结论：由于，所以菌型对平均存活日数有显著影响.方差分析表如表所示.方差来源平方和自由度值分位数显著性存活日期70.426.9*误差137.827合计208.2299.6解: 本题为单因素试验的方差分析，考虑的因素是饲料，水平数，在各水平下的试验数，总试验数.设喂这四种饲料使猪仔增重的均值分别为.原假设.(1)计算和.计算结果：(2)计算平方和,，.于是，(3)确定自由度， (4)计算值.(5)查表对于的，.结论：由于，落入否定域，所以否定，认为饲料对猪仔的增重有高度显著的影响.方差分析表如表所示.方差来源平方和自由度值分位数显著性饲料4095.6=3*误差1085.2=16合计5180.819
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