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开放性问题一.解答题1.（2016河北石家庄一模）如图，抛物线y=x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；（2）由s=MN=NPMP，即可得s=t2+t+1（t+1），化简即可求得答案；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程： t2+t=，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可【解答】解：（1）当x=0时，y=1，A（0，1），当x=3时，y=32+3+1=2.5，B（3，2.5），设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得：，直线AB的解析式为y=x+1；（2）根据题意得：s=MN=NPMP=t2+t+1（t+1）=t2+t（0t3）；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有t2+t=，解得t1=1，t2=2，当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NPMP=，又在RtMPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NPMP=，又在RtMPC中，MC=，故MNMC，此时四边形BCMN不是菱形【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用2.（2016河北石家庄一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90EDF=30，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）m第2题【考点】相似形综合题【分析】（操作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，PBE=C根据等角的余角相等可以证明BEP=CEQ即可得到全等三角形，从而证明结论；（操作2）作EMAB，ENBC于M、N，根据两个角对应相等证明MEPNWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（总结操作）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析【解答】（操作1）EP=EQ，证明：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，PBE=C=45，BEC=FED=90BEP=CEQ，在BEP和CEQ中，BEPCEQ（ASA），EP=EQ；如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，理由是：作EMAB，ENBC于M，N，EMP=ENC，MEP+PEN=PEN+NEF=90，MEP=NEF，MEPNEQ，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；如图3，过E点作EMAB于点M，作ENBC于点N，在四边形PEQB中，B=PEQ=90，EPB+EQB=180，又EPB+MPE=180，MPE=EQN，RtMEPRtNEQ，=，RtAMERtENC，=m=，=1：m=，EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP，0m2+，（因为当m2+时，EF和BC变成不相交）【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似3.（2016河大附中一模）(本题满分9分) 如图(1)，线段AB=4，以线段AB为直径画O，C为O上的动点，连接OC，过点A作O的切线与BC的延长线交于点D，E为AD的中点，连接CE(1)求证：CE是O的切线；第2题(2)当CE= 时，四边形AOCE为正方形？ 当CE= 时，CDE为等边三角形时？答案：4.（2016河大附中一模）（本题满分10分）在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC. 问题发现： (1)如果AB=AC，BAC=90，当点D在线段BC上时（不与点B重合），如图1，请你判断线段CE，BD之间的位置关系和数量关系（直接写出结论）； 拓展探究： (2)如果AB=AC，BAC= 90，当点D在线段BC的延长线上时，如图2，请判断中的结论是否仍然成立，如成立，请证明你的结论。 问题解决： (3)如图3，ABAC，BAC90。，若点D在线段BC上运动，试探究：当锐角ACB等于度时，线段CE和BD之间的位置关系仍然成立（点C、E重合除外）。此时作DFAD交线段CE于点F，AC=3，线段CF长的最大值是 答案：第4题答案：5. （2016黑龙江大庆一模）（本题9分）在平面直角坐标系中，有三点A（-1，0），B（0，错误！未找到引用源。），C（3，0）（1）求过点A、B、C的抛物线的解析式；（2）如图1，在线段AC上有一动点P，过P点作直线PDAB交BC于点D，求出PBD面积的最大值；（3）如图2，在（2）的情况下，在抛物线上是否存在一点Q，使QBD的面积与PBD面积相等，如存在，直接写出Q点坐标，如不存在，请说明理由 第5题图1 图2答案：解:（1）所求的函数解析式过A（-1，0），B（0，），C（3，0），设所求的函数解析式为：，当，时，解得：，所求的函数解析式为: 或2分（2）A（-1，0），B（0，），C（3，0），OA=1，OB=，OC=3，OBAC，在RtAOB和RtBOC中，tanBAO= ，tanBCO=，BAO=60，BCO=30则ABC=90，ABBC，BC=2OB=；又ABBC，PD/AB，PDAC，P在线段AC上，设P（m，0），PC=3-mBCO=30，PDAC，PD=PC=；DC=，BD=BC-DC=，=，PBD面积的最大值是；（3）（，），（，），（1，），（2，） 图1 图26. （2016黑龙江齐齐哈尔一模）（本题8分）如图，过点A（-1，0）、B（3，0）的抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E.（1） 求抛物线解析式；（2） 求抛物线顶点D的坐标；（3） 若抛物线的对称轴上存在点P使，求此时DP的长.DE答案 ：解：（1）y=-x2+2x+3； （2）D（1，4）； （3）1或7. 7.（2016黑龙江齐齐哈尔一模）（本题12分）如图，矩形ABCD的顶点A在轴的正半轴上，顶点D在轴的正半轴上，点B、点C在第一象限，sinOAD=，线段AD、AB的长分别是方程的两根（ADAB）（1）求点B的坐标；（2）求直线AB的解析式； （3）在直线AB上是否存在点M，使以点C、点B、点M为顶点的三角形与OAD相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 答案：（1）过点B作BEx轴于点E. 解方程得.ADABAD=8，AB=3. OAD=,OAD=60.BAE=30OA=ADcos60=4AE=ABcos30=3=，BE=ABsin30= B点的坐标为（）（2）设直线AB的解析式为y=kx+b(k0). 则，解得直线AB的解析式为y=x-. 错误！未找到引用源。（3）存在，、 8. （2016湖北襄阳一模） (本题11分）如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长 线上一点，连接AP，作PFAP，使PFPA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG（1）求证：GCFFCE；（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若BP2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由 第8题答案：（1）证明：过点F作FHBE于点H，HKM 四边形ABCD是正方形， ABCPHFDCB90,ABBC， BAPAPB90 APPF, APBFPH90 FPHBAP 又APPF BAPHPF PHAB，BPFH PHBC BPPCPCCH CHBPFH 而FHC90. FCHCFH45 DCF904545 GCFFCE （2）PGPBDG 证明：延长PB至K，使BK=DG, 四边形ABCD是正方形 AB=AD, ABKADG=90 ABKADG AK=AG, KABGAD, 而APF=90 ,AP=PF PAFPFA45 BAPKABKAP45 PAF KAPGAP KP=PG, KBBP=DGBPPG 即，PGPBDG； （3）存在. 如图，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形， 则MDPF，且MDFP， 又PF=AP， MD=AP 四边形ABCD是正方形， AB=AD，ABP=DAM ABPDAM AMBP=2， BMABAM=52=3. 当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形 9.（2016湖北襄阳一模）（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；第9题答案：解：（1）由抛物线过点A（3，0），B（1，0），则 解得 二次函数的关系解析式 （2）连接PO，作PMx轴于M，PNy轴于N4分设点P坐标为（m，n），则 PM =，AO=3（5分） 当时，OC=2 8分 0，当时，函数有最大值 此时 存在点，使ACP的面积最大 （3）存在点Q，坐标为：，分BQEAOC，EBQAOC，QEBAOC三种情况讨论可得出10. (2016上海闵行区二模)如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称矩形【考点】多边形【专题】新定义；开放型【分析】我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等，任选一个即可【解答】解：矩形、正方形的两条对角线相等故答案为：矩形【点评】本题考查了多边形，知道我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等是解题的关键
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