2018年高考理科数学(全国新课标II卷)

1 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 作答时 将答案写在答题卡上 写在本试卷及草稿纸上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 2i A B C D 43i543i5 34i5 34i5 2 已知集合 则 中元素的个数为 2xyxy Z A A 9 B 8 C 5 D 4 3 函数 的图像大致为 2exf 4 已知向量 满足 则ab 1 ab 2 ab A 4 B 3 C 2 D 0 5 双曲线 的离心率为 则其渐近线方程为 2 0 xyab 3 A B C D yx yx 2yx 32yx 6 在 中 则BC 5cos21C5AB A B C 43029 D 5 7 为计算 设计了右侧的程序框图 1123490S 开 始0 0N T S NT S输 出 1i 100i 1NNi 11TTi 结 束 是 否 2 则在空白框中应填入 A 1i B 2 C 3i D 4 8 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是 每个大于 2 的 偶数可以表示为两个素数的和 如 在不超过 30 的素数中 随机选取两个不同的数 其3072 和等于 30 的概率是 A B C D 12141518 9 在长方体 中 则异面直线 与 所成角的余弦值为1CDA 13A 1AB A B C D 155652 10 若 在 是减函数 则 的最大值是 cosinfxx aa A B C D 4 23 4 11 已知 是定义域为 的奇函数 满足 若 则 fx 1 fxf 1 2f 12350ff A B 0 C 2 D 5050 12 已知 是椭圆 的左 右焦点 是 的左顶点 点 在过 且斜率1F2 21 0 xyCab ACPA 为 的直线上 为等腰三角形 则 的离心率为 3612PF 120FP A B C D 2 314 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 曲线 在点 处的切线方程为 2ln 1 yx 0 14 若 满足约束条件 则 的最大值为 xy 2350yx zxy 15 已知 则 sinco1 sin sin 3 16 已知圆锥的顶点为 母线 所成角的余弦值为 与圆锥底面所成角为 45 若SASB 78SA 的面积为 则该圆锥的侧面积为 SAB 51 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题 考生都必须作答 第 22 23 为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 记 为等差数列 的前 项和 已知 nS na17a 315S 1 求 的通项公式 2 求 并求 的最小值 nnS 18 12 分 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 单位 亿元 的折线图 y 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额 建立了 与时间变量 的两个线性回归模型 根据yt 2000 年至 2016 年的数据 时间变量 的值依次为 建立模型 根据t127 30 415yt 2010 年至 2016 年的数据 时间变量 的值依次为 建立模型 t 97 t 1 分别利用这两个模型 求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值 2 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠 并说明理由 19 12 分 设抛物线 的焦点为 过 且斜率为 的直线 与 交于 两点 24Cyx F 0 k lCAB 8 1 求 的方程 l 2 求过点 且与 的准线相切的圆的方程 AB 4 20 12 分 如图 在三棱锥 中 为 的中点 PABC 2 4PABC OAC 1 证明 平面 O 2 若点 在棱 上 且二面角 为 求 与平面 所成角的正弦值 MM 30 PMP A O CB M 21 12 分 已知函数 2 exfa 1 若 证明 当 时 0 1fx 2 若 在 只有一个零点 求 fx a 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系 中 曲线 的参数方程为 为参数 直线 的参数方程为xOyC 2cos4inx y l 为参数 1cos2inxt y t 1 求 和 的直角坐标方程 Cl 2 若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 求 的斜率 l 1 2 l 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数 2 fxax 1 当 时 求不等式 的解集 a 0f 2 若 求 的取值范围 1f 5 参考答案 一 选择题 1 D 2 A 3 B 4 B 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 A 11 C 12 D 二 填空题 13 14 9 15 16 2yx 12 402 三 解答题 17 12 分 解 1 设 的公差为 d 由题意得 由 得 d 2 na135ad 17a 所以 的通项公式为 29n 2 由 1 得 28 4 6S 所以当 n 4 时 取得最小值 最小值为 16 n 18 12 分 解 1 利用模型 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 亿元 30 415926 1y 利用模型 该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 亿元 7 2 利用模型 得到的预测值更可靠 理由如下 从折线图可以看出 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 上下 这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型 不能很好地描述环境30 415yt 基础设施投资额的变化趋势 2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近 这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线 性增长趋势 利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 可以较好地描述 2010 年以 917 5yt 后的环境基础设施投资额的变化趋势 因此利用模型 得到的预测值更可靠 KS5U 从计算结果看 相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元 由模型 得到的预测值 226 1 亿元的增幅明显偏低 而利用模型 得到的预测值的增幅比较合理 说明利用模型 得到的预测值更 6 可靠 以上给出了 2 种理由 考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19 12 分 解 1 由题意得 l 的方程为 1 0 F 1 0ykx 设 12 AyxB 由 得 2 4k 22 4 0kx 故 2160k 12kx 所以 12 24 kABFx 由题设知 解得 舍去 248k k 1 因此 l 的方程为 1yx 2 由 1 得 AB 的中点坐标为 所以 AB 的垂直平分线方程为 即 3 2 2 3 yx 5yx 设所求圆的圆心坐标为 则0 xy 解得 或 0220 1 1 6 yx 03 2x 01 6 y 因此所求圆的方程为 或 2 3 xy 22 14x 20 12 分 解 1 因为 为 的中点 所以 且 4APC OACOPAC 23 连结 因为 所以 为等腰直角三角形 且 OB2B B 12 由 知 由 知 平面 2P PO OPAC AC 2 如图 以 为坐标原点 的方向为 轴正方向 建立空间直角坐标系 BurxOxyz 7 由已知得 取平面 的 0 2 0 0 2 3 0 23 OBACPA urPAC 法向量 设 则 urMaa 4Ma r 设平面 的法向量为 由 得 PA xyz n0 urn 0yzxa 可取 34 a n 所以 由已知得 223 4 cos aOB ur 3 cos 2OBurn 所以 解得 舍去 223 4 a 4a 所以 又 所以 8 3 n 0 23 PC ur 3cos 4PCurn 所以 与平面 所成角的正弦值为 PCAM4 21 12 分 解析 1 当 时 等价于 a 1fx 2 1 e0 x 设函数 则 2 egx 2 1 exg 当 时 所以 在 单调递减 0 x0 而 故当 时 即 0 x 1fx 2 设函数 2 1exha 在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点 fx hx0 8 i 当 时 没有零点 0a hx ii 当 时 当 时 当 时 2e x a 0 2 0h x 2 h x 所以 在 单调递减 在 单调递增 故 是 在 的最小值 0 2 2 2 4 1eah hx 0 若 即 在 没有零点 h 2e4a hx0 若 即 在 只有一个零点 2 0 2 若 即 由于 所以 在 有一个零点 h 2e4a 0 1h hx0 2 由 1 知 当 时 所以 0 x2ex 33342461610e aaa 故 在 有一个零点 因此 在 有两个零点 h2 4 a h0 综上 在 只有一个零点时 fx0 2e4a 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 解析 1 曲线 的直角坐标方程为 C 2146xy 当 时 的直角坐标方程为 cos0 l tantan 当 时 的直角坐标方程为 1x 2 将 的参数方程代入 的直角坐标方程 整理得关于 的方程lCt 2 13cos 4 cosin 80tt 因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内 所以 有两个解 设为 则 l 1 2C1t2120t 又由 得 故 于是直线 的斜率 122 csi 3ot cosin0 ltank 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 9 解析 1 当 时 a 24 1 6 xf 可得 的解集为 0fx 23 x 2 等价于 4 而 且当 时等号成立 故 等价于 xa 2x 1fx 2 4a 由 可得 或 所以 的取值范围是 4 6 a 6