2018年数列复习题

1 数列 等差数列 等比数列 定义 数列 na的后一项与前一项的 差 1 为常数 d 数列 na的后一项与前一项的比1 n 为常数 q q 0 专有名词 d为公差 q 为公比 通项公式 1 nad 1na 前 n 项和 11 2nnS 11nnnSqaq 一 等差数列的性质 1 公式变形 2 如果 A a b2 那么 A 叫做 a 和 b 的等差中项 3 若 an 为等差数列 且有 k l m n 则 ak l am n 4 若 n bn 为等差数列则 pan qbn 是等差数列 其中 p q 均为常数 5 若 an 为等差数列 则 ak k m k 2m k m N 组成公差为 md 的等差数列 6 若 Sm 2 S3m分别为 n 的前 n 项 前 2m 项 前 3m 项的和 则 Sm 2m Sm S3m 2 成等差数列 7 若 an 设等差数列 则 Sn 是等差数列 其首项与 an 首项相同 公差是 an 公差 的 12 8 非零等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为 2n 则 S 偶 S 奇 nd 若项数为 2n 1 则 S 偶 n 1 an S 奇 nan 1na 奇偶1 nS 奇偶 判断方法 定义法 a n 1 an d n N 中项法 2an 1 an an 2 an 为等差数列 通项公式法 a n an b a b 为常数 前 n 项和公式法 S n An2 Bn A B 为常数 2 二 等比数列的性质 1 等比数列 满足 或 时 是递增数列 an 0 1 a 0 1 a 0an 满足 或 时 是递减数列 1 a 0 1 a 0an 当 q 1 时 为常数数列 an 当 q 0 时 为摆动数列 且所有奇数项与 同号 所有偶数项与 异号 n a1 a1 2 正整数 m n p q 若 m n p q 则在等比数列 中 的关系为 nam n ap qam n ap q 3 若 为等比数列 项数相同 则 0 仍是等anbn an1an2nan bann 比数列 4 如果 a G b 成等比数列 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 且 G ab 不是任何两 数都有等比中项 只有同号两数才存在等比中项 且有两个等比中项 判断方法 定义法 三 数列求和的常用方法 1 公式法 适用于等差 等比数列或可转化为等差 等比数列的数列 2 裂项相消法 适用于 1nac其中 na 是各项不为 0 的等差数列 c 为常数 部分 无理数列 含阶乘的数列等 3 错位相减法 适用于 nb其中 n 是等差数列 nb是各项不为 0 的等比数列 4 倒序相加法 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 5 分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成 则求 和时可用分组转化法分别求和再相加减 即把复杂的通项公式求和的任务转化为简单的等 差和等比的求和 3 四 求数列通项公式的常用方法 求数列的通项公式是数列考题中的常见形式 是利用数列知识考查数字运用能力的常 见题型 在各类选拔性考题中经常出现 为了帮助同学们掌握这类知识 下面归纳几种常 用的方法 供参考 一 运用等差数列和等比数列知识 若题设中已知数列的类型 我们可用其性质及有关公式来求解 例 1 若等差数列 a n 满足 bn 21 na 且 b1 b2 b3 8 b1 b2 b3 8 求通顶公式 an 二 运用 Sn与 an的关系 对任意的数列 的前 项和 nS与通项 na的关系 2 11nsan 例 2 已知数列 a n 的前 n 项和 Sn 10n 1 求通项公式 an 例 3 正项数列 a n 的前 n 项和为 Sn 若 2 n an 1 n N 求通项公式 an 三 累加法和累乘法 若已知数列的递推公式为 an 1 an f n 可采用累加法 数列的递推公式 为 an 1 an f n 则采用累乘法 4 例 4 在数列 a n 中 a1 1 当 n 2 时 有 an an 1 2n 求其通项 an 例 5 在数列 a n 中 a1 1 当 n 2 时 有 n 1 a n nan 1 求其通项 an 四 构造法 通过构造转化为等差数列或等比数列 之后再应用各自的通项公式求解 体现化归思 想在数列中的具体应用 例 6 数列 nnnn aa则中 12 1 例 7 数列 中 则 n23 a 例 8 已知数列 中 则 n 3 5121 n n 例 9 设数列 的前项和为 成立 求证 是等比数列 anSaS 若 12 例 10 数列 满足 则n 11123 3 nn na 例 11 数列 中 若 则 na21nna1 4 变式题型 数列 中 求n nn3 11 na 五 猜证法 根据给出的公式 先求出数列的前 n 项 从中观察出规律 猜出通项公式 再用数学归纳法证明 5 例 12 已知数列 a n 满足 a1 1 S n na 2 求通项 an 复习题 1 在等差数列 na中 23a5 14 则公差 d等于 A B 0 C D 2 在等差数列 na中 35710324 aa 则该数列前 13项的和是 A 13 B 26 C D 56 3 已知 Sn是等差数列 a n 的前 n 项和 若 319a 则 3S A 3 B 5 C D 4 已知的等差数列 na的前 项和为 nS 且满足 23 则数列 na的公差是 A 1 B 2 C D 4 5 已知数列 na中 3 15a 若 na是等差数列 则 1a等于 A 0 B 6 C 3 D 2 6 已知等差数列 na的前 项和为 nS 且满足 19a 53S 则使 nS取最大值时的 n的 值为 A 8 B 10 C 9 或 10 D 8 或 9 7 已知等比数列 na的公比为正数 且 253a 则 q A 21 B 2 C D 2 6 8 设 nS为等比数列 na的前 项和 已知 342Sa 32Sa 则公比 q A 3 B 4 C 5 D 6 9 已知 na是等比数列 21 4a 则 231naa A 213 B 16n C 6n D 24n 10 已知 na为等比数列 若 231a 且 4a与 72的等差中项为 5 则 7a A 1 B 1 C D 14 11 已知数列 na满足 12430 3na 则 na的前 10 项和等于 A 1063 B 9 C 10 D 103 12 在等差数列 中 公差 那么下列各式中与 相等的是 na0d 1a20Sm m A B C D 35 210 20d 912a 13 若一个等差数列的前 3 项和为 34 最后 3 项的和为 146 且所有项的和为 390 则这 个数列有 A 13 项 B 12 项 C 11 项 D 10 项 14 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 则 为 S 3 S 6 13 S 6 S 12 A B C D 310 13 18 19 15 在等差数列 n中 452 那么 27a 16 在等差数列 a中 已知 315 nnaS 则 1 17 在等比数列 n中 已知 6 38 则公比 q 18 数列 的前 项和为 nS 已知数列 n是首项和公比都是 3的等比数列 则 na 的通项公式 na 19 已知 是等差数列 公差 d不为零 若 2a 3 7成等比数列 且 12a 则 n 7 20 等差数列 共有 项 其中奇数项之和为 偶数项之和为 则其中间 na12 319290 项为 21 若两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 且满足 则 nbnnST3 7 nS 8ab 22 已知 nS是等差数列 na的前 n 项和 且 675S 给出下列五个命题 0d 1 120S 数列 n中的最大项为 1S 67a 其中正确的命题是 23 已知等差数列 na的前 项和为 n 且 13 a 243 1 求数列 的通项公式 2 设 5 6 1 nab 求数列 nb中的最小的项 24 设 nS为等差数列 naN 的前 n项和 且 13 6aS 1 求公差 d的值 2 3n 求所有满足条件的 的值 25 已知数列 a n 的首项 a1 3 通项 an与前 n 项和 Sn之间满足 8 2an Sn Sn 1 n 2 1 求证 数列 是等差数列 并求公差 2 求数列 a n 的通项公式 26 数列 na满足 121 24 nna N 1 求 3的值 2 求数列 n前 项和 nT 27 在数列 an 中 已知 点 在函数 图像上 21 1 na xf2 1 求证 数列 是等比数列 n lg 2 设 求数列 的前 项和2 nnab nbns 9 28 已知在等比数列 na中 1 且 2a是 1和 3 的等差中项 求数列 的通项公式 若数列 nb满足 2 Nnn 求 nb的前 项和 nS 29 数列 x n 满足 x1 1 x 2 且 n 2 23 1xn 1 1xn 1 2xn 求数列 x n 的通项公式 令 求数列 b n 的前 n 项和 的值 b nS 30 正项数列 满足 数列 为等差数列 na1 3 2 nnnaa 1 nb 321b 31b 1 求证 是等比数列 并求 的通项公式 n nb 2 令 求数列 的前 n 项和 ca cT 31 设等比数列 na 的前 n 项和为 nS 813 a 且 62 S 3 4S成等差数列 数 10 列 nb 满足 n8 1 求数列 a 的通项公式 2 求数列 nb 的前 n 项和 Tn 32 已知数列 的前 n 和 数列 满足 数 bnS213 na 2 34 nbn N 列 满足 ncna 1 求数列 和数列 的通项公式 2 求数列 前 n 和 n cT 3 若 对一切正整数 n 恒成立 求实数 的取值范围 142 mcn m 33 已知等差数列 na 中 389 2a 1 求数列 的通项公式及前 项和 nS 的表达式 2 记数列 1 na 的前 项和为 nT 求 10 的值 11 34 为数列 的前 n 项和 已知 nS a0na 234nnaS 1 求 的通项公式 2 设 求数列 的前 n 项和 n 1nb bT 35 已知数列 满足 na13 12na n N 证明数列 是等比数列 并求出数列 的通项公式 n na 设 数列 的前 n 项和为 若对于任意 都满2log nnba1 nb T n N 足 成立 求实数 m 的取值范围 21nTm 36 设数列 na的前 项和为 nS 且满足 21 a 21 nnS 1 3 1 求 2 2 数列 n的通项公式 3 设 nSab1 求证 2121 nbb 12