《基础拓扑学试卷》.doc

基础拓扑学试卷试卷2一、 填空题（每小题2分，共20分）1. 设为离散空间的子集, 那么_.2. 设为度量空间的子集, 若, 则准确表示与的关系的式子是_.3. 拓扑空间的每一个有限集是闭集当且仅当是_空间.4. 设为拓扑空间,为的子集, , 如果_, 则称是的凝聚点.5. 点集拓扑学的中心任务是研究_.6. 对于拓扑空间的一个子空间, 与满足: .7. 设为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个有一个的邻域基具有如下特点:_.8. 设为拓扑空间的积空间, , 是紧拓扑空间, 则每一个为_空间.9. 任何一族连通空间的积空间都是_空间.10. 一个拓扑空间的可分性定义为_.二、单项选择题 (每小题2分, 共20分)11. 设, 则下面不正确的命题是（ ）A. B. C. D. 12. 设为拓扑空间, , 则下面不正确的命题是( )A. B. C. D. 13. 设为拓扑空间, 是中的收敛序列, 则下面正确的命题是( )A. 对于任何拓扑空间, 的极限唯一.B. 若是Hausdorff空间, 则的极限唯一.C. 若是第一可数的, 则的极限唯一.D. 若是正则空间, 则的极限唯一.14. 设集合, 那么下面不是上的拓扑的集族是( )A. B. C. D. 15. 设为拓扑空间, 下面不正确的命题是( )A. 若是第二可数的, 则是第一可数的.B. 若是第二可数的, 则是可分的.C. 若是可分的度量空间, 则是Lindelf的.D. 若是Lindelf的空间, 则是可分的.16. 对任意集合, 下面命题正确的是( )A. 若cardcard Y, 则是的子集.B. 若是的子集, 则cardcard Y.C. 若是的子集, 则cardcard Y.D. 若, 则cardcard.17. 设为拓扑空间, 下面正确的命题是( )A. 若是正规空间, 则是空间.B. 若是空间且正则, 则是空间.C. 若是正则空间, 则是空间.D. 若是完全正则空间, 则是空间.18. 设为拓扑空间, 是的子集, 下面不正确的命题是( )A. 是列紧的当且仅当是序列紧的.B. 若是序列紧的, 则是可数紧的.C. 若是可数紧的, 则是列紧的.D. 若是紧的, 则是列紧的.19. 设, 为拓扑空间, 关于的积拓扑, 分别是到和的投射, 则下面不正确的命题是( )A. 是积拓扑的一个基.B. 是积拓扑的一个子基.C. 是积拓扑的一个基.D. 是积拓扑的一个子基.20. 设为拓扑空间, 为实数空间, 则为连续映射的充分必要条件是(). 对任意实数是的开集. 对任意实数, 集合是的开集. 对任意实数, 集合是的开集. 对任意实数是的闭集.三、简答题 (每小题5分, 共20分)21. 证明维实数空间的每一个子空间都是可分空间.22. 证明:若是空间, 则是空间.23. 证明:在一维实数空间的子空间中, 是开集.24. 叙述度量的定义.四、反例论证题 (本题10分)25. 举例说明存在这样的一个集合和上的两个拓扑和, 使得不是上的一个拓扑.五、论证题 (每小题15分, 共30分)26. 证明:若是空间中的紧集, 则是闭集.27. 设为拓扑空间, 映射是一个满的连续开映射, 满足第二可数性公理, 则也满足第二可数性公理. 请证明.