《二次函数中考》word版.doc

25.已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(-2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作OET=45，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.（1） 求此抛物线的函数表达式；（2） 求证：BEF=AOE；（3） 当EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得EPF的面积是EDG面积的（） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.25.解：（1） 如答图， A （-2， 0） B （0， 2）OA=OB=2 AB2=OA2+OB2=22+22=8AB=2OC=ABOC=2， 即C （0， 2）又抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点 则可得解得：抛物线的表达式为y=-x2-x+2（2） OA=OB AOB=90 BAO=ABO=45又BEO=BAO+AOE=45+AOEBEO=OEF+BEF=45+BEF BEF=AOE（3） 当EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论当OE=OF时， OFE=OEF=45在EOF中， EOF=180-OEF-OFE=180-45-45=90又AOB90则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立.如答图， 当FE=FO时，EOF=OEF=45在EOF中，EFO=180-OEF-EOF=180-45-45=90AOF+EFO=90+90=180EFAO BEF=BAO=45 又 由 (2) 可知 ，ABO=45BEF=ABO BF=EFEF=BF=OF=OB=21 E(-1， 1)如答图， 当EO=EF时， 过点E作EHy轴于点H 在AOE和BEF中，EAO=FBE， EO=EF， AOE=BEF AOEBEF BE=AO=2EHOB EHB=90AOB=EHB EHAO BEH=BAO=45在RtBEH中， BEH=ABO=45 EH=BH=BEcos45=2=OH=OB-BH=2- 2 E(-， 2-)综上所述， 当EOF为等腰三角形时， 所求E点坐标为E(-1， 1)或E(-， 2- 2)（4） P(0， 2)或P （-1， 2 ）26.如图15，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-,0)、B(,0)、C(0,3)三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。（1）求该抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；（3）将CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。26、(1) (2) ;(3)如图，做EFl于点F，由题意易证明PMD EMD，CME DNE PM=EM=EN=2DN，由题意DF=1，EF=，NF=1-DN 在RtEFN中 解得 26如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DMx轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，DAC=90（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE是否存在点P，使BPF与FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，得，解得，所以，直线AB的解析式为y=x+4；（2）过D点作DGy轴，垂足为G，OA=OB=4，OAB为等腰直角三角形，又ADAB，DAG=90OAB=45，即ADG为等腰直角三角形，DG=AG=OGOA=DMOA=54=2，D（2，6）；（3）存在由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x4），将D（2，6）代入，得a=，所以，抛物线解析式为y=x（x4），由（2）可知，B=45，则CFE=BFP=45，C（2，2），设P（x，0），则MP=x2，PB=4x，当ECF=BPF=90时（如图1），BPF与FCE相似，过C点作CHEF，此时，CHE、CHF、PBF为等腰直角三角形，则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4x+2（x2）=x，将E（x，x）代入抛物线y=x（x4）中，得x=x（x4），解得x=0或，即P（，0），当CEF=BPF=90时（如图2），此时，CEF、BPF为等腰直角三角形，则PE=MC=2，将E（x，2）代入抛物线y=x（x4）中，得2=x（x4），解得x=或，即P（，0），所以，P（，0）或（，0）26.如图，抛物线交y轴于点C，直线 l为抛物线的对称轴，点P在第 三象限且为抛物线的顶点.P到x轴的距离为，到y轴的距离为1.点C关于直线 l的对称点为A，连接AC交直线 l于B. （1）求抛物线的表达式； （2）直线与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F,连接BD交y轴于点E，且DE:BE=4:1.求直线的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.第26题图26.解：（1）抛物线交y轴于点C C（0，-3）则 OC=3 1分P到x轴的距离为，P到y轴的距离是1 且在第三象限P（-1，-） 2分C关于直线l的对称点为AA（-2，-3） 3分将点A（-2，-3），P（-1，-）代入有解得 5分抛物线的表达式为 6分（2）过点D做DGy 轴于G，则DGE=BCE=90DEG=BECDEGBECDE:BE=4:1 则DG=4 7分将x=4代入，得y=5则 D（4,5） 8分过点D（4,5） 则 m=2 9分所求直线的表达式为 10分（3）存在 M1 M2 M3 M414分26.已知抛物线 与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且（1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC的函数表达式；（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0t2）.求：s与t之间的函数关系式； 在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.yABCDEFOxyxOBAPC 图1图2第26题图GD1E1F1O1HABCDEFOxy26.解:（1） A（-1,0）, C（0,-3） 1抛物线经过A（-1,0）, C（0,-3） y=x22x3 3（2）直线BC的函数表达式为y=x3 5（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，-2），根据题意得： -2=m-3，m=1 6当0t1时 S1=2t 7 当1t2时S2= =2t = 9当t =2秒时，S有最大值，最大值为 10（4）M 1（，） M2（，） M3（，） M4（， ）14 22在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由（2） 解：（1）由抛物线过点，则 2分 解这个方程组，得 二次函数的关系表达式为 分 （2）设点P坐标为，则 连接，作轴于M，轴于N ， 当时，所以 分 2分 0， 函数有最大值 1分 当时，有最大值 此时 存在点，使的面积最大 1分 （3）点 4分 （4）点 4分 （5）点 4分26（14分）（2012营口）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60，与直线y=x交于点N在直线DN上是否存在点M，使MON=75若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P、Q分别是抛物线y=ax2+bx+c和直线y=x上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标解答：（1） y=x22x+3=（x+1）2+4，抛物线的顶点D的坐标为（1，4）（2）由旋转得EDF=60，在RtDEF中，EDF=60，DE=4，EF=DEtan60=4OF=OE+EF=1+4F点的坐标为（，0）设过点D、F的直线解析式是y=x+b，把D（1，4），F（，0）代入求得 分两种情况：当点M在射线ND上时，MON=75，BON=45，MOB=MONBON=30MOC=60直线OM的解析式为y=x点M的坐标为方程组的解，解方程组得，点M的坐标为（，）当点M在射线NF上时，不存在点M使得MON=75理由：MON=75，FON=45，FOM=MONFON=30DFE=30，FOM=DFEOMFN不存在，综上所述，存在点M，且点M的坐标为（，）（3）有两种情况直角梯形OBPQ中，PQOB，OBP=90如图2，OBP=AOB=90，PBOA所以点P、B的纵坐标相同都是3因为点P在抛物线y=x22x+3上，把y=3代入抛物线的解析式中得x1=0（舍去），x2=2由PQOB得到点P、Q的横坐标相同，都等于2把x=2代入y=x得y=2所以Q点的坐标为（2，2）在直角梯形OBPQ中，PBOQ，BPQ=90如图3，D（1，4），B（0，3），DBOQPBOQ，点P在抛物线上，点P、D重合EDF=EFD=45EF=ED=4OF=OE+EF=5作QHx轴于H，QOF=QFO=45，OQ=FQOH=OF=Q点的横坐标Q点在y=x上，把x=代入y=x得y=Q点的坐标为（，）综上，符合条件的点Q有两个，坐标分别为：（2，2），（，）26（14分）（2012铁岭）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D直线y=2x1经过抛物线上一点B（2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若SADP=SADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由解答：解：（1）m=3设抛物线的解析式为（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若SADP=SADC，又点C是直线y=2x1与y轴交点，C（0，1），OC=1，即或，解得：点P的坐标为 （3）抛物线的解析式为，顶点E（2，1），对称轴为x=2；点F是直线y=2x1与对称轴x=2的交点，F（2，5），DF=5又A（4，0），AE=如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形AEM1Q1此时DM1=AE=，M1F=DFDEDM1=4，t1=4；菱形AEOM2此时DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形AEM3Q3此时EM3=AE=，DM3=EM3DE=1，M3F=DM3+DF=（1）+5=4+，t3=4+；菱形AM4EQ4此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AEM4Q4，易知AEDM4EH，即，得M4E=，DM4=M4EDE=1=，M4F=DM4+DF=+5=，t4=综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4，t2=6，t3=4+，t4=26（14分）（2012朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（1，0）（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由解答：解：（1）在RtABC中，AOBC，OA=2，OB=1，则：OC=4，C（4，0）（2）设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x4），代入点A的坐标，得：a（0+1）（04）=2，a=抛物线的解析式：y=（x+1）（x4）=x2+x+2，对称轴 x=（3）设直线AC的解析式为：y=kx+2，代入点C（4，0），得：4k+2=0，k=直线AC：y=x+2；过点P作PQx轴，交直线AC于Q，设P（m，m2+m+2）、Q（m，m+2），则：PQ=m2+m+2（m+2）=m2+2m；S=PQOC=（m2+2m）4=m2+4m；当m=2，即 P（2，3）时，S的值最大（4）依题意，设M（，b），已知P（2，3）、C（4，0），则有：MP2=b26b+、MC2=b2+、PC2=13；当MP=MC时，b26b+=b2+，解得 b=；当MP=PC时，b26b+=13，解得 b=；当MC=PC时，b2+=13，解得 b=；综上，存在符合条件的M点，且坐标为 （，）、（，）、（，）、（，）、（，）