【包哥数学】高中数学--抽象函数专题

包哥数学 百度文库 笑傲高数 兴趣 正确的学习方法 包哥数学 抽象函数专题 抽象函数简介 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式 只给出它的一些特征 性质或一些特殊关系 式的函数 所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力 丰富的想象力以及函数知 识灵活运用的能力 抽象函数一些模型 根据抽象函数的一些性质 联想到所学的基本初等函数模型 将抽象具体化 有助于分析 问题 抽象函数 f x 具有的性质 联想到的函数模型 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 正比例函数模型 f x kx k 0 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 指数函数模型 f x a 0 且 a 1 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 x1 x2 R 对数函数模型 f x a 0 且 a 1 log 例题 例 1 f x 在 R 上是增函数 且 f x f f y 若 f 3 1 f x f 2 求 x 的范yx51 x 围 例 2 设函数 f x 的定义域为 R 对于任意实数 m n 总有 f m n f m f n 且 x 0 时 0 f x 1 1 证明 f 0 1 且 x1 2 证明 f x 在 R 上单调递减 3 设 A x y f x 2 f y2 f 1 B x y f ax y 2 1 a R 若 A B 确定 a 的 范围 抽象函数的对称性 中心对称 轴对称 和周期性 先深刻理解奇函数 偶函数概念 方法 用哪个数代替 x 包哥数学 百度文库 笑傲高数 兴趣 正确的学习方法 一 抽象函数的对称性 定理 1 若函数 y f x 定义域为 R 且满足条件 f a x f b x 则函数 y f x 的图 象关于直线 x 2 ab 对称 推论 1 若函数 y f x 定义域为 R 且满足条件 f a x f a x 或 f 2a x f x 则函数 y f x 的图像关于直线 x a 对称 推论 2 若函数 y f x 定义域为 R 且满足条件 f a x f a x 又若方程 f x 0 有 n 个根 则此 n 个根的和为 na 定理 2 若函数 y f x 定义域为 R 且满足条件 f a x f b x c a b c 为常数 则 函数 y f x 的图象关于点 2abc 对称 推论 1 若函数 y f x 定义域为 R 且满足条件 f a x f a x 0 a 为常数 则函数 y f x 的图象关于点 a 0 对称 了解 定理 3 若函数 y f x 定义域为 R 则函数 y f a x 与 y f b x 两函数的图象关于直线 x 2 ba 对称 对任意 x0 令 a x0 b x1 则 x0 x1 b a 此时令 y f a x0 f b x1 则 x0 y 在第一个函数图像上 x1 y 在第二个函数图像上 因为 x0 x1 b a 所以有 x0 b a 2 b a 2 x1 x0 y 和 x1 y 关于直线 x b a 2 对称 所以这两个函数的图像关于直线 x b a 2 是对称的 定理 4 若函数 y f x 定义域为 R 则函数 y f a x 与 y c f b x 两函数的图象关于 点 2bac 对称 二 抽象函数的周期性 命题 1 若 a 是非零常数 对于函数 y f x 定义域的一切 x 满足下列条件之一 则函数 y f x 是周期函数 函数 y f x 满足 f x a f x 则 f x 是周期函数 且 2a 是它的一个周期 包哥数学 百度文库 笑傲高数 兴趣 正确的学习方法 函数 y f x 满足 f x a 则 f x 是周期函数 且 2a 是它的一个周期 1 fx 函数 y f x 满足 f x a f x 1 则 f x 是周期函数 且 2a 是它的一个周期 命题 2 若 a b 是非零常数 对于函数 y f x 定义域的一切 x 满足下列条件之b 一 则函数 y f x 是周期函数 1 函数 y f x 满足 f x a f x b 则 f x 是周期函数 且 a b 是它的一个周期 2 函数图象关于两条直线 x a x b 对称 则函数 y f x 是周期函数 且 2 a b 是它的一个 周期 3 函数图象关于点 M a 0 和点 N b 0 对称 则函数 y f x 是周期函数 且 2 a b 是它的一 个周期 4 函数图象关于直线 x a 及点 M b 0 对称 则函数 y f x 是周期函数 且 4 a b 是它的一 个周期 命题 3 若 a 是非零常数 对于函数 y f x 定义域的一切 x 满足下列条件之一 则函数 y f x 是周期函数 1 若 f x 是定义在 R 上的偶函数 其图象关于直线 x a 对称 则 f x 是周期函数 且 2a 是 它的一个周期 2 若 f x 是定义在 R 上的奇函数 其图象关于直线 x a 对称 则 f x 是周期函数 且 4a 是 它的一个周期 我们也可以把命题 3 看成命题 2 的特例 命题 3 中函数奇偶性 对称性与周期性中已知其中 的任两个条件可推出剩余一个 下面证明命题 3 1 其他命题的证明基本类似 设条件 A 定义在 R 上的函数 f x 是一个偶函数 条件 B f x 关于 x a 对称 条件 C f x 是周期函数 且 2a 是其一个周期 结论 已知其中的任两个条件可推出剩余一个 证明 已知 A B C 2001 年全国高考第 22 题第二问 f x 是 R 上的偶函数 f x f x 又 f x 关于 x a 对称 f x f x 2a f x f x 2a f x 是周期函数 且 2a 是它的一个周期 已知 A C B 定义在 R 上的函数 f x 是一个偶函数 f x f x 又 2a 是 f x 一个周期 f x f x 2a f x f x 2a f x 关于 x a 对称 已知 C B A f x 关于 x a 对称 f x f x 2a 又 2a 是 f x 一个周期 f x f x 2a f x f x f x 是 R 上的偶函数 由命题 3 2 我们还可以得到结论 f x 是周期为 T 的奇函数 则 f 02T 包哥数学 百度文库 笑傲高数 兴趣 正确的学习方法 f x T f x 令 x T 2 f T 2 f T 2 f x 为奇函数 所以 f T 2 f T 2 f T 2 则 2f T 2 0 f T 2 0 基于上述命题阐述 可以发现 抽象函数具有某些关系 根据上述命题 我们易得函数周 期 从而解决问题 习题 1 若函数 f x x2 bx c 对于任意实数 t 均有 f 3 t f 1 t 那么 A f 2 f 1 f 4 B f 1 f 2 f 4 C f 2 f 4 f 1 D f 4 f 2 f 1 解析 在 f 3 t f 1 t 中 3 t 1 t 4 所以抛物线 f x x 2 bx c 的对称轴为 x 2 作示意图如图 1 可见 应选 A 2 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 且 f x 2 f x 给出下列四个结论 f 2 0 f x 是以 4 为周期的函数 f x 的图像关于直线 x 2 对称 f x 2 f x 其中所有正确命题的序号是 解析 1 因为 y f x x R 是奇函数 所以 f x f x 令 x 0 得 f 0 f 0 f 20 所以 f 0 0 又已知 f x 2 f x 令 x 2 得 f 0 f 2 所以 f 2 f 0 0 故 成立 2 因为 f x 2 f x 所以 f fx 24 由 x x 4 4 两自变量相减得常数 所以 f x 是以 4 为周期的周期函数 包哥数学 百度文库 笑傲高数 兴趣 正确的学习方法 故 成立 3 由 f x 2 f x 得 x 2 x 2 两自变量相加得常数 所以 f x 的图像关于直线 x 1 对称 而不是关于直线 x 2 对称 故 是错误的 4 由 2 知 f x 应满足 f x 2 f x 2 而 f x 2 f x 所以 f x 2 f x f x 故 成立 综上所述 应填 3 函数 的图像关于直线 x 2 对称 则 a ya log210 解析 因为函数 的图像关于直线 x 2 对称xal2 所以有 12og2 axax11 与题设矛盾 舍去 或 0a 2 所以 a12 4 函数 y f x 在 0 2 上是增函数 函数 y f x 2 是偶函数 则下列结论中正确的是 A f 1 f 5 f 7 B f 2 7 f 1 f 5 C f 2 f f 1 D f f 1 f 解析 函数 y f x 2 是偶函数 f x 2 f x 2 x 2 为 y f x 图像的对称轴 也可 根据 y f x 2 y f x 向右平移两个单位知 x 2 为 y f x 图像的对称轴 函数 y f x 在 2 4 上是减函数 且 f 1 f 3 选 B 52 3 3 72 5 f x 满足 f x f 6 x f x f 2 x 若 f a f 2000 a 5 9 且 f x 在 5 9 上单调 求 a 的值 包哥解析 由 f x f 6 x f x f 2 x 得 f 2 x f 6 x 用 x 代替 x f 2 x f 6 x 用 x 2 代替 x f x f x 4 用 x 4 代替 x f x 4 f x 8 f x 即 f x f x 8 T 8 f 2000 f 0 8 250 f 0 又 f a f 2000 f a f 0 又 f x f 6 x f 0 f 6 f a f 6 a 5 9 且 f x 在 5 9 上单调 a 6 包哥数学 百度文库 笑傲高数 兴趣 正确的学习方法 确定方程根的个数 6 已知 f x 是定义在 R 上的函数 f x f 4 x f 7 x f 7 x f 0 0 求在区间 1000 1000 上 f x 0 至少有几个根 解 由 f 7 x f 7 x 用 x 7 代替 x f x f 14 x f 4 x f 14 x 用 x 代替 4 x 故 f x 10 f x f 10 f 0 0 又 f 4 f 0 0 即在区间 0 10 上 方程 f x 0 至少两个根 又 f x 是周期为 10 的函数 每个周期上至少有两个根 因此方程 f x 0 在区间 1000 1000 上至少有 1 2 401 个根 201 12 仙游一中高一数学期末 在实数集 上定义一种新运算 对于任意给定的 为唯一确定的实数 R abR 且具有下面三个性质 1 abba 对 任 意 2 0 a 对 任 意3 2 ccbc 对 任 意 关于函数 的性质 有以下说法 1 fx 在区间 上函数 的最小值为 函数 为奇函数 0 fx3 fx 函数 的单调递增区间为 fx 1 其中所有正确说法的个数为 A B C D 320 解析 B 由新运算 的定义 3 令 c 0 则 a b ab a b 对勾函数 f x 令 f x 0 则 x 1 1 fx 1 1 1 1 2 当 x 1 或 1 时 f x 0 函数 f x 的单调递增区间为 1 1 故 正确 正确 错误 f x f x 12 2018 厦门市高中毕业班模拟试题 已知函数 若 f f 2 对任意的 12 3 2017 2017 1 sin cos sin2 恒成立 则 t 的取值范围是 A B C 2 B 2 2 2 解析 B 由 得 12 3 2017 2017 1 12 3 2017 2017 1 包哥数学 百度文库 笑傲高数 兴趣 正确的学习方法 得 12 12 2 式表示只要自变量相加为 1 函数值之和为 2 那么题目中的不等式可以转化为 f f 2 f f 1 sin cos sin2 sin cos sin cos 也即 f f 1 对任意 恒成立sin2 sin cos 易知 f u 在 单调递增 1 对任意 恒成立 sin2 sin cos 也即 t 对任意 恒成立sin2 sin cos 1 接下来求 y 最大值 令 a 则 a 1 其中 a sin2 sin cos sin cos sin2 2 2 y a 1 a 当 a 时 ymax 1 12 2 54 2 2 转化成 max t 即 1 t sin2 sin cos 1 2 1 2