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第一章1.1 集合1. 关于集合的元素的特征（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流）（2）互异性（3）无序性集合相等：构成两个集合的元素完全一样(1) 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.(2)例：已知A=1,1+d，1+2d，B=1，q，q2，若A=B，求的，d，q的值。解：d=34，q=122. 元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作aA（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA子集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作或.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.记作 若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集. 或.子集与真子集的性质：传递性：若，则空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.3. 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R4. 集合的表示方法（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；（2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，直角三角形，；（3） 自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。（2,4,6,8）问：1、1，3，5，7，9如何用自然语言描述法表示？2、用例举法表示集合练习：（1）已知集合M=a，b，c中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（ ） A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形5. 集合间的基本运算并集（）：一般的由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，成为集合A与B的并集，记作AB，即：,韦恩图如下：交集（）：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即：韦恩图如下：全集（U）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就成这个集合为全集，记为U。补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA =x | xU且 xA，韦恩图如下：AUCUA练习：1、若A=0，2，4，CUA=-1，2， CUB=-1，0，2，求B= 。2、设A=x|x-2,B=x|x0,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且，试求p、q；8、已知集合A=a+2，(a+1)2，a2+3a+3，且1A，求实数a 的值9、已知集合A=x|x25x6=0，B=x|mx1=0，AB=A，求实数m的值组成的集合。10、集合A=x|x2|2，xR，B=y|y=x2，1x2，则CR(AB)等于（）A.R B.x|xR，x0 C.0 D. （空集）11、已知a，bA，且A为a，b，c，d，e的真子集，则满足条件的集合A的个数是（）12、记函数f（x）=lg（2x3）的定义域为集合M，函数g（x）=12x1的定义域为集合N，求：（1）集合M、N；（2）集合mN，MN13、已知集合A=x|xa|1，B=x|x25x40，若AB=，则实数a的取值范围是（）1.2 函数函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域区间：（1）、开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）、无穷区间；区间的数轴表示例1：已知函数f (x) = +，求函数的定义域。例2：设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域。函数的定义域小结：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义.例3：下列函数中哪个与函数y=x相等？（1）y = ()2 ; （2）y = () ;（3）y = ; （4）y=x=-bb2-4ac2a练习：1.求下列函数的定义域（1）y=12|x|x211x2（2） y=lg（|x|x）（3）已知f（x）的定义域为（1,1），求函数F（x）=f（1x）f（1x）的定义域。2.已知A=1,2,3，k，B=4,7，a4，a23a，aN*，xA，yB，f：xy=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B。解：a=2，k=5，A=1,2,3,5，B=4,7,16,10映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：AB为从集合A到集合B的一个映射记作“：AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述（2）“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思例：1.已知A=x，y，B=a，b，c，从集合A到集合B的所有不同的映射有（）个。2. 已知A=x，y，B=a，b，c，从集合B到集合A的所有不同的映射有（）个。函数的表示方法：解析法、列表法、图像法练习：1.已知f（x2）=2x29x13，求f（x）配凑法答案：f（x）=2x2x32.已知f（x1）=x2x，求f（x1），f（x2）换元法答案：f（x1）=x22x，（x0）；f（x2）=x41，（x1或x1）3.已知f（x）是一次函数，且有ff（x）=9x8，求f（x）待定系数法答案：f（x）=3x2或f（x）=3x44.设f（x）满足关系式f（x）2f（1x）=3x，求f（x）消元法答案：f（x）=2xx，xx|xR，x06.已知x0，函数f（x）满足f（x1x）=x21x2，则f（x）的表达式为（）A.f（x）=x1x B.f（x）=x22 C.f（x）=x2 D.f（x）=（x1x）27.已知函数f（x）=2x，（x4）fx1，（x4），那么f（5）的值为（）A.32 B.16 C.8 D.648.若函数f（2x1）x22x，则f（3）=（）9.已知函数f（x）=x21x2，则f（1）f（2）f（12）f（3）f（13）f（4）f（14）的值为（）10.已知f（2x1）=lgx，求f（x）11.已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x1）=f（x）x1，求f（x）12.定义在（1,1）内的函数f（x）满足：2f（x）f（x）=lg（x1），求函数f（x）的解析式.1.3 函数的基本性质增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。注意：(1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；(2) 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。函数的单调性定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。例1：物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。（设V1V20）判断函数单调性的方法步骤:利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1b）解：；.随堂练习1. 求出下列各式的值 (a1)解：（1）； （2）（3）3a-3【例3】：求值：分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；解：随堂练习2若。解：3计算解：-9+第二节1、分数指数幂规定：（1）、正数的正分数指数幂的意义为：正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即： （2）、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.2、分数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂同样适用，即：（1）（2） （3）、无理指数幂思考：若0，P是一个无理数，则该如何理解？自主学习：学生阅读教材第页中的相关内容归纳得出：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近。所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示) 所以，是一个确定的实数.总结：一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂. 这样幂的性质就推广到了实数范围练习：轻松过关、下列式子中计算正确的是（D）A B C D2下列式子中计算正确的有（A）（）；（）（）A 0 B 1 C 2 D 3、的值是（）、下列说法正确的是（）无意义、用计算器算；（保留个有效数字）、已知 ，则；、计算的值解：原式适度拓展、化简： （e=2.718 ）解：原式 + = 9、已知求的值解原式，提示： ）综合提高、已知：，求的值.解：由，又1ab，从而得，原式= =.二、指数函数及其性质-xy0y=2x定义：一般地，函数（0且1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.当1时，函数的图象为：-xy0当01时，函数的图象为：图象特征函数性质101101向轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于10，10，1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于10，10，1利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在（0且1）值域是（2）若（3）对于指数函数（0且1），总有（4）当1时，若，则；练习：1、函数2、当（，）2.2对数函数对数与对数运算对数：一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作叫做对数的底数，N叫做真数.2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制0，且1（2）指数式对数式幂底数对数底数指 数对数幂 N真数恒等式：=N负数和零没有对数。Loga1=0；logaa=1两类对数： 以10为底的对数称为常用对数，常记为. 以无理数e=2.71828为底的对数称为自然对数，常记为.例：求下列各式中x的值（1） （2） （3） （4）分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：（1）（2） （3） （4），所以对数的运算运算性质：如果，且，那么： ； ； 换底公式（，且；，且；）证明：设ax=b，所以logcax=logcb，因为logcax=xlogca；所以X=logcax/logca=logcb/logca=logab换底公式推论（1）；（2）对数函数的图象（1） （2） （3） （4） 图象特征函数性质函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，1）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于02.3幂函数定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.五种基本幂函数：y=x3y=x-1定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限单调增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）幂函数性质： （1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）； （2）0时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）. 特别地，当1，1时，（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？） 当1时，（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？） （3）0时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数. 在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.例题：证明幂函数上是增函数 证：任取则 = = 因0，0 所以，即上是增函数.第三章 函数的应用3.1 函数与方程零点定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数零点的求法：求函数的零点：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点二次函数的零点：二次函数（），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点零点存在性的探索：（）观察二次函数的图象： 在区间上有零点_；_，_,_0（或） 在区间上有零点_；_0（或）（）观察下面函数的图象 在区间上_(有/无)零点；_0（或） 在区间上_(有/无)零点；_0（或） 在区间上_(有/无)零点；_0（或）3.2 二分法概念：对于在区间a，b上连续不断且f（a）f（b）0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。求二分法步骤：1. 确定区间a，b，验证f（a）f（b）0，给定精确度；2. 求区间（a，b）的中点c；3. 计算f（c）；（1） 若f（c）=0，则c就是函数的零点；（2） 若f（a）f（b）0，则令b=c（此时零点x0（a，c）；（3） 若f（c）f（b）0，则令a=c（此时零点x0（c，b）；4. 判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a（或b）；否则重复2到4.18
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