轴对称、等腰三角形经典练习题.doc

【知识点回顾】轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应 点叫做对称点。轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。 2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形 是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写 成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等 于斜边的一半【典型例题】 例1. 如图，中，BD平分。求证：。 分析：从要证明的结论出发，在BC上截取，只需证明，考虑到，想到在BC上截取，连结DE，易得，则有，只需证明，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出。 证明：在BC上截取，连结DE、DF 在和中， 又 而 即【随堂作业】1、下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）A有两个内角相等的三角形 B. 有一个内角是45直角三角形C. 有一个内角是30的直角三角形 D. 有两个角分别是30和120的三角形2、下列说法中正确的是 （ ） 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 角是轴对称图形 线段不是轴对称图形 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 A. B. C. D.3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示 实际时间是 （ ） A21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：014、下列推理中，错误的是 () AABC ， ABC是等边三角形 BABAC，且BC， ABC是等边三角形 CA60，B60，ABC是等边三角形 DABAC，B60，ABC是等边三角形5、等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是 () A9cmB12cm C9cm和12cmD在9cm与12cm之间6、若等腰三角形的一个外角为130，则它的底角为_ .7、如图，是等边三角形，则的度数是_8、 如图，在等腰三角形中，点是底边上一个动点， 分别是的中点，若的最小值为2，则的周长 是（ ）ABCD9、 在等边三角形ABC中，CD是ACB的平分线，过D作DEBC交AC于E，若 ABC的边长为a，则ADE的周长为 () A2a B C15a Da10、 如图，在中，点为的中点， 于点，则等于（ C ） ABCD 11、 如图7111，在RtABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC 上，BAE：BAC1：5，则C_.12、 如图7112，BAC30，AM是BAC的平分线，过M作MEBA交AC于 E，作MDBA，垂足为D，ME10cm，则MD_.13、 已知：如图7120，等腰直角三角形ABC中，A90，D为BC中点，E、 F分别为AB、AC上的点，且满足EACF求证：DEDF14、已知：如图ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE，求证：AH=2BD 【课后作业】PAECBD1、如图：等边三角形ABC中，BDCE，AD与BE相交于点P，则APE的度数是（）A45B55 C60D752、 等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两 部分的差为3cm，则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不对3、 如图，ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别为ABC与ACB 的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 4、如图,MPN25,又PAABBCCD,则DCM_度。5、 已知：在ABC中,A=20,D为AB上一点,AD=DC,且 ACDBCD=23,则 ABC=_6、等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，问APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论ACBQP7、 已知：如图，AD平分BAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F，连结AF 求证： B=CAF.ABDFEC8、 如图，ABC中，ABC=2C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC一、 选择题（每小题3分，共30分）1下列图案中是轴对称图形的是( )2以下四个图形中对称轴条数最多的一个图形是( )3到三角形的三个顶点距离相等的点是()A三条角平分线的交点 B三条中线的交点C三条高的交点 D三条边的垂直平分线的交点 4已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则()APAPBQAQBBPAPBQAQB CPAPBQAQB D不能确定 5等腰三角形的一个外角等于100，则与它不相邻的两个内角的度数分别为()A40，40B80，20C50，50D50，50或80，20 6下列说法：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；等腰三角形的两腰上的中线长相等；等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40其中不正确的个数是()A1B2C3D4 7在ABC中，ABAC，BD平分ABC，若BDC75，则A的度数为()A30B40C45D608在等腰三角形ABC中，ABAC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()A7B11C7或11D7或10 9如图，在ABC中，ACADBD，DAC80，则B的度数是( ) A40B35C25D20 10如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8km，P，Q两地到l的距离分别为2km，5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是( )二、 填空题（每小题3分，共24分）11粗圆体的汉字“口”“天”等都是轴对称图形，请再写出至少三个以上这样的汉字_12如图，ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，C15，BAD60，则ABC是_三角形13等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20，则其顶角的大小为_14如图，已知ABC中，ABAC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若ABE：EBC2：1，则A_ 15在ABC中，ABAC，A36，角平分线BE与CD相交于点F，如果不添加其他线和字母，那么图中等腰三角形有_个 16如图，AD是ABC的中线，ADC60，BC4，把ADC沿直线AD折叠后，点C落在C的位置上，那么BC的长为_ 17如图，在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，点E是AD的任一点，若ABC的面积为12cm，则图中阴影部分的面积是_cm18ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DEAB于点E，DFAC于点F，BNAC于点N，则DE，DF，BN三者的数量关系为_三、解答题（共46分）19（6分）（2013盐城）如图是3x3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有几种？20（6分）已知：如图，BCE、ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BEAD，CDE是等边三角形求证：ABC是等边三角形 答案：考点精练 182.5 230a 3220 4105 5368 67秒或25秒 7（2，-2） 810 9D 10B 11B 12B 137cm或11cm 14关系：DE=DB，CD=CE，E=EDC，又ACB=60，E=30，又DBC=30，E=DBC，DB=DE 15（1）或 （2）已知求证ABC是等腰三角形证：先证EBODCO得OB=OC，得DBC=ECBABC=ACB即ABC是等腰三角形 16（1）DEF是等边三角形，提示证ADFBEDCFE即得DEF是等边三角形 （2）AD=BE=CF成立证略【例题经典】根据等腰三角形的性质寻求规律例1在ABC中，AB=AC，1=ABC，2=ACB，BD与CE相交于点O，如图，BOC的大小与A的大小有什么关系？若1=ABC，2=ACB，则BOC与A大小关系如何？若1=ABC，2=ACB，则BOC与A大小关系如何？【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，根据等腰三角形的性质，1=2，ABD=ACE，即可得到1=ABC，2=ACB时，BOC=90+A；1=ABC，2=ACB时，BOC=120+A；1=ABC，2=ACB时，BOC=180+A 【点评】在例1图中，若AE=AB，AD=AC类似上题方法同样可证得BD=CE上述规律仍然存在会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长 【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论利用等腰三角形的性质证线段相等例3（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60，且BQ=BP，连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由 【分析】（1）把ABP绕点B顺时针旋转60即可得到CBQ利用等边三角形的性质证ABPCBQ，得到AP=CQ（2）连接PQ，则PBQ是等边三角形PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，PQC是直角三角形 【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明【考点精练】一、基础训练1如图1，在ABC中，AB=AC，A=50，BD为ABC的平分线，则BDC=_ （1） （2） （3）2如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_3如图3，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2=_度4（2006年烟台市）如图4，在等腰直角ABC中，B=90，将ABC绕顶点A逆时针方向旋转60后得到ABC，则BAC等于_ （4） （5） （6）5（2006年包头市）如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工从AC上的一点B取ABD=135，BD=520米，D=45，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_米（精确到1米）6（2006年诸暨市）等腰ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为_7如图6，等边ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A的坐标为_8（2006年江阴市）如图7，在ABC中，AB=AC，BAD=20，且AE=AD，则CDE=_ （7） （8） （9）9（2005年常州市）如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44，CDAB于D，则DCB等于（ ） A44 B68 C46 D2210（2006年海南省）如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）AL1 BL2 CL3 DL411（2006年日照市）如图10，在ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD则A等于（ ）A30 B36 C45 D72 （10） （11）12（2006年怀化市）同学们都玩过跷跷板的游戏如图11所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB当跷跷板的一头A着地时，OAC=25，则当跷跷板的另一头B着地时，AOA等于（ ） A25 B50 C60 D130二、能力提升13如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长14已知如图ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由15（2006年扬州市）如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形三、应用与探究16（2005年江西省）如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点 （1）若AD=BE=CF，问DEF是等边三角形吗？试证明你的结论 （2）若DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论