（江苏专版）2019年中考数学一轮复习 第六章 空间与图形 6.3 解直角三角形（试卷部分）课件.ppt

6 3解直角三角形 中考数学 江苏专用 考点1锐角三角函数 A组2014 2018年江苏中考题组 五年中考 1 2018无锡 9 3分 如图 已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点 正方形EFGH的顶点G H都在边AD上 若AB 3 BC 4 则tan AFE的值 A 等于B 等于C 等于D 随点E位置的变化而变化 答案A EH CD AEH ACD 设EH 3x AH 4x HG GF 3x 又 EF AD AFE FAG tan AFE tan FAG 故选A 思路分析根据题意推知EH CD 由该平行线的性质推知 AEH ACD 结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答 解题反思考查了正方形的性质 矩形的性质以及解直角三角形 此题将求 AFE的正切值转化为求 FAG的正切值来解答 体现转化的思想 2 2016无锡 3 3分 sin30 的值为 A B C D 答案Asin30 故选A 3 2017无锡 18 2分 在如图的正方形方格纸中 每个小的四边形都是相同的正方形 A B C D都在格点处 AB与CD相交于O 则tan BOD的值等于 答案3 解析如图所示 平移CD到C D 交AB于O 思路分析平移CD 使 BOD的顶点位于格点上 从而构造直角三角形求解 解题关键本题考查解直角三角形 解答本题的关键是作出合适的辅助线 构造直角三角形 利用勾股定理和等积法求出正切值 从而解决问题 4 2016南通 14 3分 如图 在Rt ABC中 CD是斜边AB上的中线 已知CD 2 AC 3 则cosA 答案 解析 CD为斜边AB上的中线 AB 2CD 4 在Rt ABC中 cosA 考点2解直角三角形 1 2016苏州 8 3分 如图 长4m的楼梯AB的倾斜角 ABD为60 为了改善楼梯的安全性能 准备重新建造楼梯 使其倾斜角 ACD为45 则调整后的楼梯AC的长为 A 2mB 2mC 2 2 mD 2 2 m 答案B因为AD CD 所以 D 90 在Rt ABD中 AD AB sin60 4 2m 在Rt ACD中 AC 2m 故选B 2 2015苏州 10 3分 如图 在一笔直的海岸线l上有A B两个观测站 AB 2km 从A测得船C在北偏东45 的方向 从B测得船C在北偏东22 5 的方向 则船C离海岸线l的距离 即CD的长 为 A 4kmB 2 kmC 2kmD 4 km 答案B如图 在Rt ABE中 AEB 45 AB EB 2km AE 2km EBC 22 5 ECB AEB EBC 22 5 EBC ECB EB EC 2km AC AE EC 2 2 km 在Rt ADC中 CAD 45 AD DC 2 km 即点C到l的距离为 2 km 故选B 3 2014苏州 9 3分 如图 港口A在观测站O的正东方向 OA 4km 某船从港口A出发 沿北偏东15 方向航行一段距离后到达B处 此时从观测站O处测得该船位于北偏东60 的方向 则该船航行的距离 即AB的长 为 A 4kmB 2kmC 2kmD 1 km 答案C过A作OB边的垂线AD 垂足为D 易知 BOA 30 BAD 45 在Rt OAD中 AD OAsin DOA 4sin30 2km 在Rt ABD中 AB 2km 故选C 4 2014连云港 6 3分 如图 若 ABC和 DEF的面积分别为S1 S2 则 A S1 S2B S1 S2C S1 S2D S1 S2 答案C过点A作AM BC于点M 过点D作DN EF交FE的延长线于点N S1 BC AM 8 5 sin40 S2 EF DN 5 8 sin40 所以S1 S2 故选C 5 2017苏州 17 3分 如图 在一笔直的沿湖道路l上有A B两个游船码头 观光岛屿C在码头A北偏东60 的方向 在码头B北偏西45 的方向 AC 4km 游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B 设开往码头A B的游船速度分别为v1 v2 若回到A B所用时间相等 则 结果保留根号 答案 解析过点C作CD AB于D 在Rt ACD中 CD AC 2km 在Rt CDB中 CB CD 2km 因为回到A B所用时间相等 所以 6 2018南通 23 8分 如图 小明一家自驾到古镇C游玩 到达A地后 导航显示车辆应沿北偏西60 方向行驶12千米至B地 再沿北偏东45 方向行驶一段距离到达古镇C 小明发现古镇C恰好在A地的正北方向 求B C两地的距离 结果保留根号 解析作BH AC于H 由题意得 CBH 45 BAH 60 在Rt BAH中 BH AB sin BAH 6 在Rt BCH中 CBH 45 BC 6 千米 答 B C两地的距离为6千米 解题关键本题考查的是解直角三角形的应用 方向角问题 掌握锐角三角函数的定义 正确标出方向角是解题关键 解题关键本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角问题 勾股定理 将实际问题转化为数学问题 构造直角三角形 运用勾股定理是解题的关键 8 2017连云港 25 10分 如图 湿地景区岸边有三个观景台A B C 已知AB 1400米 AC 1000米 B点位于A点的南偏西60 7 方向 C点位于A点的南偏东66 1 方向 1 求 ABC的面积 2 景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭 并修建观景栈道AD 试求A D间的距离 结果精确到0 1米 参考数据 sin53 2 0 80 cos53 2 0 60 sin60 7 0 87 cos60 7 0 49 sin66 1 0 91 cos66 1 0 41 1 414 解析 1 作CE BA 交BA延长线于E 在Rt AEC中 CAE 180 60 7 66 1 53 2 CE AC sin53 2 1000 0 8 800 米 S ABC AB CE 1400 800 560000 平方米 2 连接AD 作DF AB于F 则DF CE BD CD DF CE BF EF DF CE 400米 AE AC cos53 2 1000 0 6 600 米 BE AB AE 2000米 AF EB AE 400米 在Rt ADF中 AD 400 565 6 米 解题关键本题考查解直角三角形 方向角 勾股定理等知识 解题的关键是合理添加辅助线 构造直角三角形解决问题 属于常考题型 9 2016镇江 23 6分 公交总站 A点 与B C两个站点的位置如图所示 已知AC 6km B 30 C 15 求B站点离公交总站的距离即AB的长 结果保留根号 解析过点C作CD AB 交BA的延长线于点D 2分 B 30 ACB 15 CAD 45 3分 在Rt ACD中 ADC 90 CAD 45 AC 6 CD AD 3 4分 在Rt BCD中 CDB 90 B 30 CD 3 BD 3 AB BD AD 3 3 AB的长为 3 3 km 6分 10 2015镇江 24 6分 某海域有A B两个港口 B港口在A港口北偏西30 的方向上 距A港口60海里 有一艘船从A港口出发 沿东北方向行驶一段距离后 到达位于B港口南偏东75 方向的C处 求该船与B港口之间的距离即CB的长 结果保留根号 11 2014镇江 24 6分 如图 小明从点A处出发 沿着坡角为 的斜坡向上走了0 65千米到达点B sin 然后又沿着坡度为i 1 4的斜坡向上走了1千米到达点C 问小明从A点到C点上升的高度CD是多少千米 结果保留根号 解析作BE AD于E BF CD于F 则sin BE AB 0 65 2分 i 3分 设CF x 则BF 4x BC x 1 CF x 5分 BE AD BF CD CD AD 四边形BEDF是矩形 BE DF CD CF DF CF BE 答 小明从A点到C点上升的高度CD是千米 6分 B组2014 2018年全国中考题组 考点1锐角三角函数 1 2018云南 12 4分 在Rt ABC中 C 90 AC 1 BC 3 则 A的正切值为 A 3B C D 答案A AC 1 BC 3 C 90 tanA 3 2 2017甘肃兰州 3 4分 如图 一个斜坡长130m 坡顶离水平地面的距离为50m 那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于 A B C D 答案C在直角三角形中 根据勾股定理可知水平的直角边长为120m 故这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于 故选C 思路分析先利用勾股定理求得第三边的长 再利用正切的定义求正切值 3 2016天津 2 3分 sin60 的值等于 A B C D 答案Csin60 故选C 4 2015天津 2 3分 cos45 的值等于 A B C D 答案Bcos45 5 2015内蒙古包头 4 3分 在Rt ABC中 C 90 若斜边AB是直角边BC的3倍 则tanB的值是 A B 3C D 2 答案D在Rt ABC中 设BC x x 0 则AB 3x AC 2x 则tanB 2 故选D 6 2015内蒙古包头 11 3分 已知下列命题 在Rt ABC中 C 90 若 A B 则sinA sinB 四条线段a b c d中 若 则ad bc 若a b 则a m2 1 b m2 1 若 x x 则x 0 其中原命题与逆命题均为真命题的是 A B C D 答案A由 x x 可知 x 0 所以x 0 所以命题 错误 命题 及其逆命题均正确 故选A 7 2015黑龙江哈尔滨 6 3分 如图 某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C 此时飞行高度AC 1200m 从飞机上看地平面指挥台B的俯角 30 则飞机所在A处与指挥台B的距离为 A 1200mB 1200mC 1200mD 2400m 答案D由 B 30 sinB 得AB 1200 2 2400 所以飞机所在A处与指挥台B的距离为2400m 故选D 8 2017四川绵阳 18 3分 如图 过锐角 ABC的顶点A作DE BC AB恰好平分 DAC AF平分 EAC交BC的延长线于点F 在AF上取点M 使得AM AF 连接CM并延长交直线DE于点H 若AC 2 AMH的面积是 则的值是 答案8 解析过H作HG AC于点G 如图 AF平分 EAC EAF CAF DE BF EAF AFC CAF AFC CF CA 2 AM AF AM MF 1 2 DE BF AH 1 S AHC 3S AHM 2GH GH 在Rt AHG中 AG GC AC AG 2 8 解题思路过H作HG AC于点G 构造直角三角形 再分别求出相应的边即可 考点2解直角三角形 1 2016重庆 11 4分 某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动 如图 在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36 然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处 然后再沿水平方向行走6米至大树底端D处 斜面AB的坡度 或坡比 i 1 2 4 那么大树CD的高度约为 参考数据 sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 A 8 1米B 17 2米C 19 7米D 25 5米 2 2014广西南宁 11 3分 如图 在 ABCD中 点E是AD的中点 延长BC到点F 使CF BC 1 2 连接DF EC 若AB 5 AD 8 sinB 则DF的长等于 A B C D 2 答案C CF BC 1 2 AD BC 8 BF 8 4 12 过D作DG BF 交BF于点G AB CD B DCF sinB sin DCF 在Rt DCG中 CD 5 DG 4 CG 3 FG BF BG 12 8 3 1 DF 评析本题主要考查了平行四边形 勾股定理 锐角三角函数等相关知识的综合应用 3 2016宁夏 14 3分 如图 Rt AOB中 AOB 90 OA在x轴上 OB在y轴上 点A B的坐标分别为 0 0 1 把Rt AOB沿着AB对折得到 AO B 则点O 的坐标为 答案 解析如图 作O C OA 垂足为C 在Rt AOB中 OA OB 1 AOB 90 tan BAO BAO 30 由题意可得AO AO O AB OAB 30 O AO 60 在Rt O AC中 AC AO cos60 O C AO sin60 OC AO AC O 4 2015辽宁沈阳 16 4分 如图 正方形ABCD绕点B逆时针旋转30 后得到正方形BEFG EF与AD相交于点H 延长DA交GF于点K 若正方形ABCD边长为 则AK 答案2 3 解析如图 延长BA交GF于点N 由旋转的性质得 GBN EBC 30 GB AB 在Rt GBN中 GB GBN 30 BN 2 AN BN AB 2 NAK G 90 KNA NKA 90 KNA GBN 90 NKA GBN 30 同角的余角相等 在Rt KAN中 AN 2 NKA 30 AK 2 3 评析本题考查正方形的性质 旋转的性质和解直角三角形的有关知识 综合性较强 5 2014浙江宁波 17 4分 为解决停车难的问题 在如图一段长56米的路段开辟停车位 每个车位是长5米宽2 2米的矩形 矩形的边与路的边缘成45 角 那么这个路段最多可以划出个这样的停车位 1 4 答案17 解析如图 BC 2 2 cos45 2 2 1 54米 CE 5 sin45 5 3 5米 BE BC CE 5 04米 EF 2 2 sin45 2 2 3 14米 56 5 04 3 14 1 50 96 3 14 1 16 1 17 个 故这个路段最多可以划出17个这样的停车位 评析本题考查了解直角三角形的应用 主要是三角函数及其运算 关键是把实际问题转化为数学问题加以计算 6 2018天津 22 10分 如图 甲 乙两座建筑物的水平距离BC为78m 从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48 测得底部C处的俯角为58 求甲 乙建筑物的高度AB和DC 结果取整数 参考数据 tan48 1 11 tan58 1 60 解析如图 过点D作DE AB 垂足为E 则 AED BED 90 由题意可知 BC 78 ADE 48 ACB 58 ABC 90 DCB 90 可得四边形BCDE为矩形 ED BC 78 DC EB 在Rt ABC中 tan ACB AB BC tan58 78 1 60 125 在Rt AED中 tan ADE AE ED tan48 DC EB AB AE BC tan58 ED tan48 78 1 60 78 1 11 38 答 甲建筑物的高度AB约为125m 乙建筑物的高度DC约为38m 思路分析过点D作DE AB 构造直角 ADE和矩形BCDE 通过解直角 ABC和直角 ADE可求出答案 方法总结解直角三角形的应用 一般根据题意抽象出几何图形 结合所给的线段或角 借助角 边关系 三角函数的定义解题 若几何图形中无直角三角形 则需要根据条件构造直角三角形 再解直角三角形 求出实际问题的答案 7 2017河南 19 9分 如图所示 我国两艘海监船A B在南海海域巡航 某一时刻 两船同时收到指令 立即前往救援遇险抛锚的渔船C 此时 B船在A船的正南方向5海里处 A船测得渔船C在其南偏东45 方向 B船测得渔船C在其南偏东53 方向 已知A船的航速为30海里 小时 B船的航速为25海里 小时 问C船至少要等待多长时间才能得到救援 参考数据 sin53 cos53 tan53 1 41 解析过点C作CD AB交AB延长线于点D 则 CDA 90 1分 已知 CAD 45 设CD x海里 则AD CD x海里 BD AD AB x 5 海里 3分 在Rt BDC中 CD BD tan53 即x x 5 tan53 x 20 6分 BC 20 25海里 B船到达C船处约需时间 25 25 1 小时 7分 在Rt ADC中 AC x 1 41 20 28 2海里 A船到达C船处约需时间 28 2 30 0 94 小时 8分 而0 94 1 所以C船至少要等待0 94小时才能得到救援 9分 解题技巧本题是解三角形两种典型问题中的一种 以下介绍两种典型问题 1 如图 当BC a时 设AD x 则CD BD CD BD a a x 2 如图 当BC a时 设AD x 则BD CD CD BD a a x 8 2016宁夏 21 6分 在等边 ABC中 点D E分别在边BC AC上 若CD 2 过点D作DE AB 过点E作EF DE 交BC的延长线于点F 求EF的长 解析 ABC为等边三角形 A B ACB 60 DE AB EDF B 60 DEC A 60 CDE为等边三角形 DE CD 2 4分 EF DE DEF 90 在Rt DEF中 EF DE tan60 2 6分 9 2014河南 19 9分 在中俄 海上联合 2014 反潜演习中 我军舰A测得潜艇C的俯角为30 位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68 试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度 结果保留整数 参考数据 sin68 0 9 cos68 0 4 tan68 2 5 1 7 解析过点C作CD AB 交BA的延长线于点D 则AD即为潜艇C的下潜深度 根据题意得 ACD 30 BCD 68 设AD x米 则BD BA AD 1000 x 米 在Rt ACD中 CD x米 4分 在Rt BCD中 BD CD tan68 x tan68 米 1000 x x tan68 7分 x 308 潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米 9分 10 2014黑龙江哈尔滨 24 6分 如图 AB CD为两个建筑物 建筑物AB的高度为60米 从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角 EAC为30 测得建筑物CD的底部D点的俯角 EAD为45 1 求两建筑物底部之间水平距离BD的长度 2 求建筑物CD的高度 结果保留根号 C组教师专用题组 考点1锐角三角形 1 2018贵州贵阳 7 3分 如图 A B C是小正方形的顶点 且每个小正方形的边长都为1 则tan BAC的值为 A B 1C D 答案B如图 连接BC 在 ABD和 BCE中 ABD BCE SAS AB BC ABD BCE BCE CBE 90 ABD CBE 90 即 ABC 90 tan BAC 1 故选B 2 2014贵州贵阳 6 3分 在Rt ABC中 C 90 AC 12 BC 5 则sinA的值为 A B C D 答案D在Rt ABC中 C 90 AC 12 BC 5 所以AB 13 所以sinA 故选D 3 2014广东广州 3 3分 如图 在边长为1的小正方形组成的网格中 ABC的三个顶点均在格点上 则tanA A B C D 答案D AB 3 BC 4 ABC 90 tanA 故选D 4 2014天津 2 3分 cos60 的值等于 A B C D 答案A本题考查特殊角的三角函数值 60 角的余弦值是 故选A 考点2解直角三角形 1 2015连云港 16 3分 如图 在 ABC中 BAC 60 ABC 90 直线l1 l2 l3 l1与l2之间距离是1 l2与l3之间距离是2 且l1 l2 l3分别经过点A B C 则边AC的长为 答案 解析过B作l1的垂线与l1和l3分别相交于D E两点 得到Rt ABD与Rt BCE BD 1 BE 2 DE 3 易求得 ABD BCE ADB BEC 90 ABD BCE 在Rt ABC中 BAC 60 tan60 AD 在Rt ABD中 由勾股定理得AB AC 评析本题需要构造直角三角形 综合考查了学生对平行线的性质 平行线间的距离 勾股定理的应用的掌握程度 难度高 计算量大 逻辑思维要求高 属于较难题 2 2015江西南昌 12 3分 图1是小志同学书桌上的一个电子相框 将其侧面抽象为如图2所示的几何图形 已知AB AC 15cm BAC 40 则点A到BC的距离为cm 参考数据 sin20 0 342 cos20 0 940 sin40 0 643 cos40 0 766 结果精确到0 1cm 可用科学计算器 答案14 1 解析过点A作AD BC于点D 因为AB AC BAC 40 所以 DAC BAC 20 在Rt ADC中 AD AC cos20 15 0 940 14 1cm 3 2018湖北黄冈 21 7分 如图 在大楼AB正前方有一斜坡CD 坡角 DCE 30 楼高AB 60米 在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60 在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45 其中点A C E在同一直线上 1 求坡底C点到大楼距离AC的值 2 求斜坡CD的长度 解析 1 在Rt ABC中 AB 60米 ACB 60 AC 20米 2 过点D作DF AB于点F 则四边形AEDF为矩形 AF DE DF AE 设CD x米 在Rt CDE中 DE x米 CE x米 在Rt BDF中 BDF 45 BF DF AB AF 米 DF AE AC CE 20 x 60 x 解得x 80 120 即CD 80 120 米 4 2016连云港 25 10分 如图 在 ABC中 C 150 AC 4 tanB 1 求BC的长 2 利用此图形求tan15 的值 精确到0 1 参考数据 1 4 1 7 2 2 5 2016安徽 19 10分 如图 河的两岸l1与l2相互平行 A B是l1上的两点 C D是l2上的两点 某人在点A处测得 CAB 90 DAB 30 再沿AB方向前进20米到达点E 点E在线段AB上 测得 DEB 60 求C D两点间的距离 解析如图 过D作l1的垂线 垂足为F DEB 60 DAB 30 ADE DEB DAB 30 ADE为等腰三角形 DE AE 20 米 3分 在Rt DEF中 EF DE cos60 20 10 米 6分 DF AF DFB 90 AC DF 已知l1 l2 CD AF 四边形ACDF为矩形 CD AF AE EF 30 米 答 C D两点间的距离为30米 10分 6 2016陕西 20 7分 某市为了打造森林城市 树立城市新地标 实现绿色 共享发展理念 在城南建起了 望月阁 及环阁公园 小亮 小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量 望月阁 的高度 来检验自己掌握知识和运用知识的能力 他们经过观察发现 观测点与 望月阁 底部间的距离不易测得 因此经过研究需要两次测量 于是他们首先用平面镜进行测量 方法如下 如图 小芳在小亮和 望月阁 之间的直线BM上平放一平面镜 在镜面上做了一个标记 这个标记在直线BM上的对应位置为点C 镜子不动 小亮看着镜面上的标记 他来回走动 走到点D时 看到 望月阁 顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合 这时 测得小亮眼睛与地面的距离ED 1 5米 CD 2米 然后 在阳光下 他们用测影长的方法进行了第二次测量 方法如下 如图 小亮从D点沿DM方向走了16米 到达 望月阁 影子的末端F点处 此时 测得小亮的影长FH 2 5米 身高FG 1 65米 如图 已知 AB BM ED BM GF BM 其中 测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计 请你根据题中提供的相关信息 求出 望月阁 的高AB的长度 解析由题意得 ABC EDC GFH 90 ACB ECD AFB GHF ABC EDC ABF GFH 3分 即 5分 解得AB 99 所以 望月阁 的高度为99米 7分 7 2016天津 22 10分 小明上学途中要经过A B两地 由于A B两地之间有一片草坪 所以需要走路线AC CB 如图 在 ABC中 AB 63m A 45 B 37 求AC CB的长 结果保留小数点后一位 参考数据 sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 取1 414 解析如图 过点C作CD AB 垂足为D 在Rt ACD中 tanA sinA A 45 AD CD AC CD 在Rt BCD中 tanB sinB B 37 BD CB AD BD AB AB 63 CD 63 解得CD 27 00 AC 1 414 27 00 38 178 38 2 CB 45 0 答 AC的长约等于38 2m CB的长约等于45 0m 8 2015南京 23 8分 如图 轮船甲位于码头O的正西方向A处 轮船乙位于码头O的正北方向C处 测得 CAO 45 轮船甲自西向东匀速行驶 同时轮船乙沿正北方向匀速行驶 它们的速度分别为45km h和36km h 经过0 1h 轮船甲行驶至B处 轮船乙行驶至D处 测得 DBO 58 此时B处距离码头O有多远 参考数据 sin58 0 85 cos58 0 53 tan58 1 60 解析设B处距离码头Oxkm 在Rt CAO中 CAO 45 tan CAO CO AO tan CAO 45 0 1 x tan45 4 5 x 2分 在Rt DBO中 DBO 58 tan DBO DO BO tan DBO x tan58 4分 DC DO CO 36 0 1 x tan58 4 5 x x 13 5 因此 B处距离码头O大约13 5km 8分 9 2015内蒙古呼和浩特 19 6分 如图 热气球的探测器显示 从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30 看这栋高楼底部C的俯角为65 热气球与高楼的水平距离AD为120m 求这栋高楼的高度 结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可 解析在Rt ABD中 tan30 BD AD tan30 120 40 2分 在Rt ACD中 tan65 CD 120 tan65 4分 BC BD CD 40 120 tan65 m 答 这栋高楼的高度为 40 120 tan65 m 6分 10 2015贵州遵义 21 8分 如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图 已知BC 4米 AB 6米 中间平台宽度DE 1米 EN DM CB为三根垂直于AB的支柱 垂足分别为N M B EAB 31 DF BC于F CDF 45 求DM和BC的水平距离BM 结果精确到0 1米 参考数据 sin31 0 52 cos31 0 86 tan31 0 60 解析设DF x米 在Rt DFC中 CDF 45 CF tan45 DF x米 2分 又 CB 4米 BF 4 x 米 3分 AB 6米 DE 1米 BM DF x米 AN 5 x 米 EN DM BF 4 x 米 4分 在Rt ANE中 EAN 31 EN 4 x 米 AN 5 x 米 tan31 0 60 6分 解得x 2 5 7分 答 DM和BC的水平距离BM为2 5米 8分 11 2015重庆 24 10分 某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD 其中AB CD 大坝顶上有一瞭望台PC PC正前方有两艘渔船M N 观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角 为31 渔船N的俯角 为45 已知MN所在直线与PC所在直线垂直 垂足为E 且PE长为30米 1 求两渔船M N之间的距离 结果精确到1米 2 已知坝高24米 坝长100米 背水坡AD的坡度i 1 0 25 为提高大坝防洪能力 请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固 坝底BA加宽后变为BH 加固后背水坡DH的坡度i 1 1 75 施工队施工10天后 为尽快完成加固任务 施工队增加了机械设备 工作效率提高到原来的2倍 结果比原计划提前20天完成加固任务 施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米 参考数据 tan31 0 60 sin31 0 52 解析 1 由题意得 E 90 PME 31 PNE 45 PE 30米 在Rt PEN中 PE NE 30 米 2分 在Rt PEM中 tan31 ME 50 米 4分 MN ME NE 50 30 20 米 答 两渔船M N之间的距离约为20米 5分 2 过点D作DG AB于G 坝高DG 24米 背水坡AD的坡度i 1 0 25 DG AG 1 0 25 AG 6 米 加固后背水坡DH的坡度i 1 1 75 DG GH 1 1 75 GH 42 米 AH GH GA 42 6 36 米 6分 S ADH AH DG 36 24 432 平方米 需要填筑土石方432 100 43200 立方米 7分 设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米 根据题意 得10 20 9分 解方程 得x 864 经检验 x 864是原方程的根且符合题意 答 施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米 10分 12 2015宁夏 26 10分 如图是一副学生用的三角板 在 ABC中 ACB 90 A 60 B 30 在 A1B1C1中 C1 90 C1A1B1 45 B1 45 且A1B1 CB 若将边A1C1与边CA重合 其中点A1与点C重合 将三角板A1B1C1绕点C A1 按逆时针方向旋转 旋转过的角度为 旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M 设AC a 1 计算A1C1的长 2 当 30 时 证明B1C1 AB 3 若a 当 45 时 计算两个三角板重叠部分图形的面积 4 当 60 时 用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积 参考数据 sin15 cos15 tan15 2 sin75 cos75 tan75 2 解析 1 在Rt ABC中 AC a A 60 BC AC tan60 a A1B1 BC a 在Rt A1B1C1中 B1 45 A1C1 A1B1 sin45 a 2分 2 证明 当 30 即 ACC1 30 时 A 60 AMC 90 即CC1 AB CC1 B1C1 B1C1 AB 4分 3 当 45 时 B1A1恰好与BC重合 过点C作CH AB于H CH ACsin60 a CM 2 6分 S CMB CM B1C1 2 a 3 1 7分 4 当 60 时 A1M AC a 设B1C1分别与AB BC交于点N Q 13 2015浙江绍兴 20 8分 如图 从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ 测得杆顶端点P的仰角是45 向前走6m到达B点 测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60 和30 1 求 BPQ的度数 2 求该电线杆PQ的高度 结果精确到1m 备用数据 1 7 1 4 14 2015天津 22 10分 如图 某建筑物BC顶部有一旗杆AB 且点A B C在同一条直线上 小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47 观测旗杆底部B的仰角为42 已知点D到地面的距离DE为1 56m EC 21m 求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度 结果保留小数点后一位 参考数据 tan47 1 07 tan42 0 90 评析本题考查解直角三角形 属容易题 15 2015湖南郴州 22 8分 如图 要测量A点到河岸BC的距离 在B点测得A点在B点的北偏东30 方向上 在C点测得A点在C点的北偏西45 方向上 又测得BC 150m 求A点到河岸BC的距离 结果保留整数 参考数据 1 41 1 73 16 2015安徽 18 8分 如图 平台AB高为12米 在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45 底部点C的俯角为30 求楼房CD的高度 1 7 解析作BE CD于点E 则CE AB 12 在Rt BCE中 BE 12 3分 在Rt BDE中 DE BE tan DBE 12 tan45 12 6分 CD CE DE 12 12 32 4 楼房CD的高度约为32 4米 8分 17 2015天津 24 10分 将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中 点A 0 点B 0 1 点O 0 0 过边OA上的动点M 点M不与点O A重合 作MN AB于点N 沿着MN折叠该纸片 得顶点A的对应点A 设OM m 折叠后的 A MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S 1 如图 当点A 与顶点B重合时 求点M的坐标 2 如图 当点A 落在第二象限时 A M与OB相交于点C 试用含m的式子表示S 3 当S 时 求点M的坐标 直接写出结果即可 解析 1 在Rt ABO中 点A 0 点B 0 1 点O 0 0 OA OB 1 由OM m 得AM OA OM m 根据题意 由折叠可知 BMN AMN 有BM AM m 在Rt MOB中 由勾股定理得 BM2 OB2 OM2 得 m 2 1 m2 解得m 点M的坐标为 2 在Rt ABO中 tan OAB OAB 30 由MN AB 得 MNA 90 在Rt AMN中 得MN AM sin OAB m AN AM cos OAB m S AMN MN AN m 2 由折叠可知 A MN AMN 有 A OAB 30 A MO A OAB 60 在Rt COM中 CO OM tan A MO m S COM OM CO m2 又S ABO OA OB 于是 S S ABO S AMN S COM m 2 m2 即S m2 m 3 评析本题考查图形的折叠与解直角三角形 有一定难度 18 2014江西 21 8分 图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成 每相邻两个菱形均成30 的夹角 示意图如图2所示 在图2中 每个菱形的边长为10cm 锐角为60 1 连接CD EB 猜想它们的位置关系并加以证明 2 求A B两点之间的距离 结果取整数 可以使用计算器 参考数据 1 41 1 73 2 45 同理 EDB EBD 45 又由 1 知 CDE 90 CDA CDE EDB 180 即点A D B在同一直线上 4分 连接GH交AC于点M 由菱形的性质可知 CMH 90 CM AC 在Rt CMH中 CM CH cos 1 10 cos30 5 CD AC 2CM 10 6分 在Rt ACD中 AD 10 7分 同理 BD 10 AB AD DB 20 20 2 45 49 答 A B两点之间的距离约为49cm 8分 解法二 连接CD DE AB 延长AC交BE的延长线于点F 19 2014广东 20 7分 如图 某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度 他们先在点A处测得树顶C的仰角为30 然后沿AD方向前行10m 到达B点 在B处测得树顶C的仰角为60 A B D三点在同一直线上 请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度 结果精确到0 1m 参考数据 1 414 1 732 解析 CAB 30 CBD 60 ACB 60 30 30 CAB ACB BC AB 10 3分 在Rt CBD中 sin60 CD BC sin60 10 5 8 7 m 答 这棵树高约8 7m 7分 20 2014浙江绍兴 21 10分 九 1 班同学在上学期的社会实践活动中 对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量 1 如图1 第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上 使得DB与CB的长度相等 如果测量得到 CDB 38 求护墙与地面的倾斜角 的度数 2 如图2 第二小组用皮尺量得EF为16米 E为护墙上的端点 EF的中点离地面FB的高度为1 9米 请你求出E点离地面FB的高度 3 如图3 第三小组利用第一 二小组的结果 来测量护墙上旗杆的高度 在点P测得旗杆顶端A的仰角为45 向前走4米到达Q点 测得A的仰角为60 求旗杆AE的高度 精确到0 1米 备用数据 tan60 1 732 tan30 0 577 1 732 1 414 21 2014山东青岛 20 8分 如图 小明想测山高和索道的长度 他在B处仰望山顶A 测得仰角 B 31 再往山的方向 水平方向 前进80m至索道口C处 沿索道方向仰望山顶 测得仰角 ACE 39 1 求这座山的高度 小明的身高忽略不计 2 求索道AC的长 结果精确到0 1m 参考数据 tan31 sin31 tan39 sin39 解析 1 过点A作AD BE于D 设山AD的高度为xm 在Rt ABD中 ADB 90 tan31 BD xm 在Rt ACD中 ADC 90 tan39 CD xm BC BD CD x x 80 解这个方程 得x 180 即山的高度为180m 6分 2 在Rt ACD中 ADC 90 sin39 AC 282 9 m 答 索道AC的长约为282 9m 8分 评析本题是解直角三角形的典型题目 由一般三角形转化为直角三角形 并利用三角函数进行运算 关键是把实际问题转化为数学问题加以解决 22 2014内蒙古呼和浩特 18 6分 如图 一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向 距离灯塔80海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东45 方向上的B处 这时 海轮所在的B处距离灯塔P有多远 结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可 解析过点P作PD AB于D 1分 由题意知 DPB PBD 45 在Rt PBD中 sinB sin45 PB PD 2分 点A在P的北偏东65 方向上 APD 25 在Rt PAD中 cos APD cos25 PD PAcos25 80cos25 5分 PB 80cos25 海里 6分 解题关键作垂线构造直角三角形是解决本题的关键 23 2014甘肃兰州 24 8分 如图 在电线杆上的C处引拉线CE CF固定电线杆 拉线CE和地面成60 角 在离电线杆6米处安置测角仪AB 在A处测得电线杆上C处的仰角为30 已知测角仪AB的高为1 5米 求拉线CE的长 结果保留根号 评析本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形 并结合图形利用特殊角的三角函数值解直角三角形 属中等难度题 24 2014山西 21 7分 如图 点A B C表示某旅游景区三个缆车站的位置 线段AB BC表示连接缆车站的钢缆 已知A B C三点在同一铅直平面内 它们的海拔高度AA BB CC 分别为110米 310米 710米 钢缆AB的坡度i1 1 2 钢缆BC的坡度i2 1 1 景区因改造缆车线路 需要从A到C直线架设一条钢缆 那么钢缆AC的长度是多少米 注 坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 25 2014盐城 23 10分 盐城电视塔是我市标志性建筑之一 如图 在一次数学课外实践活动中 老师要求测电视塔的高度AB 小明在D处用高1 5m的测角仪CD 测得电视塔顶端A的仰角为30 然后向电视塔前进224m到达E处 又测得电视塔顶端A的仰角为60 求电视塔的高度AB 取1 73 结果精确到0 1m 解析 ACF 30 AFG 60 CAF AFG ACF 30 CAF ACF CF AF CF DE 224 AF 224 在Rt AGF中 sin AFG AG AF sin60 224 112 AB AG GB AG CD 112 1 5 195 3m 答 电视塔的高度AB为195 3m 26 2014南京 23 8分 如图 梯子斜靠在与地面垂直 垂足为O 的墙上 当梯子位于AB位置时 它与地面所成的角 ABO 60 当梯子底端向右滑动1m 即BD 1m 到达CD位置时 它与地面所成的角 CDO 51 18 求梯子的长 参考数据 sin51 18 0 780 cos51 18 0 625 tan51 18 1 248 解析设梯子的长为xm 在Rt ABO中 cos ABO OB AB cos ABO x cos60 x 在Rt CDO中 cos CDO OD CD cos CDO x cos51 18 0 625x BD OD OB 0 625x x 1 解得x 8 答 梯子的长约为8m 27 2014泰州 22 10分 图 分别是某种型号跑步机的实物图与示意图 已知踏板CD长为1 6m CD与地面DE的夹角 CDE为12 支架AC长为0 8m ACD为80 求跑步机手柄的一端A的高度h 精确到0 1m 参考数据 sin12 cos78 0 21 sin68 cos22 0 93 tan68 2 48 解析过C点作FG AB交AB于F 交DE于G CD与地面DE的夹角 CDE为12 ACD为80 ACF 90 12 80 22 CAF 68 在Rt ACF中 CF AC sin CAF 0 8 0 93 0 744m 在Rt CDG中 CG CD sin CDE 1 6 0 21 0 336m FG FC CG 1 08m 1 1m 答 跑步机手柄的一端A的高度h约为1 1m 28 2014重庆 20 7分 如图 ABC中 AD BC 垂足是D 若BC 14 AD 12 tan BAD 求sinC的值 解析 AD BC tan BAD 1分 tan BAD AD 12 2分 BD 9 3分 CD BC BD 14 9 5 4分 在Rt ADC中 AC 13 6分 sinC 7分 A组2016 2018年模拟 基础题组 三年模拟 考点1锐角三角函数 1 2016南京一模 5 在边长为1的小正方形组成的网格中 BAC如图所示放置 则cos BAC等于 A 3B C D 答案D如图 在Rt DAE中 AE 1 DE 3 则AD cos BAC 故选D 2 2018无锡宜兴一模 18 在如图所示的正方形方格纸中 每个小的四边形都是相同的正方形 A B C D都在格点处 AB与CD相交于O 则tan BOD的值为 答案3 解析解法一 平移CD到C D 交AB于O 如图所示 则 BO D BOD tan BOD tan BO D 设每个小正方形的边长为a 则O B a O D 2a BD 3a 作BE O D 于点E 则BE O E tan BO E 3 tan BOD 3 故答案为3 解法二 如图 连接AM NL 在 CAH中 AC AH 则AM CH 同理 在 MNH中 NM NH 则NL MH 思路分析根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理 通过转化的数学思想可以求得tan BOD的值 本题得以解决 解题关键本题考查解直角三角形 解答本题的关键是明确题意 作出合适的辅助线 利用勾股定理和等积法解答 考点2解直角三角形 1 2018盐城一模 14 如图所示 某拦水大坝的横断面为梯形ABCD AE DF为梯形的高 其中迎水坡AB的坡角 45 坡长AB 10米 背水坡CD的坡度i 1 则背水坡的坡长CD为米 答案20 解析 迎水坡AB的坡角 45 坡长AB 10米 AE 10 sin45 10 米 DF 10米 背水坡CD的坡度i 1 tanC C 30 则DC 2DF 20 米 解题关键此题主要考查了解直角三角形的应用 坡度问题 解题关键是构造直角三角形 掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比 2 2017无锡江阴一模 18 如图 矩形OABC的边OA OC分别在x轴 y轴上 点B的坐标为 7 3 点E在边AB上 且AE 1 已知点P为y轴上一动点 连接EP 过点O作直线EP的垂线段 垂足为H 在点P从点F运动到原点O的过程中 点H的运动路径长为 答案 解析如图 连接OE 当点P与点F重合时 S OPE 7 在Rt OEA中 OE 5 PE S OPE PE OH OH OH 5 在Rt OEH中 sin OEH OEH 45 取OE的中点M 连HM 则HM OE 易证当点P从点F运动到点O时 点H在以M为圆心 HM为半径的圆上 此时H运动到O 圆心角为 2 OEH 90 点H的运动路径长是 3 2018徐州一模 26 如图 在电线杆CD上的C处引拉线CE CF固定电线杆 拉线CE和地面所成的角 CED 60 在离电线杆6m的B处安置高为1 5m的测角仪AB 在A处测得电线杆上C处的仰角为30 求拉线CE的长 结果保留根号 解析如图 过点A作AH CD 垂足为H 由题意可知四边形ABDH为矩形 CAH 30 AB DH 1 5 BD AH 6 在Rt ACH中 tan CAH CH AH tan CAH CH AH tan CAH 6tan30 6 2 米 DH 1 5 CD 2 1 5 在Rt CDE中 CED 60 sin CED CE 4 答 拉线CE的长约为 4 米 4 2018淮安一模 23 如图 甲 乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼 乙沿南偏东30 方向以每小时15海里的速度航行 甲沿南偏西75 方向以每小时15海里的速度航行 当航行1小时后 甲在A处发现自己的渔具掉在乙船上 于是迅速改变航向和速度 仍以匀速沿南偏东60 方向追赶乙船 正好在B处追上 甲船追赶乙船的速度为多少海里 小时 解析如图 过O作OC AB于C 则 OAC 90 75 90 60 45 可知AO 15 海里 OC AC 15 15 海里 又 B 60 30 30 OCB 90 BC 15 海里 OB 15 2 30 海里 乙船从O点到B点所需时间为2小时 甲船追赶乙船速度为 15 15 海里 小时 数学思想本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题 结合航行中的实际问题 将解直角三角形的相关知识有机结合 体现了数学应用于实际生活的思想 5 2016南通启东二模 如图 已知 MON 25 矩形ABCD的边BC在OM上 AC ON 当AC 5时 求AD的长 参考数据 sin25 0 42 cos25 0 91 tan25 0 47 结果精确到0 1 解析延长AC交ON于点E AC ON OEC 90 在Rt OEC中 MON 25 OCE 65 ACB OCE 65 四边形ABCD是矩形 ABC 90 AD BC CAB 25 在Rt ABC中 BC AC sin25 5 0 42 2 1 AD BC 2 1 B组2016 2018年模拟 提升题组 时间 30分钟分值 40分 一 选择题 共3分 1 2018南通如皋 10 将一副三角板如图摆放在一起 组成四边形ABCD 连接AC 则tan ACD的值为 A 2B 2 C 1 D 2 解题关键本题考查了勾股定理 解直角三角形的应用 解此题的关键是构造直角三角形 并求出有关线段的长 二 解答题 共37分 2 2018淮安洪泽一模 23 如图 某单位在其办公楼迎街的墙面上垂挂一宣传条幅AE 小明同学站在C处测得条幅顶端A的仰角为45 测得条幅底端E的仰角为30 已知小明同学距离该单位办公楼的水平距离BC 30米 求宣传条幅AE的长 结果保留根号 解析如图 过D点作DF AB于F点 则BC DF 30 在Rt DEF中 EDF 30 DF 30 EF 10 在Rt ADF中 ADF 45 DF 30 AF 30 AE AF EF 30 10 答 宣传条幅AE的长为 30 10 米 解题关键此题主要考查了解直角三角形的应用 正确应用锐角三角函数是解题关键 3 2017苏州高新一模 22 如图 点B在线段AF上 分别以AB BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE 连接CF和DE CF交EG于点H 1 若E是BC的中点 求证 DE CF 2 若 CDE 30 求的值 解析 1 证明 E是BC的中点 BE CE 又BE BF BF CE 在 BCF和 CDE中 BCF CDE SAS DE CF 2 设CE x CDE 30 tan CDE CD x BC CD BE BC CE x x BF BE tan BCF BC GF BCF GFH tan GFH tan BCF 4 2016南京浦口二模 如图 有两棵大树AB CD 它们根部的距离AC 4米 小强沿正对着两棵大树的方向前进 如果小强的眼睛与地面的距离为1 6米 小强在P处时测得B的仰角为20 3 当小强前进5m到达Q处时 视线恰好经过两棵大树的顶端B和D 此时仰角为36 42 1 求大树AB的高度 2 求大树CD的高度 参考数据 sin20 3 0 35 cos20 3 0 94 tan20 3 0 37 sin36 42 0 59 cos36 42 0 80 tan36 42 0 74 解析 1 设FG x米 在Rt BEG中 BG EG tan BEG 在Rt BFG中 BG FG tan BFG x 5 0 37 0 74x 解得x 5 FG 5米 BG FG tan BFG 5 0 74 3 7米 AB AG BG 1 6 3 7 5 3米 答 大树AB的高度约为5 3米 2 在Rt DFH中 DH FH tan DFH 5 4