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第三章 数 列3.1 数列的概念及简单表示法基础自测1.下列对数列的理解有四种：数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集1，2，3，n）上的函数；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的序号是（ ）A.B.C.D. 答案 C2.（2009河池模拟）设an=-n2+10n+11，则数列an从首项到第几项的和最大（ ）A.10 B.11C.10或11D.12答案 C3.已知数列an的通项公式是an=，那么这个数列是（ ）A.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列答案A4.已知数列an的通项公式是an=则a2a3等于（ ）A.70B. 28C.20 D.8答案 C5.（2008 北京理，6）已知数列an对任意的p,qN*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10等于 （ ）A.-165 B.-33C.-30D.-21答案 C例1 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，； （2），；（3）-1，-，-，；（4），-1，-，-，；（5）3，33，333，3 333，.解 （1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，所以an=.（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，所以an=（-1）n.也可写为an=.（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第1、2两项可改写为，-，所以an=(-1)n+1.（5）将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,所以an=(10n-1).例2 已知数列的通项公式为an=.（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足=0.98，n2=0.98n2+0.98.n=7时成立，0.98是它的项.（2）an+1-an=0. 此数列为递增数列.例3 （12分）已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n2),a1=,求an.解 当n2时，an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即-=2， 4分数列是公差为2的等差数列. 6分又S1=a1=，=2，=2+（n-1）2=2n，Sn=. 8分当n2时，an=-2SnSn-1=-2=-， an=. 12分1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1），（2），2，8，（3）5，55，555，5 555，55 555，（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，（5）1，3，7，15，31，解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an=.（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：，可得通项公式an=.（3）联想=10n-1,则an=(10n-1),即an= (10n-1).（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，则an=5sin.（5）1=2-1，3=22-1，7=23-1，an=2n-1故所求数列的通项公式为an=2n-1.2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列an满足f（log2an）=-2n.（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列an是递减数列.（1）解 f（x）=2x-2-x，f（log2an）=2-2=-2n，即an-=-2n.a+2nan-1=0.an=，又an0，an=-n.（2）证明 an0，且an=-n,=1.an+1an.即an为递减数列.3.已知在正项数列an中，Sn表示前n项和且2=an+1，求an.解 2=an+1,Sn=(a+2an+1),Sn-1=(a+2an-1+1),当n2时，an=Sn-Sn-1=（a-a）+2（an-an-1），整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，an0，an-an-1=2，当n=1时，a1=1,an是以1为首项，2为公差的等差数列. an=2n-1 (nN*).一、选择题1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第100项是（ ）A.14B.12C.13 D.15答案 A2.数列an中，a1=1,对于所有的n2，nN*都有a1a2a3an=n2，则a3+a5等于（ ）A.B.C. D.答案 A3.数列-1,，-，的一个通项公式an是（ ）A. B.C. D. 答案 D4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块（用含n的代数式表示）（ ）A.4nB.4n+1 C.4n-3 D.4n+8答案 D5.（2009咸阳模拟）已知数列an的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5ak8，则k等于（ ）A.9B.8 C.7 D.6答案 B6.若数列an的通项公式an=，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)为（ ）A. B. C. D.答案 C二、填空题7.（2008沈阳模拟）数列an满足an+1=a1=，则数列的第2 008项为 .答案 8.（2009武汉武昌区调研测试）数列an中,a3=2,a7=1,数列是等差数列，则an= .答案 三、解答题9.已知数列an的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解 Sn满足log2(1+Sn)=n+1,1+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1.a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n2),an的通项公式为an=10.已知数列an中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n2,3Sn-4,an,2-总成等差数列.（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通项公式an.解 （1）当n2时，3Sn-4,an,2-成等差数列，2an=3Sn-4+2-Sn-1，an=3Sn-4（n2）.由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,a2=,a3=3-4,a3=-,a4=3-4,a4=.a2=，a3=-，a4=.（2）当n2时，an=3Sn-4,3Sn=an+4,可得:3an+1=an+1-an,=-，a2，a3，an成等比数列，an=a2qn-2=-，an=.11.在数列an中，a1=，an=1-(n2,nN*)，数列an的前n项和为Sn.（1）求证：an+3=an;(2）求a2 008.（1）证明 an+3=1-=1-=1-=1-=1-=1-=1-(1-an)=an.an+3=an.（2）解 由（1）知数列an的周期T=3，a1=，a2=-1，a3=2.又a2 008=a3669+1=a1=.a2 008=.12.已知二次函数f(x)=x2-ax+a (xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立.设数列an的前n项和Sn=f（n）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）求数列an的通项公式.解（1）f(x)0的解集有且只有一个元素，=a2-4a=0a=0或a=4，当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在（0，2）上递减，故存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立，当a=0时，函数f(x)=x2在（0,+）上递增，故不存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立，综上，得a=4,f(x)=x2-4x+4.（2）由（1）可知Sn=n2-4n+4,当n=1时，a1=S1=1,当n2时，an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-(n-1)2-4(n-1)+4=2n-5,an=.3.2 等差数列及其前n项和基础自测1.（2008广东理，2）记等差数列an的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6等于( )A.16B.24C.36D.48答案 D2.设an是等差数列，a10,a2 007+a2 0080,a2 007a2 0080成立的最大自然数n是（ ） A.4 013B.4 014C.4 015D.4 016答案B3.（2008全国理，5）已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10等于（ ） A.138 B.135 C.95 D.23答案C4.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且,则使得为整数的正整数n的个数是（ ） A.2 B.3 C.4D.5答案D5.数列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差数列，则2b+y-2a+x的值为（ ）A.正实数 B.负实数 C.零 D.不确定答案C例1 已知数列an满足a1=4,an=4-(n2),令bn=.求证：数列bn是等差数列.证明 an+1-2=2-=+-=，bn+1-bn=.数列bn是等差数列.例2 在等差数列an中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d0,求a1.解 （1）方法一 设首项为a1,公差为d,依条件得,解方程组得a61=-23+(61-1)4=217. 方法二 由d=,得d=4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+164=217.（2）a6=10,S5=5,.解方程组得a1=-5,d=3,a8=a6+2d=10+23=16,S8=8=44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有：,.d0,d=2,a-d=2.首项为2.a1=2.例3 （12分）在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解 方法一 a1=20，S10=S15，1020+d=1520+d，d=-. 4分an=20+（n-1）(-)=-n+. 8分a13=0. 即当n12时，an0,n14时，an0. 10分当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=1220+(-)=130. 12分方法二 同方法一求得d=-. 4分Sn=20n+(-)=-n2+n=-+. 8分nN+,当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130. 12分方法三 同方法一得d=-. 4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. 8分5a13=0,即a13=0. 10分当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130. 12分1.设两个数列an,bn满足bn=，若bn为等差数列，求证：an也为等差数列.证明 由题意有a1+2a2+3a3+nan=bn， 从而有a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=bn-1(n2), 由-，得nan=bn-bn-1,整理得an=,其中d为bn的公差(n2).从而an+1-an=-=(n2).又a1=b1，a2=a2-a1=-b1=.综上，an+1-an=d（nN*）.所以an是等差数列.2.（2009成都市第一次调研）设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn.解 设等差数列an的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d,S7=7,S15=75,即,解得,=a1+(n-1)d=-2+(n-1), -=,数列是等差数列,其首项为-2,公差为,Tn=n2-n.3.等差数列an中，a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小？解 由条件S9=S12可得9a1+d=12a1+d，即d=-a1.由a10知d0,即数列an为递增数列.方法一 由，得,解得10n11.当n为10或11时，Sn取最小值，该数列前10项或前11项的和最小.方法二 S9=S12，a10+a11+a12=3a11=0，a11=0.又a10,公差d0，从而前10项或前11项和最小.方法三 S9=S12，Sn的图象所在抛物线的对称轴为x=10.5,又nN*，a10,an的前10项或前11项和最小.方法四 由Sn=na1+d=+n，结合d=-a1得Sn=n2+n=-+a1 （a10），由二次函数的性质可知n=10.5时，Sn最小.又nN*，故n=10或11时Sn取得最小值.一、选择题1.等差数列an的前n项和为Sn，若a2=1,a3=3,则S4等于（ ）A.12B.10C.8D.6答案 C2.在等差数列an中，已知=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于（ ）A.40B.42C.43D.45答案 B3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.5B.4C.3D.2答案 C4.已知等差数列an的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为（ ）A.an=4n-3B. an=2n-1C.an=4n-2D.an=2n-3答案 A5.（2008大连模拟）在等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为 （ ）A.14B.15 C.16 D.17答案C6.等差数列an的前n项和满足S20=S40，下列结论中正确的是 （ ）A.S30是Sn中的最大值 B.S30是Sn中的最小值C.S30=0 D.S60=0 答案D二、填空题7.（2008重庆理，14）设Sn是等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= .答案 -728.已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5，a1、b1N*.设cn=(nN*),则数列cn的前10项和等于 .答案 85三、解答题9.已知数列an中，a1=，an=2- (n2,nN*),数列bn满足bn=(nN*).(1)求证：数列bn是等差数列；（2）求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.（1）证明 因为an=2-(n2,nN*),bn=.所以当n2时，bn-bn-1=-=-=-=1.又b1=-.所以，数列bn是以-为首项，以1为公差的等差数列.（2）解 由（1）知，bn=n-,则an=1+=1+.设函数f(x)=1+,易知f(x)在区间(-,)和(,+)内为减函数.所以，当n=3时，an取得最小值-1；当n=4时，an取得最大值3.10.等差数列an的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.解 设等差数列an的项数为2m+1,公差为d,则数列的中间项为am+1,奇数项有m+1项，偶数项有m项.依题意，有S奇=(m+1)am+1=216 S偶=mam+1=192 ,得=，解得,m=8,数列共有2m+1=17项，把m=8代入，得a9=24,又a1+a17=2a9，a17=2a9-a1=47，且d=.an=1+(n-1)=(nN*,n17).11.设Sn是等差数列an的前n项和，已知S3，S4的等比中项为S5; S3，S4的等差中项为1，求数列an的通项公式.解 方法一 设等差数列an的首项a1=a，公差为d，则Sn=na+d，依题意，有整理得a=1，d=0或a=4，d=-.an=1或an=，经检验，an=1和an=均合题意.所求等差数列的通项公式为an=1或an=.方法二 因Sn是等差数列的前n项和，易知数列是等差数列.依题意得解得或由此得a4=S4-S3=1，a5=S5-S4=1，或a4=-，a5=-，d=0或d=-.an=a4+（n-4）0=1或an=a4+（n-4）(-)=-n.故所求等差数列的通项公式an=1或an=-n.12.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117,a2+a5=22.（1）求通项an;(2)若数列bn满足bn=,是否存在非零实数c使得bn为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.解 （1）由等差数列的性质得，a2+a5=a3+a4=22,所以a3、a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以a3=9,a4=13.易知a1=1,d=4,故通项为an=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1)知Sn=2n2-n,所以bn=.方法一 所以b1=,b2=,b3=(c0).令2b2=b1+b3,解得c=-.当c=-时，bn=2n,当n2时，bn-bn-1=2.故当c=-时，数列bn为等差数列.方法二 当n2时，bn-bn-1=,欲使bn为等差数列，只需4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1) (c0)解得c=-.3.3 等比数列及其前n项和基础自测1.（2008海南、宁夏理，4）设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则等于（ ）A.2B.4C.D.答案 C2.等比数列an中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为（ ）A.1B.- C.1或-D.-1或答案 C3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么（ ）A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9答案 B4.在等比数列an中，已知a1a3a11=8，则a2a8等于（ ）A.16 B.6 C.12 D.4答案 D5.（2008浙江理，6）已知an是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+anan+1等于（ ）A.16（1-4-n） B. 16（1-2-n）C.（1-4-n） D.（1-2-n）答案 C例1 已知an为等比数列，a3=2，a2+a4=，求an的通项公式.解 方法一 设等比数列an的公比为q，则q0，a =，a4=a3q=2q，+2q=.解得q1=，q2=3.当q=时，a1=18，an=18()n-1=233-n.当q=3时，a1=，an=3n-1=23n-3.an=233-n或an=23n-3.方法二 由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4=，则a2，a4为方程x2-x+4=0的两根，解得或.当a2=时,q=3,an=a3qn-3=23n-3.当a2=6时，q=,an=233-nan=23n-3或an=233-n.例2（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且对任意nN*有an+Sn=n.（1）设bn=an-1,求证：数列bn是等比数列；（2）设c1=a1且cn=an-an-1 (n2)，求cn的通项公式.（1）证明 由a1+S1=1及a1=S1得a1=.又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得an+1-an+an+1=1,2an+1=an+1.2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.数列bn是以b1=a1-1=-为首项，为公比的等比数列. 6分（2）解 方法一 由（1）知2an+1=an+1.2an=an-1+1 (n2), 2an+1-2an=an-an-1,2cn+1=cn (n2). 8分又c1=a1=,a2+a1+a2=2,a2=.c2=-=,即c2=c1.数列cn是首项为，公比为的等比数列. 10分cn=()n-1=()n. 12分方法二 由（1）bn=(-)()n-1=-()n.an=-()n+1.cn=-()+1-=-=（n2）. 10分又c1=a1=也适合上式，cn=. 12分例3 在等比数列an中，a1+a2+a3+a4+a5=8且+=2,求a3.解 方法一 设公比为q,显然q1,an是等比数列，也是等比数列，公比为.由已知条件得,解得aq=4,a=（a1q2）2=4，a3=2.方法二 由已知得：+=2.a=4.a3=2.例4 某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩（全部成活）（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S.求S约为多少万立方米？（精确到0.1）解 （1）每年植树的亩数构成一个以a1=100，d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n年可将此山全部绿化，则Sn=a1n+(n-1)d=100n+50=3 250.解此方程，得n=10（年）.（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1（1+0.1）10，第二年种植的树在第10年后的木材量为2a2（1+0.1）9，第10年种植的树在年底的木材量为2a10(1+0.1),第10年后的木材量依次构成数列bn，则其和为T=b1+b2+b10=2001.110+3001.19+1 1001.11.0（万立方米）.答 需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.1.已知等比数列an中，a3=,S3=4,求a1.解 当q=1时，a1=a2=a3=,满足S3=4,当q1时，依题意有,解得q2=,a1=6.综上可得：a1=或a1=6.2.设数列an是等差数列，a5=6.（1）当a3=3时，请在数列an中找一项am,使得a3,a5,am成等比数列；（2）当a3=2时，若自然数n1,n2,nt, （tN*）满足5n1n2nt使得a3,a5,是等比数列，求数列nt的通项公式.解 （1）设an的公差为d,则由a5=a3+2d,得d=,由ama3=,即3=62，解得m=9.即a3,a5,a9成等比数列.（2）a3=2，a5=6，d=2，当n5时，an=a5+(n-5)d=2n-4,又a3,a5, ,成等比数列，则q=3,=a53t,t=1,2,3,. 又=2-4,2-4=a53t=63t,2=23t+1+4.即=3t+1+2,t=1,2,3,.3.（1）在等比数列an中，a1+a2=324，a3+a4=36，求a5+a6的值；（2）在等比数列an中，已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.解 （1）由等比数列的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6).a5+a6=4.（2）a3a5=a，a3a4a5=a=8，a4=2，又a2a6=a3a5=a，a2a3a4a5a6=a=32.4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）.解 设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a1=，经过n年后绿洲面积为an+1，设2006年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn+1，则a1+b1=1，an+bn=1.依题意an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%an的剩余面积92%an，另一部分是新绿化的12%bn，所以an+1=92%an+12%(1-an)=an+,即an+1-=(an-),是以-为首项，为公比的等比数列，则an+1=-n,an+150%,-n,n ,n=3.则当n4时，不等式n 恒成立.所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.一、选择题1.（2008福建理，3）设an是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列an的前7项的和为（ ）A.63B.64C.127D.128答案 C2.若数列an的前n项和Sn=3n-a，数列an为等比数列，则实数a的值是（ ）A.3B.1C.0D.-1答案 B3.设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2，则的值为（ ）A. B.C. D.1答案 A4.等比数列an前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是（ ）A.T10B.T13C. T17D. T25答案 C5.已知等比数列an的前n项和为Sn=x3n-1-，则x的值为（ ）A. B.-C.D.-答案 C6.(2008安庆模拟)已知等比数列an中，a1+a2=30，a3+a4=120，则a5+a6等于（ ）A.240B.240C.480D.480答案 C二、填空题7.（2009广西河池市模拟）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的2倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的公比为 ,项数为 .答案 2 88.（2008安庆模拟）设等比数列an的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，则通项an= .答案 2n-1或-（-2）n-1三、解答题9.数列an的前n项和为Sn，且Sn=(an-1).（1）求a1,a2;（2）证明：数列an是等比数列；（3）求an及Sn.（1）解 a1=S1=（a1-1），a1=-.又a1+a2=S2=(a2-1),a2=.（2）证明 Sn=（an-1），Sn+1=（an+1-1），两式相减，得an+1=an+1-an,即an+1=-an,数列an是首项为-，公比为-的等比数列.（3）解 由（2）得an=-(-)n-1=(-)n,Sn=.10.数列an中，a1=2,a2=3,且anan+1是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n (nN*).(1)求a3,a4,a5,a6的值；（2）求证：bn是等比数列.（1）解 anan+1是公比为3的等比数列，anan+1=a1a23n-1=23n，a3=6，a4=9，a5=18，a6=27.（2）证明 anan+1是公比为3的等比数列，anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，a1，a3，a5,，a2n-1，与a2,a4,a6，a2n，都是公比为3的等比数列.a2n-1=23n-1,a2n=33n-1，bn=a2n-1+a2n=53n-1.=3，故bn是以5为首项，3为公比的等比数列.11.设数列an的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3 （nN*），其中m为常数，且m-3,m0.（1）求证：an是等比数列；（2）若数列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,bn=f(bn-1) (nN,n2),求证：为等差数列，并求bn.证明 （1）由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减，得（3+m）an+1=2man,m-3,=0 (n1).an是等比数列.（2）由(3-m)S1+2ma1=m+3,解出a1=1,b1=1.q=f(m)= ,nN且n2时，bn=f(bn-1)= ，bnbn-1+3bn=3bn-1，推出-=.是以1为首项、为公差的等差数列.=1+=.bn=.12.（2008四川文，21）设数列an的前n项和Sn=2an-2n.（1）求a3，a4；（2）证明：an+1-2an是等比数列；（3）求an的通项公式.(1)解 因为a1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1=2.由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,得an+1=Sn+2n+1. 所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8,a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40.(2)证明 由题设和式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,所以an+1-2an是首项为2,公比为2的等比数列.(3)解 an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1)2n-1.3.4 数列的通项公式及求和基础自测1.如果数列an满足a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1，公比为3的等比数列，则an等于（ ）A. B. C.D.答案 C2.数列1,3,5,7,(2n-1)+,的前n项和Sn的值等于（ ）A. B.C. D.答案 A3.（2008武汉模拟）如果数列an满足a1=2,a2=1且(n2),则此数列的第10项为（ ）A. B. C. D.答案D4.设函数f（x）=xm+ax的导数为=2x+1，则数列（nN*）的前n项和是（ ）A. B. C. D.答案A5.（2009温州调研）设an是首项为1的正项数列，且（n+1）a-na+an+1an=0 (n=1,2,3,).则它的通项公式是an= .答案 例1 已知数列an满足an+1=,a1=2,求数列an的通项公式.解 已知递推式可化为-=,-=,-=,-=,-=,将以上(n-1)个式子相加得-=+,=1-,an=.例2 求和：Sn=+.解 （1）a=1时，Sn=1+2+n=.（2）a1时，Sn=+ Sn=+ 由-得Sn=+-=-,Sn=.综上所述，Sn=.例3 （12分）已知数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和Sn满足S=an(Sn-).（1）求Sn的表达式；（2）设bn=，求bn的前n项和Tn.解 （1）S=an，an=Sn-Sn-1（n2），S=（Sn-Sn-1）,即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn， 3分由题意Sn-1Sn0，式两边同除以Sn-1Sn，得-=2，数列是首项为=1，公差为2的等差数列. 4分=1+2（n-1）=2n-1，Sn=. 6分（2）又bn=， 8分Tn=b1+b2+bn=. 12分1.（2008江西理，5）在数列an中，a1=2，an+1=an+ln，则an等于（ ）A.2+lnnB.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn 答案 A2.（2008全国文，19）在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n.（1）设bn=.证明：数列bn是等差数列；（2）求数列an的前n项和Sn.（1）证明 an+1=2an+2n，=+1，bn=，bn+1=bn+1，即bn+1-bn=1,b1=1,故数列bn是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由（1）知,bn=n,an=n2n-1,则Sn=120+221+(n-1)2n-2+n2n-12Sn=121+222+(n-1)2n-1+n2n两式相减，得：Sn=n2n-120-21-2n-1=n2n-2n+1.3.（2009湖州模拟）已知数列an的前n项和Sn=an2+bn+c（nN*），且S1=3,S2=7,S3=13,（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn.解 （1）由已知有解得所以Sn=n2+n+1.当n2时，an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2+(n-1)+1=2n,所以an=(2)令bn=，则b1=.当n2时，bn=.所以Tn=b2+bn=.所以Tn= (nN*).一、选择题1.（2009成都市第一次诊断性检测）已知等差数列an的前n项和为Sn（nN*），且S3=-3，S7=7，那么公差d等于（ ）A.1B.2C.3D.4答案A2.数列an的通项公式an=，若前n项的和为10，则项数为（ ）A.11 B.99 C.120 D.121答案 C3.数列an的前n项和为Sn，若an=，则S5等于（ ）A.1 B. C. D.答案 B4.数列1，1+2，1+2+4，1+2+22+2n-1，的前n项和Sn1 020，那么n的最小值是（ ）A.7 B.8 C.9 D.10答案 D5.已知某数列前2n项和为(2n)3,且前n个偶数项的和为n2（4n+3），则它的前n个奇数项的和为（ ）A. -3n2（n+1） B.n2（4n-3） C.-3n2 D.n3答案 B6.1-4+9-16+(-1)n+1n2等于（ ）A. B.- C. D.以上答案均不对答案 C二、填空题7.（2008厦门模拟）已知数列an中,a1=20,an+1=an+2n-1,nN*,则数列an的通项公式an= .答案 n2-2n+218.（2008大连模拟）若数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an=(nN*),则an= .答案 三、解答题9.Sn是数列an的前n项和，an=，求Sn.解 an=1+=1+，Sn=n+（1-+-+-+-）=n+=n+=.10.（2008江西文，19）等差数列an的各项均为正数，a1=3,前n项和为Sn，bn为等比数列，b1=1，且b2S2=64,b3S3=960.（1）求an与bn;(2)求.解 (1)设an的公差为d、bn的公比为q，则d为正数，an=3+（n-1）d，bn=qn-1，依题意有解得或（舍去）.故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.（2）Sn=3+5+(2n+1)=n(n+2),所以=+=-.11.设数列an的前n项和Sn=2n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1.（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn=,求数列cn的前n项和Tn.解 （1）由于Sn=2n2,n=1时，a1=S1=2；n2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,当n=1时也适合.an=4n-2，b1=a1=2，b2（6-2）=b1=2，b2=，q=bn=2n-1.（2）cn=（2n-1）4n-1，Tn=1+34+542+（2n-1）4n-1，4Tn=4+342+（2n-3）4n-1+（2n-1）4n，-3Tn=1+24+242+24n-1-（2n-1）4n=1+2-（2n-1）4n=4n-，Tn=-4n.12.数列an的前n项和为Sn,a1
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