高数 数学极限总结.doc

函数极限总结一极限的产生极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的无穷算数中，牛顿在其自然哲学的数学原理一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（-和-N定义）。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。1二极限知识点总结1. 极限定义函数极限：设函数f(x)在点的x0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式时，对应的函数值 都满足不等式：那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限，记作。2单侧极限：.左极限：或 .右极限：或定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等 即。2. 极限概念函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x0以A为极限的定义是：对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|，那么常数A就叫做函数f(x)当 xx。时的极限。函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性23. 存在准则有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。准则.如果数列，及满足以下条件：（1） 从某项起，即，当时，有；（2） ；，那么数列的极限存在，且准则如果（1）当（或）时， （2）， 那么存在，且等于。夹逼定理：（1）当时，有成立（2）,那么，极限存在，且等于A【准则，准则合称夹逼定理】准则： 单调有界数列必有极限准则 ：设函数在点的某个左(右)邻域内单调并且有界，则在的左(右)极限必定存在3单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给,存在,使得当,时，有成立。2极限运算相关法则、定理及推论（1） .设、为同一极限过程下的无穷小 （无穷小）（2） .穷小之积为无穷小 （无穷小）推论：.常数与无穷小之积为无穷小 .有限个无穷小之积为无穷小（3） .有界函数与无穷小之积为无穷小 （4） .函数极限运算法则 定理：设，则若，则推论1.如果存在，而c为常数那么推论2. 则定理（复合函数求极限法则）设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，则。两个重要极限：.即若，则常用等价无穷小：当时， ， 计算极限方法总结（1） 直接带入求极限 例1.【解】 （2）约零因子求极限 例2.求极限【说明】x1表明x与1无限接近，但。所以x-1这一零因子可以约去。【解】（3）分子分母同除求极限（公式法）例3.求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限，可通过分子分母同除来求。【解】【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方（2）(4)分子(分母)有理化求极限例4.求极限【说明】分子分母有理化求极限，是通过有理化去除无理式【解】例5.求极限【解】【注】本题除使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。(5)应用两个重要极限求极限【说明】两个重要极限是和例6.求极限【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤：先凑出1，在凑，最后凑指数部分。【解】(6)用等价无穷小两代换求极限【说明】(1）常见的等价无穷小有:当x0时，x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln(1+x）=ex-1，1-cosx=,，。（2）等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式；（3）此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例7.求极限【解】例8.求极限【解】(7)用洛必达法则求极限例9.求极限【说明】和型的极限，可通过洛必达法则来求。【解】【注】有许多变动上限的积分表示的极限，常用洛必达法则求解。例10.设函数连续，且，求极限【解】由于，于是(8)用对数恒等式求极限例11.求极限【解】【注】对于形势的未定式，也可用公式因为例12.求极限【解1】原式=【解2】原式=4四参考文献1极限理论 https:/baike.baidu.com/item/%E6%9E%81%E9%99%90%E7%90%86%E8%AE%BA/5081808?fr=aladdin 2017.11.242函数极限 https:/baike.baidu.com/item/函数极限/727083?fr=aladdin 2017.11.24 3同济大数学系 高等数学 第七版 上册北京 高等教育出版社 1987年 4来自QQ空间 由大学生笔记墙整理