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工程力学第四章 平面任意力系第四章 平面任意力系4-1 平面任意力系概念及工程实例一、工程实例平面任意力系实例二、平面任意力系的概念各个力的作用线在同一平面内，但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面任意力系。=力线平移定理: 作用于刚体上任一点的力可平移到刚体上任一点而不改变对刚体的作用效应，但需增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力对新的作用点之矩矢。一、力的平移定理附加力偶4-2 平面任意力系的合成与平衡力线平移的几个性质：1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。=应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。 从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。二、平面任意力系向一点简化共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在点O 的力FR 。这个力矢FR 称为原平面任意力系的主矢。附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用MO 代表，称为原平面任意力系对简化中心 O 的主矩。结论： 平面任意力系向平面内任一点的简化结果，是一个作用在简化中心的主矢和一个对简化中心的主矩。推广：平面任意力系对简化中心O 的简化结果主矩：主矢：讨论 :主矢 大小:方向:说 明1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。主矩：作为平面一般力系简化结果的一个应用,我们来分析另一种常见约束-固定端约束的反力。固定端约束反力有三个分量：两个正交分力，一个反力偶。1、FR=0，而MO0，原力系合成为合力偶。这时力系主矩 MO不随简化中心位置而变。2、MO =0，而FR0，原力系合成为一个合力。作用于点O 的力FR就是原力系的合力,合力用FR表示。 3、FR0， MO 0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O 的力。这时力系也可合成为一个合力。说明如下：二、 平面任意力系简化的最后结果综上所述，可见：4、 FR=0，而MO=0，原力系平衡。 平面任意力系若不平衡，则当主矢不为零时，则该力系可以合成为一个力。 平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。例4-1 水平梁AB受三角形分布载荷的作用分布载荷的最大值为q（N/m）,梁长l。试求合力的大小及其作用线位置。解：1、将力系向A点简化2、点A至合力作用线的距离例题 4-2 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。主矢的大小主矢的方向 求主矩：（2）求合成结果：合成为一个合力FR， FR的大小、方向与FR相同。其作用线与O点的垂直距离为：平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。平面任意力系的平衡方程：平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。1、平面任意力系的平衡方程43 平面任意力系的平衡条件平面任意力系平衡方程的三种形式：刚体平衡条件二矩式A、B连线与x轴不垂直三矩式A、B、C三点不共线一矩式Fx =0Fy=0 MA=0Fx =0MA=0 MB=0MA=0M B=0 MC=02、平面平行力系的平衡方程平面平行力系的方程为两个，有两种形式：各力不得与投影轴垂直。解：（1）取伸臂AB为研究对象； （2）受力分析如图：例题 4-3 悬臂式简易起重机可简化为图示结构。AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。设已知电动葫芦和重物共重P=10kN，梁自重W=5kN,=30o。求钢索BC和铰链A的约束力，以及钢索受力的最大值 。(3) 列平衡方程：(4) 联立求解，可得：当x=l时，钢索受力FB最大，为拉力。解： （1）取AB研究对象，受力分析如图。 （2）列平衡方程：例 4-4 求图示悬臂梁固定端A处的约束力。其中：q为均布载荷的载荷集度，集中力F=ql，集中力偶M=ql2 。负号表示实际方向和假设的方向相反。(3) 联立求解：解：（1）取梁为研究对象。（2）受力分析如图。例 4-5 水平外伸梁如图所示。若均布载荷q=20kN/m，F=20kN，力偶矩M=20kNm ，a=0.8m，求A、B点的约束反力。 (3) 列平衡方程：(4) 联立求解：例 4-6 刚架ABCD的A处为固定铰支座，D处为辊轴支座。此刚架上有水平载荷和垂直载荷。已知F1=10 kN，F2=20 kN， a=3 m。求支座A、D的约束反力。 解：（1）取刚架整体为研究对象，画出受力图。(3) 列平衡方程：(4) 求解：塔式起重机的结构简图如图所示。起重机自重为W，载重为W1，平衡物重W2。要使起重机在空载、满载且载重在最远处时均不翻到，试求平衡物重。解：（1）取塔式起重机整体为研究对象,受力分析如图。（整机在平面平行力系作用下处于平衡。）例 4-7 翻到问题(2) 列平衡方程：1) 空载时（ W1 =0）：不翻到的条件是：可得空载时平衡物重量W2的条件：2) 满载且载重位于最远端时,不翻到的条件是：综合考虑，平衡物重量W2应满载的条件：可得满载时平衡物重量W2的条件：解：（1）取汽车及起重机为研究对象,受力分析如图。例 4-8 翻到问题 一种车载式起重机，车重Q = 26kN，起重机伸臂重G= 4.5kN，起重机的旋转部分与固定部分共重W = 31kN。尺寸如图所示，单位是m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量Pmax。（3）联立求解： （2）列平衡方程：（4）不翻条件：FA0故最大起重重量为 Pmax= 7.5 kN一、基本概念： 刚体系 由若干个物体通过约束组成的系统； 外 力 物体系以外任何物体作用于该系统的力； 内 力 物体系内部各物体间相互作用的力；44 物体系统的平衡静定与静不定的概念二、刚体系的平衡1、刚体系平衡问题的基本步骤：选择研究对象；取分离体画受力图；列平衡方程；求解。2、物体系平衡方程的数目： 由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立的平衡方程；如有汇交力系和平行力系，平衡方程数目减少。解：1、取系统整体为研究对象，画出受力图。 例4.9 物块重W=12 kN，由3根杆AB、BC和CE组成的构架及滑轮E支承。已知：AD=DB=2m，CD=DE=1.5m，不计杆及滑轮的重量，设滑轮半径为r，求支座A、B的反力以及BC杆的内力。列平衡方程：解得：列平衡方程：2、以ADB杆为研究对象，画出受力图。解得：负值说明二力杆BC杆受压。 解：1、取CE 段为研究对象，受力分析如图。例题 4-10 组合梁AC 和CE 用铰链C 相连，A端为固定端，E 端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，P=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5kNm，试求固端A、铰链C 和支座E 的反力。列平衡方程：2、取AC 段为研究对象，受力分析如图。联立求解：可得 FE=2.5 kN （向上） FC=2.5 kN （向上）列平衡方程：联立求解：可得 MA= 30 kNm FA= -12.5 kN解：1、以整体为研究对象，画出受力图 例 4-11 三铰拱结构如图所示，它的左半部受到竖向均布荷载q的作用。已知q=10kN/m，a=4m。求支座A、B的约束反力。列平衡方程:解得：2、以左半部分为研究对象，画出受力图 。列平衡方程:静定与静不定概念： 1、静定问题 当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。2、静不定问题 当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。(也称为超静定问题)45 静定与静不定问题的概念 静定与静不定的判断 刚体系统的独立平衡方程数目的计算： 如果刚体系由n1个受平面任意力系作用的刚体， n2个受平面汇交力系或平行力系作用的刚体以及n3个受平面力偶系作用的刚体组成，那么系统可能有的独立平衡方程数目m在一般情况下为：假设系统中未知量的总数k，则：例4-13两个相互接触的物体存在相对运动的趋势或发生相对运动时，接触面之间由于并非绝对光滑，而在接触面的公切线上存在阻碍两物体相对运动的力，这种力称为摩擦力。摩擦力的物理本质很复杂，与材料性质、表面情况、相对运动性态以及环境等有关摩擦学。 摩擦有利的一面：机床的卡盘靠摩擦带动夹紧工件，皮带靠摩擦传递运动，制动器靠摩擦刹车，等等； 摩擦不利的一面：使机件磨损甚至损坏等等。45 考虑摩擦时的平衡问题摩擦摩擦摩擦力的分类：P如果施以水平力可能出现什么情况？也一定会出现约束反力摩擦力一、滑动摩擦力两个相互接触的物体，当它们之间产生了相对滑动或者有相对滑动的趋势时，在接触面之间产生了彼此阻碍运动的力，这种阻力就称为滑动摩擦力。现有一物块承受重力，在铅垂方向必有约束反力与之平衡。水平力作用下可能的现象有：静滑动摩擦力（静摩擦力）。临界平衡状态（最大静摩擦力）。动滑动摩擦力（动摩擦力）。静滑动摩擦力的特点：1、方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；可见临界摩擦力与维持平衡的静摩擦力的关系为：动滑动摩擦的特点：1 方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向；一般情况下，动摩擦力 小于最大静摩擦Fmax，并可以看成是一个常数。对多数材料，通常情况下 ,实际中常取 。1、 摩擦角物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角。二、摩擦角和自锁现象摩擦角全约束力和法线间的夹角的正切等于静滑动摩擦系数2 自锁现象3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同。几个新特点：2 严格区分物体处于临界、非临界状态；1 画受力图时，必须考虑摩擦力；