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第三章 连续型随机变量3.1 设随机变数的分布函数为，试以表示下列概率：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）； （2）； （3）=1-； （4）。3.2 函数是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1）（2）0，在其它场合适当定义；（3）-，在其它场合适当定义。解：（1）在（-）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）在（0，）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； （3）在（-内单调上升、连续且，若定义则可以是某一随机变量的分布函数。3.3 函数是不是某个随机变数的分布密度？如果的取值范围为（1）；（2）；（3）。解：（1）当时，且=1，所以可以是某个随机变量的分布密度； （2）因为=2，所以不是随机变量的分布密度； （3）当时，所以 不是随机变量的分布密度。3.4 设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明：对任意的有（1）； （2）P（； （3）。 证：（1） = = ； （2），由（1）知1- 故上式右端=2； （3）。 3.5 设与都是分布函数，又是两个常数，且。证明也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为与都是分布函数，当时，于是又所以，也是分布函数。取，又令这时显然，与对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故不是离散型的，而不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6 设随机变数的分布函数为求相应的密度函数，并求。解：，所以相应的密度函数为。3.7 设随机变数的分布函数为求常数及密度函数。解：因为，所以，密度函数为3.8 随机变数的分布函数为，求常数与及相应的密度函数。解：因为 所以因而。3.9 已知随机变数的分布函数为（1） 求相应的分布函数；（2） 求。解： 3.10确定下列函数中的常数，使该函数成为一元分布的密度函数。（1）；（2）（3）解：（1）； （2），所以A=;(3),所以。3.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求的分布函数。解：当0时所以 3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？解： 因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。3.14 设随机变数服从（0，5）上的均匀分布，求方程有实根的概率。 解：当且仅当 （1）成立时，方程有实根。不等式（1）的解为：或。因此，该方程有实根的概率。3.17 某种电池的寿命服从正态分布，其中（小时），（小时）(1) 求电池寿命在250小时以上的概率； （2）求，使寿命在与之间的概率不小于0.9。解：（1） =； （2） =即所以即3.18 设为分布的分布函数，证明当时，有 证： = =所以 。3.21 证明：二元函数 对每个变元单调非降，左连续，且，但是 并不是一个分布函数。 证：（1）设，若，由于，所以，若，则。当时，； 当时，。所以 。 可见，对非降。同理，对非降。 （2）时 =， 时， =， 所以对、左连续。 （3），。 （4）， 所以不是一个分布函数。3.23 设二维随机变数的密度求的分布函数。解：当，时， =所以 3.24 设二维随机变数的联合密度为（1） 求常数；（2） 求相应的分布函数；（3） 求。解：（1），所以； （2）时， =，所以 （3） = =。325 设二维随机变数有密度函数求常数及的密度函数。解： 所以，；3.26 设二维随机变数的密度函数为求（1）。解：3.28 设的密度函数为求与中至少有一个小于的概率。解：3.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以和表示这两个组件的寿命（以小时计），设的分布函数为求两个组件的寿命都超过120的概率。解：3.31 设都是一维分布的密度函数，为使成为一个二维分布的密度函数，问其中的必需且只需满足什么条件？解：若为二维分布的密度函数，则所以条件得到满足。反之，若条件（1），（2）满足，则为二维分布的密度函数。因此，为使成为二维分布的密度函数，必需且只需满足条件（1）和（2）。3.32 设二维随机变数具有下列密度函数，求边际分布。（1）（2）（3）解：（1） （2）时， 时， 所以，。同理，。（3） 3.34 证明：若随机变数只取一个值，则与任意的随机变数独立。证：的分布函数为设的分布函数、的联合分布函数分别为。当时，。当时，。所以，对任意实数，都有，故与相互独立。3.35 证明：若随机变数与自己独立，则必有常数，使。证：由于，所以，。由于，非降、左连续，所以必有常数，使得故。3.36设二维随机变量的密度函数为问与是否独立？是否不相关？解：。同理，。由于，所以与不相互独立。又因关于或关于都是偶函数，因而，故， 与不相关。3.41 设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的）解：设这类电子管的寿命为，则所以三个这类管子没有一个要替换的概率为；三个这类管子全部要替换的概率是。3.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间内，求球体积的密度函数。解：设球的直径为，则其体积为。的反函数。由的密度函数，得的密度函数为3.45 设随机变数服从分布，求的分布密度。解：在时，。所以的分布密度。3.46 设随机变数服从分布，求的分布密度。解：的反函数。由服从分布，推得的分布密度为3.47 随机变数在任一有限区间上的概率均大于（例如正态分布等），其分布函数为，又服从上的均匀分布。证明的分布函数与的分布函数相同。解：因为在任一有限区间上的概率均大于，所以是严格上升函数。由于上的均匀分布，所以的分布函数，对任意的都成立。所以与的分布函数相同。3.48 设随机变量与独立，求的分布密度。若（1）与分布服从及上的均匀分布，且；（2）与分别服从及上的均匀分布，。解（1）其它。 ，其它。 = =，其它。 （2），其它， ，其它。 = =，其它3.49 设随机变量与独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为求+的密度函数。解： ，当时，当时，所以3.50 设随机变量与独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为证明：也服从同一分布。证：所以即也服从相同的柯西分布。3.51 设随机变量与独立，分别具有密度函数（其中），求+的分布密度。解：时，时，3.53 设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的分布。解：服从上的均匀分布，据3.48(2)知，在时，的分布函数所以的分布密度为3.54 设随机变量与独立，分别服从参数为与的指数分布，求的分布密度。解：由得，所以在时，在时，所以3.56 设随机变量与独立，且分别具有密度函数为证明服从分布。证：由得。故令，则所以服从分布。3.58 设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的密度函数。解：当时，当时所以的密度函数为3.59 设随机变量与独立，都服从参数为的指数分布，求的密度函数。解：在时，在时，。3.60 设二维随机变量的联合分布密度为证明：与不独立，但与独立。证：由于，所以与不独立。由于所以对一切的，都有，故与相互独立。3.61 设随机变量具有密度函数求。解：3.62 设随机变量具有密度函数求及。解 ， ， 。3.63 设随机变量的分布函数为试确定常数，并求与。解：由分布函数的左连续性，故。 =，。3.64 随机变量具有密度函数其中求常数及。解： =，故。 = 3.66 设随机变量服从上的均匀分布，求的数学期望与方差。解：。3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客候车时间为（秒），则服从上的均匀分布，则，。3.71 设为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对任意的，有。证：同分布，又，所以都存在且相等。由于，所以。3.72 设是非负连续型随机变量，证明：对，有。证：。3.73 若对连续型随机变量，有，证明有。 证：。3.75 已知随机变量与的相关系数为，求与的相关系数，其中均为常数，皆不为零。解：=3.81设随机变量中任意两个的相关系数都是，试证：。证：=，故。 3.84证明下述不等式（设都是连续型或离散型随机变量）：（1）若与都有阶矩，则有)(2)若与都具有阶矩，则证：（1）时，即所谓的明可夫斯基不等式，证明略。在时，是的下凸函数，故即故（2）在时，故3.88 设二维随机变量的联合分布密度为其中。求条件下的条件分布密度。 解：。故 3.89 设随机变量服从分布，随机变量在时的条件分布为，求的分布及关于的条件分布。 解： ，故 ，故在时，的条件分布为。3.90 设为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量只取正整数值，且与独立，证明：证： 3.91 求下列连续型分布的特征函数：（1）上的均匀分布，（2）柯西分布，其密度函数为（3）分布，其密度函数为 解：（1）（2）由拉普拉斯积分得（3）3.93 若是特征函数，证明下列函数也是特征函数：（1）（为正整数）证：（1）若是随机变量的特征函数，则是随机变量的特征函数；（2）若与独立同分布，其特征函数为。则是随机变量的特征函数；（3）若独立分布，其特征函数为。则是随机变量的特征函数。3.94 证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。证：（1），所以是两点分布-11的特征函数。（2），所以是三点分布的特征函数。（3）密度函数为的指数分布的特征函数为，所以是密度函数为的分布的特征函数。4）上均匀分布的特征函数为，（所以互相独立且同为上均匀分布的两个随机变量和的特征函数为，即是密度函数为的分布的特征函数。（5），所以是几何分布的特征函数。3.95 试举一个满足（1），（2），但是不是特征函数的例子。解：令则满足（1），（2），但在点不连续，故不是特征函数。3.96 证明函数是特征函数，并求出它的分布函数。解：由于故欲证是特征函数，仅须验证是密度函数由于，所以为特征函数，其分布函数为。3.97 设是一个特征函数。，证明：也是特征函数。证：设与相互独立，的特征函数为，服从上的均匀分布，的特征函数为，则是的特征函数。3.98 设为个独立同柯西分布的随机变量，证明与有相同的分布。证：柯西分布的特征函数故的特征函数为所以与同分布。3.99 设为独立同分布的随机变量，求的分布。解：分布，；，的特征函数。故的特征函数为，所以也是分布，其密度函数为，；，。3.100 设二维随机变量具有联合密度函数为证明：的特征函数等于的特征函数的乘积，但是并不相互独立。证： 的特征函数为。故与的特征函数皆为，所以的特征函数等于、的特征函数的乘积。由，故与不互相独立。3.101 设随机变量服从柯西分布，其特征函数为，又令，证明的特征函数等于、的特征函数的乘积，但与不独立。证：由的特征函数推得，与的特征函数分别为与，故。倘若与相互独立，令的分布函数为，则，故或，此与服从柯西分布相矛盾，故与互不独立。3.102 判别下列函数是否为特征函数（说明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）不是，因为。 （2）不是，因为当时，。 （3）不是，因为不成立 （4）不是，因为。 （5）是的，拉普拉斯分布的特征函数为，所以也是特征函数。
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