多元函数的极限与连续性.ppt

第二节 多元函数的极限和连续性 一 多元函数的极限 二 多元函数的连续性 三 小结 思考题 四 作业 极限 定义2 1 任意给定的正数 总存在正数 使得当 时 都有 一 多元函数的极限 对于 是D的聚点 若存在常数 记为 1 定义中的方式是任意的 2 二元函数的极限也叫二重极限 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 4 二元函数极限的概念可相应的推广到n元函 数上去 或 也可记为 或 例3求证 证 当时 原结论成立 例4求极限 解 其中 例证明不存在 证 取 其值随k的不同而变化 故极限不存在 确定极限不存在的方法 1 若 极限值与k有关 则可断言极限不存在 2 找两种不同趋近方式 存在 但两者不相等 令P x y 沿y kx趋向于 使 此时也可断言 证 时 分析 如图所示 任何直线趋于原点时 都趋于 都趋于 当点 相应的 解 零 间断点 二 多元函数的连续性 定义2 3 是其聚点且 如果 如果 若函数在内每一点都连续 函数在上连续 则称 解 故函数在 0 0 处连续 解 故函数在 0 0 处连续 1 一元函数中关于连续函数的运算法则 对于多元函数仍适用 积 商 分母不为零 仍连续 复合函数也连续 如 都在 其自然定义域上连续 2 与一元初等函数类似 能用一个算式表示的多元函数 这个算式由常 多元连续函数的 注 因此多元连续函数的和 差 多元初等函数是指 等都是多元初等函数 量及其不同自变量的一元基本初等函数 限次的四则运算和复合运算而得到 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 重要结论 一切多元初等函数在其定义区域内 是连续的 如 经过有 解 例 设 求 点P0处连续 数 于是 闭区域上连续函数的性质 上有界 1 有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数 2 介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数 必在D 且能取得它的最大值和最小值 在D上取得介于最大值和最小值之间的任何值 必定 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 注意趋近方式的任意性 小结 思考题 能否断定 思考题解答 不能 例 取 但是不存在 若取 的图形 练习题 二 求下列各极限 1 2 三 证明 3 练习题答案 作业