图像处理中的傅里叶变换.ppt

图像变换 图像变换的目的在于 使图像处理问题简化 有利于图像特征提取 有助于从概念上增强对图像信息的理解 图像变换通常是一种二维正交变换 一般要求 正交变换必须是可逆的 正变换和反变换的算法不能太复杂 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上 边缘 线状信息反映在高频率成分上 有利于图像处理 因此正交变换广泛应用在图像增强 图像恢复 特征提取 图像压缩编码和形状分析等方面 在此讨论常用的傅立叶变换 频域世界与频域变换 任意波形可分解为正弦波的加权和 傅立叶变换 在学习傅立叶级数的时候 一个周期为T的函数f t 在 T 2 T 2 上满足狄利克雷 Dirichlet 条件 则在 T 2 T 2 可以展成傅立叶级数可见 傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重 从而有利于对信号进行分析与处理 连续函数的傅立叶变换1 一维连续函数的傅立叶变换令f x 为实变量x的连续函数 f x 的傅立叶变换用F u 表示 则定义式为若已知F u 则傅立叶反变换为 这里f x 是实函数 它的傅立叶变换F u 通常是复函数 F u 的实部 虚部 振幅 能量和相位分别表示如下 傅立叶变换中出现的变量u通常称为频率变量 2 二维连续函数的傅立叶变换傅立叶变换很容易推广到二维的情况 如果f x y 是连续和可积的 且F u v 是可积的 则二维傅立叶变换对为 二维函数的傅立叶谱 相位和能量谱分别为 F u v R2 u v I2 u v 1 2 u v tan 1 I u v R u v E u v R2 u v I2 u v 离散函数的傅立叶变换1 一维离散函数的傅立叶变换假定取间隔 x单位的抽样方法将一个连续函数f x 离散化为一个序列 f x0 f x0 x f x0 N 1 x 如图所示 将序列表示成f x f x0 x x 即用序列 f 0 f 1 f 2 f N 1 代替 f x0 f x0 x f x0 N 1 x 被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为F u 式中u 0 1 2 N 1 反变换为f x 式中x 0 1 2 N 1 例如 对一维信号f x 1010 进行傅立叶变换 由得u 0时 u 1时 u 2时 u 3时 在N 4时 傅立叶变换以矩阵形式表示为F u Af x x y 1 1 j j 2 二维离散函数的傅立叶变换在二维离散的情况下 傅立叶变换对表示为F u v 式中u 0 1 2 M 1 v 0 1 2 N 1 f x y 式中x 0 1 2 M 1 y 0 1 2 N 1 一维和二维离散函数的傅立叶谱 相位和能量谱也分别由前面式子给出 唯一的差别在于独立变量是离散的 一般来说 对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大 不直接利用以上公式计算 现在都采用傅立叶变换快速算法 这样可大大减少计算量 为提高傅立叶变换算法的速度 从软件角度来讲 要不断改进算法 另一种途径为硬件化 它不但体积小且速度快 原图 离散傅立叶变换后的频域图 例如数字图像的傅立叶变换 二维离散傅立叶变换的性质 1 线性 设F1 u v 和F2 u v 分别为二维离散函数f1 x y 和f2 x y 的DFT 则 式中a b是常数 2 可分离性 将式 分成两部分乘积 设式后面的求和项为 此式表示对每一个x值 f x y 先沿每一行进行一次一维傅立叶变换 再将F x v 沿每一列进行一次一维傅立叶变换 就可得二维傅立叶变换F u v 即 上述过程用图表示为 显然 改为先沿列后沿行分离为两个一维变换 其结果是一样的 即 二维离散傅立叶反变换的分离过程与上述相似 所不同的只是指数项为正 若f x y F u v 则 2 平移性 1 2 3 频移 空移时 幅度不变 4 当u0 v0 N 2时 即 如果需要将图像频谱的原点从起始点 0 0 移到图像的中心点 N 2 N 2 只要f x y 乘上 1 x y 因子 再进行傅立叶变换即可 a 原始图像 b 中心化前的频谱图 c 中心化后的频谱图图像频谱的移动实例 4 周期性和共轭对称性 周期性 共轭对称性 5 旋转不变性 引入极坐标 有 此式表明 如果f x y 在空间域中旋转 0角度后 相应的傅立叶变换F u v 在频域中也旋转同一 0角 反之亦然 傅立叶变换的旋转性 傅立叶变换的旋转性 8 微分性质 定义f x y 的拉普拉斯算子为 按二维傅立叶变换的定义 可得 拉普拉斯算子通常用于检测图像的边缘 6 分配性和比例性 分配性 比例性 对于两个标量a和b 有 7 平均值 二维离散函数的平均值定义如下 将u v 0带入F u v 公式 得 所以 9 卷积定理 连续函数卷积定理 两个二维连续函数f x y 和g x y 的卷积定义为 设f x y F x y g x y G x y 则 设 离散函数卷积定理 其二维离散卷积形式为 此形式与连续的基本一样 所不同的是所有变量x y u v都是离散量 二维离散卷积定理可用下式表示