周四直线椭圆的位置关系.ppt

第2课时椭圆方程及性质的应用 问题2 怎么判断它们之间的位置关系 问题1 直线与圆的位置关系有哪几种 d r d r d r 0 0 0 几何法 代数法 直线与椭圆有什么样的位置关系 该如何判断呢 种类 相离 没有交点 相切 一个交点 相交 两个交点 能用几何法判断椭圆与直线的位置关系吗 探究点2直线与椭圆的位置关系 问题3 直线与椭圆的位置关系如何判定 代数方法 联立方程 转化思想方程思想 1 位置关系 相交 相切 相离2 判别方法 代数法 联立直线与椭圆的方程 消元得到一元二次方程 当二次项系数不为0时 1 0 直线与椭圆相交 有两个公共点 2 0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点 3 0 直线与椭圆相离 无公共点 通法 总结提升 直线与椭圆的位置关系 题型探究 类型一直线与椭圆的位置关系的判断 典例 1 直线y x 与椭圆x2 4y2 2的位置关系是 2 若直线y kx 1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点 求m的取值范围 解题探究 1 典例1中如何判断两者的位置关系 提示 联立两个方程 消元后 判断方程的判别式的符号 解析 1 联立方程组得消去y 整理得5x2 4x 1 0 4 2 4 5 1 36 0 即方程 有两个实数根 所以方程组有两组解 即直线和椭圆相交 答案 相交 2 方法一 由消去y 整理得 m 5k2 x2 10kx 5 1 m 0 所以 100k2 20 m 5k2 1 m 20m 5k2 m 1 因为直线与椭圆总有公共点 所以 0对任意k R都成立 因为m 0 所以5k2 1 m恒成立 所以1 m 0 即m 1 又因为椭圆的焦点在x轴上 所以0 m 5 所以1 m 5 一 判断直线与椭圆的位置关系的方法 例2 二 弦长问题 设而不求的思想 关于中点的问题一般可采用两种方法解决 1 联立方程组 消元 利用根与系数的关系进行设而不解 从而简化运算解题 2 利用 点差法 求出与中点 斜率有关的式子 进而求解 典例 已知点P 4 2 是直线l被椭圆所截得的线段的中点 求直线l的方程 并求直线l被椭圆截得的弦长 解题探究 如何应用本例中的条件 弦的中点点P 4 2 解题 提示 利用方程根与系数的关系或点差法解题 解析 方法一 由题意可设直线l的方程为y 2 k x 4 而椭圆的方程可以化为x2 4y2 36 0 将直线方程代入椭圆方程有 4k2 1 x2 8k 4k 2 x 4 4k 2 2 36 0 所以x1 x2 8 所以k 所以直线l的方程为y 2 x 4 即x 2y 8 0 方法二 设直线l与椭圆的交点为A x1 y1 B x2 y2 所以两式相减 有 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 又x1 x2 8 y1 y2 4 所以即k 所以直线l的方程为x 2y 8 0 延伸探究 1 改变问法 求直线l被椭圆截得的弦长 解析 由题意可知直线l的方程为x 2y 8 0 联立椭圆方程得x2 8x 14 0 方法一 解方程得所以直线l被椭圆截得的弦长为 方法二 因为x1 x2 8 x1x2 14 所以直线l被椭圆截得的弦长为 方法技巧 1 直线与椭圆相交弦长的有关问题直线与椭圆相交有关弦的问题 主要思路是联立直线和椭圆的方程 得到一元二次方程 然后借助一元二次方程的有关知识解决 有时运用弦长公式 解题时应注意以下几点 1 当弦的两端点的坐标易求时 可直接求出交点坐标 再用两点间距离公式求弦长 2 当弦的两端点的坐标不易求时 可用弦长公式 3 如果直线方程涉及斜率 要注意斜率不存在的情况 2 解决椭圆中点弦问题的三种方法 1 根与系数的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组 消去一个未知数 利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决 2 点差法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 将端点坐标分别代入椭圆方程 然后作差 构造出中点坐标和斜率的关系 具体如下 已知A x1 y1 B x2 y2 是椭圆 a b 0 上的两个不同的点 M x0 y0 是线段AB的中点 则由 得变形得 设而不求的思想 名师点评 中点弦问题求解的关键是充分利用 中点 这一条件 灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系 本题中的法一是设出方程 根据中点坐标求出k 法二是 设而不求 即设出交点坐标 代入方程 整体求出斜率 x o y 分析 作出直线l及椭圆 如图 观察图形 可以发现 利用平行于直线l且与椭圆只有一个交点的直线 可以求得相应的最小距离 解 由直线l的方程与椭圆的方程可以知道 直线l与椭圆不相交 设直线m平行于直线l 则直线m的方程可以写成 令方程 的根的判别式 0 得 解方程 得 最大的距离是多少