向量组的极大线性无关组.ppt

3 4向量组的极大线性无关组 一 极大线性无关组的概念 上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念 其 中线性无关也称为线性独立 系数及右端项构成行向量 则线性相关与线性无关的概念实 反映了线性方程组中各个方程是否关联或是否独立 本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关 那么 1 该向量组中到底有多少个向量是独立的 2 具体哪些向量是独立的 3 其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的 如果以线性方程组中各方程的 一 极大线性无关组的概念 定义 如果向量组中的一个部分组 满足 1 线性无关 2 向量组中的每一个向量都可由 线性表示 即在中再加一个向量就相关 则称为的 一个 极大线性 无关组 则是一个极大线性无关组 等都是极大线性无关组 由此可见 一个向量组的极大线性无关组不是惟一的 需要讨论的问题 1 一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一 2 如何求出向量组的一个极大线性无关组 如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合 设有两个向量组 1 向量组之间的线性表示 定义 若向量组 中的每个向量都能由向量组 I 线性表示 则称向量组 能由向量组 I 线性表示 二 向量组的秩 若记 即有 其中n为向量的维数 则所谓的向量组 能由向量组 I 线性表示意味着 1 向量组之间的线性表示 二 向量组的秩 1 向量组之间的线性表示 二 向量组的秩 则有 1 向量组之间的线性表示 定理 设向量组可由线性表示 二 向量组的秩 换句话说 若线性无关 则 上述定理的直观解释 仅以为例 1 设由两个向量构成的向量组 通过线性组合得到 三个向量 显然 即使是线性独立的 也不可能线性组合出 三个性线独立的向量 更何况本身可能是 线性相关的 因此 向量组必然是线性相关的 2 特别地 若 代表 某方程组中的两个方程 显然 通过线性组合不可能得到更多的独立方程 1 向量组之间的线性表示 2 向量组之间的等价 定义 若向量组与向量组能够相互 线性表示 此时 若记 其中n为向量的维数 则存在矩阵和使得 二 向量组的秩 则称这两个向量组等价 1 向量组之间的线性表示 二 向量组的秩 性质 1 反身性 2 对称性 3 传递性 即向量组自己与自己等价 2 向量组之间的等价 1 向量组之间的线性表示 二 向量组的秩 定理 两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 2 向量组之间的等价 个数相等 证明 1 向量组之间的线性表示 二 向量组的秩 定理 两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 2 向量组之间的等价 个数相等 证明 即可由线性表示 因此 同理 即得 且线性无关 1 向量组之间的线性表示 二 向量组的秩 推论 1 若两个线性无关的向量组等价 则它们所含的向量 2 向量组之间的等价 个数相等 2 在一个给定的向量组中 各个极大线性无关组所含 的向量个数相等 组的向量个数是惟一的 即一个向量组中各极大线性无关 1 向量组之间的线性表示 2 向量组之间的等价 二 向量组的秩 定义 一个向量组中的极大线性无关组所含的向量个数称为 3 向量组的秩 向量组的秩 1 向量组之间的线性表示 2 向量组之间的等价 3 向量组的秩 二 向量组的秩 4 向量组的秩与矩阵秩的关系 4 向量组的秩与矩阵秩的关系 二 向量组的秩 通常说 矩阵的秩等于行秩等于列秩 此定理给出了一种求向量组的秩的方法 证明 1 首先证明一个引理 其中 可逆矩阵P和使得 事实上 对于矩阵 下面利用反证法证明 一定存在 假设则有 0 由Q可逆 有不全为零 这与线性无关矛盾 因此引理成立 证明 1 首先证明一个引理 可逆矩阵P和使得 若列向量线性无关 则存在 0 0 证明 它的一个极大线性无关组为 则存在可逆 0 2 设由矩阵A的列构成的向量组的秩为s 对矩阵根据引理一定存在可逆阵和使得 矩阵R 使得 即得 的秩 进一步有 的秩 4 向量组的秩与矩阵秩的关系 二 向量组的秩 推论 设A为m n阶矩阵 且则有 1 当r m时 A的行向量线性无关 当r m时 A的行向量线性相关 2 当r n时 A的列向量线性无关 当r n时 A的列向量线性相关 特别地 方阵A的行 列 向量线性无关的充要条件 是 三 如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 首先介绍几个引例 用来掌握在什么情况下 可以非常 容易地知道一个列向量组的秩 极大线性无关组以及它 们之间的线性组合关系 引例1 1 向量组的秩为2 2 极大线性无关组为 3 组合关系 引例2 1 向量组的秩为2 2 极大线性无关组为 3 组合关系 1 向量组的秩为3 2 极大线性无关组为 引例3 3 组合关系 三 如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 1 原理 矩阵B的列向量有相同的线性组合关系 则存在可逆矩阵P 使得 即方程与同解 故与有相同的线性组合关系 则矩阵A的列向量与 三 如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 1 原理 2 方法 1 无论所给的向量组是行向量还是列向量 都按照列向量 排列 并构成矩阵A 2 对矩阵A进行初等行变换得到行标准形矩阵B 3 根据矩阵B的秩及其列向量的线性组合关系 直接得出 原向量组的秩 极大线性无关组以及线性组合关系 解 1 向量组的秩为2 2 极大线性无关组为 3 线性组合关系为 解 由于极大线性无关组是不惟一的 因此可以根据要求选择 不同的极大线性无关组 1 向量组的秩为2 2 极大线性无关组为 3 线性组合关系为 行变换 此时只需按要求对矩阵继续进行 比如 极大线性无关组为 线性组合关系为 第一种选择 第二种选择 极大线性无关组为 线性组合关系为