向量的内积与正交化.ppt

向量与线性方程组的求解 第1节线性方程组的高斯消元解法及解判定定理第2节向量及其运算第3节向量组的线性相关性及相互表示第4节向量组的秩第5节线性方程组解的结构第6节向量的内积与正交化 第6节向量的内积与正交化 一向量的内积 长度及向量间的夹角定义 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 内积也称作点积或点乘 并记作x y 由于向量又可看作矩阵 借用矩阵记号 向量 列矩阵 x y的内积又可写成 x y xTy 内积具有下列性质 其中x y z为n维向量 k为实数 1 x y y x 2 kx y k x y 3 x y z x z y z x x 0 当且仅当x 0时 x x 0 内积还满足施瓦茨 Schwarz 不等式 定义 定义向量的长度 范数 模 为 向量的长度具有下述性质 1 非负性 当x 0时 x 0 当x 0时 x 0 2 齐次性 kx k x 3 施瓦茨不等式 x y x y 4 三角不等式 x y x y 在二 三维空间中有向量夹角的概念 在更高维的向量空间中 夹角并没有直观的含义 但由施瓦茨不等式 当x 0 y 0时 有称该角度为非零向量x与y的夹角 当 x y 0时 x与y的夹角为 此时称向量x与y正交 记为 由于零向量与任意同维向量的内积为0 所以规定零向量与任意同维向量正交 二正交的向量组及向量组的正交化若一组向量两两正交 且不含0向量 则称该向量组为正交向量组 定理 正交的向量组必线性无关 例 在n维向量空间中可以找到n个两两正交的向量 这是因为对任意的有非零解 从而任取一非零解作为则正交 2 又因方程组亦有非零解 从而可确定与正交的 3 如此下去进一步确定出 即得n个两两正交的非零向量组 若现已有线性无关的向量组 也可以构建一个与之等价的且两两正交的向量组 以上过程称为施密特 Schimidt 正交化过程 进一步 可将单位化 规范化 对施密特正交化过程 应注意向量组与向量组等价 其中t 1 r 例 例 可得 定理 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列 行 向量都是单位向量 且两两正交 三正交矩阵与正交变换定义 如果n阶矩阵A满足ATA E则称A为正交矩阵 简称正交阵 对正交阵A按列自然分块 则有 正交矩阵有如下性质 若A为正交矩阵 则 A 1或 A 1 A为正交矩阵 则AT A 1也为正交矩阵 若A B为同阶正交矩阵 则AB也为正交矩阵 定义 若P为正交矩阵 则线性变换y Px称为正交变换 性质 正交变换保持线段长度不变 设y Px为正交变换 则有由于任意两点的距离均不变 从而正交变换不改变图形的形状 这是正交变换的优良特性