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第二章平面向量第一节平面向量的概念、加、减、数乘运算一、考试要求：1、了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何意义。2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。4、了解向量的线性运算性质及其几何意义。二、知识梳理：（3） 向量是既有大小又有_的量，向量常用_线段来表示，向量的长度记作_,长度为零的向量叫做_，记作_,长度等于1的向量叫做_;方向相同或相反的向量叫_,也叫_,长度相等，方向相同的向量叫_。（4） 向量的加法是由几何作图定义得向量可由_法则或_法则作得。（5） 实数与向量的积是一个向量，记作_，它的长度和方向规定如下：；当0时，与的方向_，当0时，与的方向_，当=0时，=_（6） 向量与共线的充要条件是_(其中)三、基础练习：1、 下面的几个命题：若；长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；若满足且与同向，则；由于方向不定，故不能与任何向量平行；对于任意向量必有其中正确命题的序号是：（ ）A、 B、 C、 D、2、 在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则A、 B、 C、 D、3、如图所示，D、E、F分别是ABC的边，AB、BC、CA的中点,则( )FEDABCA.B.C.D.4(07福建卷)对于向量，和实数，下列命题中真命题是（）若=0，则或若，则或若，则或 若，则5(07湖南卷) 若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）ADMCNBA BCD6、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，已知，用c、d表示，。7、设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要条件是四、典型例题：1.设两个非零向量与不共线（1）、若求证A、B、D三点共线（2）、试确定实数的值，使向量与共线。ADEMNBC2.如图，D、E是ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用a、b分别表示3.已知存在非零实数、，且+1，使，求证：的终点A、B、C共线。五、自我测评：1.（2006，山东） 设向量a=（1，3），b（2，4），若表示向量4a，3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c=.2. 已知e1、e2是平面内一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是（）A.e1+e2，e1e2B.3e12e2，4e16e2C.e1+2e2D.e2，e1+e23.下列命题：若与为非零向量，且/时，则必与或中之一的方向相同；若为单位向量，且，则；若与共线，又与共线，则与必共线；若平面内四点A、B、C、D，则必有正确的命题个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、04、等于（ ） A、 B、 C、 D、5(07年安徽卷)在四面体O-ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）.6.一条渔船距对岸4km,以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速。六、课后练习：1、已知向量，且则一定共线的三点是（ ） （A）、A、B、D （B）、A、B、C （C）、B、C、D （D）、A、C、D2、已知向量且，则A、 B、 C、 D、3、 已知则是A、B、C三点构成三角形的（ ）A、充分不必要条件； B、必要不充分条件；C、充要条件； D、既不充分也不必要条件。4、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O是ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心5、已知向量若与共线，则（ ）A、 B、 C、 D、或6、若则（用表示）7、已知，且，则其中与方向的夹角是，与的夹角是8、若非零向量满足则与所成角的大小为9、已知在ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，求证：（1）、 （2）、 （3）、DOCABE10、已知OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将分成2：1的一个内分点，DC与OA交于E，设.（1）用a与b表示；（2）若，求实数的值。七、数学快餐1.下列命题中，真命题的个数为()方向相同方向相反有相等的模方向相同A.0B.1C.2D.32(07年全国II) 在中，已知是边上一点，则（ ）ABCD3.设e1、e2是两个不共线的向量，则向量m=-e1+ke2(kR)与向量a=e2-2e1，共线的充要条件是()A.k=0B.k=1C.k=2Dk=ADCBr1r2r34.已知正方形ABCD边长为1，则a+b+c的根等于()A.0B.3C.D.5.两个非零向量相等是两个向量相等的条件。6.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为r1、r2、r3，则=7（07浙江卷）若非零向量、满足一，则 (A) 2一2 (B) 2一2 (C) 22一 (D) 22一第二节平面向量的分解与坐标运算一、考试要求：1、了解平面向量的基本定理及其意义。2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。3、会用坐标表示平面向量的加、减法、数乘运算。4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件。二、知识梳理1、平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个_的向量，那么该平面内的任一向量，存在_的一对实数，使 。不共线向量，叫做表示这平面内所有向量的一组_，记为。叫做向量关于基底的分解式。(1) 向量的正交分解：如果基底的两个基向量和互相_,则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫_。3、向量的直角坐标：，叫向量在x轴上的坐标分量, 叫在y轴上的坐标分量.4、向量的直角坐标运算: （1）若,.则+=_,=_,=_,/ ()的充要条件是_ . （2）已知点A,B,则=_5、直线1的向量参数方程式：_。三、基础训练1、若向量与相等，且A（1，3），B（2，4），则x为（ ）A1 B. 1或4 C.0 D.-42、下列说法中正确的是（）一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底两个非零向量平行，则它们所在直线平行零向量不能作为基底中的向量两个单位向量的数量积等于零A.B.C.D.3.把函数y=ex的图像按向量a=(2，3)平移，得到y=f(x)的图像，则f(x)=()A.ex-3+2B.ex+3-2C.ex-2+3D.ex+2-34.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是()A.B.C.D.b5.为正交基底，设则向量位于( )A.第一.二象限 B.第二.三象限 C.第三象限 D.第四象限6、若,当与平行时,实数的值_.四、典型例题ABCDE例1 ：如图所示，已知D为ABC的中点，E为AD上的一点且AE=3ED，若，试用表示例2： 已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（-2，3），求以为一组基底来表示。例3： 已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及求（1）t为何值时，P在X轴上？P在y轴上？P在第二象限？ （2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。五、自我评价1、与向量（1，）平行的单位向量是（ ）A.（1，） B. C. D. 或2(07年全国) 已知向量，则与A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向3（07年北京卷）已知向量若向量，则实数的值是4、平行四边形ABCD的对角线交于O,且,则的坐标为_.5、已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)且,求点M,N和的坐标.6、已知点B(1,0)是向量的终点,向量,均为以原点O为原点,且,与向量的关系为,求向量的起点坐标.六、课后练习1、已知向量且.则,的值分别为( )A. 2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 2、(05全国) 点P在平面上作匀速直线运动,速度向量=(4,-3),即点P的运动方向与相同,且每秒移动的距离为个单位,设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后P的坐标为( )A.(-2,4) B.(-30,24) C.(10,-5) D(5,-10)3、点O是ABC所过平面内一点，D为BC中点，且，则()A.B.C.D.4、已知则，的坐标为（ ）A（0，-11），（-12，0） B.（0，-11），（0，31） C.（-11，-11），（-12，3） D.（0，-11），（-12，31）5、平行四边形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为（-1，-4），（3，-2），（-3，4），则两对角线交点M的坐标及顶点C的坐标分别为（ ）A（0，1），（0，6） B.（1，0），（1，6）C.（0，1），（1，6） D .（1，0），（2，6）6、 向量a=(-2,4)，则与向量a垂直的且模是1的向量坐标7、(06年上海)已知点A(1,-2),若向量与=(2,3)同向,|=,则点B的坐标为_.8、若M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1, y),且,则y 的值为_.9、,则点D的坐标是_. 10、设两个非零向量不共线（1）如果，求证：A、B、D三点共线。（2）试确定实数K，使K和共线。七、数学快餐1. c、d是不共线的非零向量，则下列给出的四组a、b线的一组是()A.a=-2(c+d)b=2(c+d)B.a=c-db=-2c+2dC.a=c+dD.b=c-2d2.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于()A.B.C.D.3.若对n个向量，存在n个不全为0的实数k1，k2，k3kn，使得成立，则称向量为“线性相关”，按照规定的说明a1=(1，0)，a2 =(1，-1)，a3=(2，3)这三个向量“线性相关”的实数k1，k2，k3可能的取值为()A.-5，3，1B.5，3，1C.-5，1，3D.-5，1，-34.若AN、BN、OP是ABC的三条中线，则=( )A.0B.C.1D.5.ABC的外接圆的贺心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m=。6.已知a与b不共线，p=2a-3b，q= -a+5b，x，yR，若，则x=,y第三节 平面向量数量积一、考试要求1、理解并掌握平面向量的数量积概念、运算律及数量积的几何意义。2、掌握两平面向量垂直的充要条件，会用向量数量积的运算判断或证明向量的垂直。3、会求两个向量的数量积、夹角、模等。二、知识梳理1.数量积的概念，已知两个非零向量a、b(1)向量的夹角 规定(2)数量积的定义(3)数量积的几何定义2.数量积的性质若，都是非零向量，是单位向量，是与的夹角，是与的夹角，则 （1）_=_（2）=cos（3）=0_（其中）（4）当与同向时， =;当与反向时， =，或_（5）cos=_（6）3.数量积的运算律：(1)交换律：ab=(2)数乘结合律：(ab)=(3)分配律：(ab)c=注意 ：数量积不适合乘法结合律，即（）与（）未必相等。数量积的消去律不成立，即=，不一定得到=4.数量积的坐标运算设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)则(1)ab=(2)=(3)cos=(4) ab(5)ab三、基础练习1、若=0, ,且则A、 B、 C、 D、12、若b=(1,1)，ab=2，(a-b)2=3，则=() A.B.5C.1D.3、已知,是非零向量且满足，则与的夹角是（ ） A、 B、 C、 D、4、在边长为1的正三角形ABC中，则ab+bc+ca=5、设均为非零向量，则下面结论： ; ; ; 正确的是_6、已知平面向量，=(3,-4) , =(2,x) , =(2,y) 且 / , , 求 以及 和 的夹角 四、典型例题1、已知（1）求 与 的夹角（2）求 和 （3）若作三角形ABC，求的面积。 2、已知a、b是非零向量，若a+b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，试求a与b的夹角。3.已知a=()，b=()且.(1)求的最值。(2)是否存在k的值，使 五、自我测评1、已知i和j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+j，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值 ( ) A.(-，-2)(-2，)B.(，+)C.(-2，)(，+)D.(-，)2、 已知 =（1,2）, =(x,1) ,当时，实数x的值为（ ） A、6 B、-2 C、 D、-2，3、已知 =(cos,sin) , =(cos,sin) ,下列结论正确的是（ ） A、 B、/ C、 D、,的夹角为4、已知 且 ，则向量在向量的方向上的正射影的数量为_5、已知 , 若是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量及的面积。六、课后练习 1、已知向量 =(x-5,3) , =(2,x) 且 则由x的值构成的集合是（ ） A、 B、 C、 D、 2、已知 为非零的平面向量,甲 ; 乙 ；则（ ）A、甲是乙的充分但不必要条件 B、甲是乙的必要但不充分条件。C、甲是乙的充要条件 D、既不充分也不必要条件。 3（07重庆卷）已知向量且则向量等于（A） （B）（C）（D） 4、（2006北京）若 且 ，则向量 与 的夹角为（ ）A、 B、 C、 D、 5、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 ，则点O是ABC的（ ） A、三个内角的角平分线的交点 B、三条边的垂直平分线的交点 C、三条中线的交点 D、三条高的交点6（07年湖北卷）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（ ）ABCD 7、已知 且 与 的夹角为 ，k的值是_8、若两个向量与的夹角为，则称向量为“向量积”，其长度 ，令已知, 则 =_ 9、设向量 满足 及 （1）求 所成角的大小。 （2）求 的值。 10、已知，且存在实数k和t，使得 且 ，试求 的最小值七、数学快餐1.ABC中，点O为BC的中点，过点O作直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若，则m+n=（）A.2B.1C.4D2（07年四川卷）设，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（）（A）（B）（C）（D）3.ABC中，BAC=120，AB2，AC1，D为边BC上一点，则（）.A.B.C.D.44.F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若，（）A.9B.6C.4D.35.已知且存在实数k与t，使，且xy，则的最小值为6（07辽宁卷）若向量与不共线，且，则向量与的夹角为（ ）A0BCD7.给出下列命题：在ABC中，若，则ABC是锐角三角形。在ABC中，若，则ABC为锐角三角形ABC为RtABC是条件的必要不充分条件是其中正确的命题序号第三章平面向量第一节平面向量的概念、加、减、数乘运算参考答案三、基础练习1、 B2、 B，故选B3、 D，由三角形中位线定理，故选D4、 B5、B 6、设，M、N为DC、BC中点，在ABN中ADM中a+b=db+a=c解：7、，由不共线，必有故四、典型例题：1、 分析：要证明A、B、C三点共线，只需证明存在实数，使即可，而与共线，则一定存在实数，使证明：（1） 与共线，又它们有公共点B，所以A、B、D三点共线。（2）与共线，存在实数使，即 是不共线的两向量， 2、解：由三角形中垂线定理知：DEBC故3.证明：其中+1，则1，从而即共线，且它们有公共点B，A、B、C三点共线，而的终点A、B、C共线五、自我测评：1、 由4a+(3b-2a)+c=0 c= -2a-2b=-2(1，-3)-3(-2，4)=(4，-6)2、 B 4e1-6e1= -2(3e1-2e2) 4e2-6e1与3e1-2e2共线，故不能作为一组基底，作为基底的两向量不共线3、 C 对 错4、 D5、6、 如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，CB则由，就是渔船实际航行的速度，A航行的时间为在中， 六、课后练习：1、 A A、B、D三点共线。2、 A 由，得：3、B 4、 D 由 所以OBCA同理OABC 故O是ABC的两条高线交点，故选 D5、 D6、7、 ， 4， ， 1208、 9、（1）（2）略（3）两式相加得： 同理，10、解(1)A是BC中点2，而(2)设共线存在实数k，使(-2)a+b=k(2a-b)解：=七、数学快餐1.C 对 错2.A解：在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则=， l=，选A。3.D m、n共线，设m=n，即-e1+ke2=(e2-2e1)(k-)e2=(1-2)e1e1、e2为不共线向量，k-=0且1-2=0k=4.C 正方形ABCD边长为1 5.必要不充分条件 向量为矢量，向量相等包括大小、方向两方面。6.r1+r3-r2 7、解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有a=2b；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；令a, b,则a-b, a-2b且；又BA+BCAC ,选A第二节 平面向量的分解与坐标运算参考答案三、基础训练：1、 A 。2、 C 3、 C 4、 D x2+x+1=(x+)2+0, x2-x+1=(x-)2+05、 6、 解：四、典型例题：1、依题意：AE=3EDAE=故有又ED是AEC的一条中线2.解:根据平面向量基本定理,一定存在实数m,n,使得=m+n可得 =32-221. (1) ,若P在x轴上,则2+3t=0,;若P在y轴上,只需1+3t=0,;若P在第二象限,则.（2）因为若OABP为平行四边形,则无解,所以四边形OABP不能成为平行四边形.五、自我测评1、 D 设所求向量,验证即可.2、A3、解：已知向量向量，则2+4+=0，实数=34、 解: 故设M(x,y),则即即M点的坐标为(0,20),同理N(9,2),故5、 设的起点为A(x,y), 则由=得的起点坐标为A(8,-10)六、课后练习：1、 D 分析：又2、 C 分析： 故5秒后P的坐标为（10，-5）。3、 A 分析：2即：4、 D. 分析：，则5、 C 同理M(0,1)所以选C6、答案 令，则 则7、 答案B（5，4）由题意知：，设B（x,y）则，故且，解得：x=5,y=4 所以B（5，4）。8、 2 9、（7，6） 分析：，而C（3，0），设D点的坐标为（x,y），则10、 解：(1)由已知可知,所以A.B.D三点共线.(2)若二者共线,则所以得七、数学快餐1.D 2.A 分析：而 又 故(0，1) K1+k2+2k3=03.A 分析：得 -k2+3k3=0代入验证得A4.A 分析：5.答案为1 特殊值法：设ABC为等腰直角三角形(B为直角)，O为AC的中点，此时H与B重合， 故m=12xy=2 x=6.x=，y= 析：(2xy)a+(-3x+5y)b=2ab3x+5y=1y第三节 平面向量数量积参考答案三、基础练习：1、 A2、 A3、 B4、 5、 ，6、解：， 解之 , 又 与 的夹角为四、典型例题：1、解： 解得： ，又 2、解：由条件知（a+3b）(7a-5b)=0(a-4b)(7a-2b)=0 由得46b2=2ab即所求向量a、b的夹角为3.解：（1）ab=cos2又令令,则t，1则m=tm1+0m在，1上为增函数mmin= -mmax=（2）由条件知： 又cos2=由0得，即故存在k满足题意。五、自我测评：1、 A2、 D3、 C4、 5、解：，即 又 ，即 设 ，则， 解之，得：， 或 ， 六、课后练习：1、 C 2、 B 3、解：设 联立解得选D 4、 C 5、 D 6、B7、 -5 8、 39 (1)而则，故与所成的角为 （2）10、由题意可得 , , , 故有 由 知：，即可得，故即当t=-2时，有最小值为七、数学快餐1.A2、A解：由与在方向上的投影相同，可得：, 即 ，选A3.A4.B5.6、D 7.
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