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惠州市2013届高三第一次调研考试数学 (理科） （本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效. 参考公式：如果在事件发生的条件下，事件发生的条件概率记为,那么.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2若是真命题，是假命题，则（）A是真命题 B是假命题 C是真命题 D是真命题3的展开式中的系数是（ ）A6 B12 C24 D484在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是( )A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰或直角三角形5已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） 开始输出结束是否6阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A B C D 7已知、的取值如下表所示：若与线性相关，且，则（）01342.24.34.86.7A、B、 C、 D、8对实数和，定义运算“”：设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是( )ABCD二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9.复数（i是虚数单位）则复数的虚部等于 10.若向量，则与夹角余弦值等于_11.已知函数则= 多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥446三棱柱56正方体12.计算： 1318世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体），归纳出F、V、E之间的关系等式： （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。ABCDO14（坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与极轴垂直，则直线的极坐标方程为 15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，圆的半径为，则圆心到的距离为三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. （本小题满分12分）已知函数为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为（1）求的解析式；（2）若，求 的值17. （本小题满分12分）某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人）选3人参加学校的义务劳动.（1）设所选3人中女生人数为，求的分布列及；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.18. （本小题满分14分）如图，已知平面，是正三角形，且是的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小。19（本小题满分14分）等差数列中，前项和为，等比数列各项均为正数，且，（1）求与；（2）设， 求证： .20.（本小题满分14分）已知椭圆(0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。(1)求椭圆的方程：(2)设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4。求的值。21（本小题满分14分）已知三次函数（1）若函数过点且在点处的切线方程为，求函数的解析式；（2）当时，若，试求的取值范围；（3）对，都有，试求实数的最大值，并求取得最大值时的表达式惠州市2013届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案ADCCCBDB1【解析】由交集的定义选A.2【解析】或（）一真必真，且（）一假必假，非（）真假相反，故选D 3【解析】，令的系数为故选4.【解析】在中，若，则即 故选5【解析】因成等比，则当时圆锥曲线为椭圆其离心率为；当时圆锥曲线为双曲线其离心率为 故选6【解析】第一步：，第二步：，输出故选B 7【解析】，线性回归直线过样本中心点故选D8【解析】由题设画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为， 从图象中可以看出，直线穿过点，点之间时，直线与图象有且只有两个公共点，同时，直线穿过点，点时，直线与图象有且只有两个公共点，所以实数的取值范围是故选二填空题：共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题91 10 11 12 13 14 15 9【解析】虚部为110【解析】11.【解析】因函数所有12.【解析】由该定积分的几何意义可知为半圆：的面积。.13.【解析】三、解答题：16. （本小题满分12分）解：（1）图象上相邻的两个最高点之间的距离为, , 则. 2分是偶函数, , 又，则 5分（2）由已知得，则 8分12分17.（本小题满分12分）解：（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得： -分的分布列为012 -分（2）设“甲、乙都不被选中”为事件，则所求概率为 -分（3）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件， -10分（或直接得 -1分18. （本小题满分14分）解：（1）解：取CE中点P，连结FP、BP，F为CD的中点，FP/DE，且FP=又AB/DE，且AB=AB/FP，且AB=FP，ABPF为平行四边形，AF/BP。 -2分又AF平面BCE，BP平面BCE，AF/平面BCE。 -4分 （2）ACD为正三角形，AFCD。AB平面ACD，DE/AB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF。又AFCD，CDDE=D，AF平面CDE。 -6分又BP/AF，BP平面CDE。又BP平面BCE，平面BCE平面CDE。 -8分 （3）法一、由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系Fxyz.设AC=2，则C（0，1，0），-9分 -11分显然，为平面ACD的法向量。设面BCE与面ACD所成锐二面角为则.即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45. -14分法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO则由是的中位线，则在， ，又-12分即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45.-14分19（本小题满分14分）解：（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q，由题知: ， ，解直得,q=2或q=-8（舍去），d=1； -5分 ； -7分（2）证明：， 法一、下面用数学归纳法证明对一切正整数成立（），命题成立 -8分（）则当，这就是说当时命题成立。-12分综上所述原命题成立 -分法二、 -14分法三、设数列，则 -9分 -12分数列单调递增，于是，而 -14分20. （本小题满分14分）（1）解：由，得，再由，得-2分由题意可知， 解方程组 得-5分所以椭圆的方程为 -6分(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为, -7分于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得 -8分由得-9分设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是-11分当k时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得 由整理得-13分综上。-14分21（本小题满分14分）解：（1）函数过点， 又，函数点处的切线方程为， 由和解得，故 ； -4分（2）法一、 可得： -6分 -7分。-9分法二、 又 （）作出（）不等式表示的平面区域如图：目标函数： -7分如图示当直线过点时，取最大值16.当直线过点时，取最小值1.综上所得：-9分（3），则 ，可得 -10分 当时， ，-12分，故的最大值为， 当时，解得，取得最大值时-14分
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