线性代数课件4-1向量组的线性相关性.ppt

第四章向量组的线性相关性 1向量组及线性表示 目的要求 3 理解向量的线性组合 线性表示概念 1 了解向量概念 2 掌握向量加法 数乘运算法则 4 掌握线性方程组与线性表示的关系 一 n维向量的概念 分量全为复数的向量称为复向量 分量全为实数的向量称为实向量 默认为实向量 1 定义 例如 n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 2 n维向量的表示方法 维向量写成一行 称为行向量 也就是行 维向量写成一列 称为列向量 也就是列 注意 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算 当没有明确说明是行向量还是列向量时 都当作列向量 3 向量的几何意义 d 四维以上向量集合 无具体几何意义 叫做维向量空间 叫做维向量空间中的维超平面 a 一维向量集合 数轴 b 二维向量集合 平面 c 三维向量集合 空间 4 特殊向量 与矩阵类比可知 a 零向量 b 负向量 c n维单位坐标向量组 思考题 比如一个本科学生大学阶段共修36门课程 成绩描述了学生的学业水平 把他的学业水平用一个向量来表示 这个向量是几维的 请大家再多举几例 说明向量的实际应用 在日常工作 学习和生活中 有许多问题都需要用向量来进行描述 比如平均成绩 总学分等 维数还将增加 答36维的 如果我们还需要考察其它指标 5 向量组 若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组 行向量组 列向量组 默认为列向量组 有限个向量 无限个向量 先讨论有限个向量 m个n维列向量构成向量组 称为向量组 或者称为向量组A 或者称为向量组 6 有限个向量的向量组与矩阵一一对应 行向量组 列向量组 7 线性方程组的向量表示 线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对应 二 向量的运算 转置 相等 加法 数乘 乘法 运算律 例 设 求 特殊矩阵 解 三 线性组合与线性表示 定义 对于任何一组实数 给定向量组 称向量 为向量组A的线性组合 称为 线性组合的系数 若不存在系数 给定向量组A 若存在一组系数 使得 成立 则称 和向量 使 成立 能否线性表示 只需看 注 能找到实数组 能表示 是否成立 举例 1 零向量 线性表示 2 能由 线性表示 3 中任何一个向量 线性表示 都能由 能由 4 设 解 设 不存在 线性表示判定方法 向量 有解 其中 能由 线性表示 解一 设 5 设 且表示方式唯一 解二 设 5 设 已知向量 向量组 问向量b能否由向量组A线性表示 6 设 解 设 因此向量b不能由向量组A线性表示 证明 向量b能由向量组 并求出表示式 线性表示 7 设 证明令 故方程 即 的解为 四 向量组的线性表示与等价 定义 两个向量组 若向量组B中每个向量都可由向量组A线性 表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 若向量组B与向量组A能相互线性表示 则称向量组B与向量组A等价 使得 存在数 向量组B能由向量组A线性表示 即对每个向量 若记 从而 矩阵 称为线性表示的系数矩阵 向量组B能由向量组A线性表示 B中每个向量都可由向量组A线性表示 存在系数矩阵K 使得B AK 矩阵方程AX B有解 R A R A B 向量组B与向量组A等价 矩阵方程AX B和BY A都有解 R A R A B R B 举例 能由 但不等价 线性表示 1 与 等价 2 已知向量组 证明 向量组A与向量组B等价 和 3 证 令 因此向量组A与向量组B等价 证 4 五 矩阵乘法与向量组的线性表示关系 说明 矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示 表示的系数矩阵为B 说明 矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示 表示的系数矩阵为A 六 矩阵等价与向量组等价关系 七 方程组的线性表示与等价 已知方程组A和方程组B 对方程组A的各个方程做线性运算得到的方程 称为方程组A的一个线性组合 若方程组B的每个方程都是方程组A的线性组合 就称方程组B能由方程组A线性表示 都是B的解 此时A的解 若方程组A与方程组B能相互线性表示 两个方程组等价 就称这 等价的方程组一定同解 八 与方程组有解等价的命题 线性方程组有解 向量b能由向量组 线性表示 向量组 与 向量组 等价 矩阵 矩阵 与 秩相等