立体几何中的向量方法三.ppt

ZPZ 3 2 3立体几何中的向量方法 三 空间 角度 问题 一 复习引入 用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 化为向量问题 进行向量运算 回到图形 向量的有关知识 两向量数量积的定义 a b a b cos a b 两向量夹角公式 cos a b 直线的方向向量 与直线平行的非零向量 平面的法向量 与平面垂直的向量 课本第107页练习2 如图 60 的二面角的棱上有A B两点 直线AC BD分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直AB 已知AB 4 AC 6 BD 8 求CD的长 二面角的平面角 方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 在二面角的面内且垂直于二面角的棱 的夹角 如图 2 设二面角的大小为其中AB 例1 如图3 甲站在水库底面上的点A处 乙站在水坝斜面上的点B处 从A B到直线 库底与水坝的交线 的距离AC和BD分别为和 CD的长为 AB的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值 解 如图 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 于是 得 设向量与的夹角为 就是库底与水坝所成的二面角 因此 所以 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 例1 如图3 甲站在水库底面上的点A处 乙站在水坝斜面上的点B处 从A B到直线 库底与水坝的交线 的距离AC和BD分别为和 CD的长为 AB的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值 思考 1 本题中如果夹角可以测出 而AB未知 其他条件不变 可以计算出AB的长吗 分析 可算出AB的长 2 如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长 并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等 那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗 分析 如图 设以顶点为端点的对角线长为 三条棱长分别为各棱间夹角为 3 如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗 A1 B1 C1 D1 A B C D 分析 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解 如图 在平面AB1内过A1作A1E AB于点E E F 在平面AC内作CF AB于F 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值 空间 夹角 问题 1 异面直线所成角 l m l m 若两直线所成的角为 则 例2 解 以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示 设则 所以 所以与所成角的余弦值为 练习 在长方体中 方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 在二面角的面内且垂直于二面角的棱 的夹角 如图 2 设二面角的大小为其中AB 2 二面角 注意法向量的方向 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 一进一出 二面角等于法向量夹角 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角 如图 向量 则二面角的大小 2 二面角 若二面角的大小为 则 法向量法 例2正三棱柱中 D是AC的中点 当时 求二面角的余弦值 故 则可设 1 则B 0 1 0 作于E 于F 则 即为二面角的大小 在中 即E分有向线段的比为 由于且 所以 在中 同理可求 即二面角的余弦值为 解法二 同法一 以C为原点建立空间直角坐标系C xyz 在坐标平面yoz中 设面的一个法向量为 同法一 可求B 0 1 0 由得 解得 所以 可取 即二面角的余弦值为 方向朝面外 方向朝面内 属于 一进一出 的情况 二面角等于法向量夹角 1 已知正方体的边长为2 O为AC和BD的交点 M为的中点 1 求证 直线面MAC 2 求二面角的余弦值 巩固练习 2 线面角 2 线面角 l 设直线l的方向向量为 平面的法向量为 且直线与平面所成的角为 则